等差等比数列综合

1．系统掌握数列的有关概念和公式。

2．了解数列的通项公式与前n项和公式的关系。3．能通过前n项和公式求出数列的通项公式。

【知识梳理】

【方法总结】

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a、、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．

4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，

拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．【自学导航】

（一）数列的概念

数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。数列的通项公式。

求数列通项公式的一个重要方法：

对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是

（二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质

1.等差数列 (1)定义 ___________________(2)通项公式=+（ ）d=+（ ）d=+-d(3)求和公式

(4)中项公式A= 推广：2= (5)性质

①若m+n=p+q则 ②若成等差数列（其中）则也为等差数列。③ 成 数列。④

2.等比数列

(1)定义_______________________________________(2)通项公式___________________________________(3)求和公式(4)中项公式。

推广： _________________(5)性质

①若m+n=p+q，则 _____________②若成等比数列 （其中），则成等比数列。③ 成 数列④

3. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法: ___________(2)通项公式法：_______________________(3)中项公式法: （4）前n项和法：______________________

4. 在等差数列中,有关Sn 的最值问题：

(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取 。(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取 。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法：

公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2. :适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；

部分无理数列、含阶乘的数列等。

3. :适用于其中是等差数列，是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法。【精典范例】

一 函数方程思想在研究数列问题中的运用

【例1】（1）首项为正数的等差数列｛a｝，其中S=S，问此数列前几项和最大？

（2）等差数列｛a｝中，S=100，S=300，求 S。

（3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。【解】

【思考】：你会用几种方法求出来？把你的方法交流一下。二 求数列的通项公式1. 观察法

观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。

【例2】已知下列各数列｛a｝的前n项和S的公式，求｛a｝的通项公式。

（1） S=10－1；（2）若；【解】

【评析】 已知｛a｝的前n项和S求a时应注意以下三点：

(1)应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n≥2两种情况讨论，特别注意由S－S= a推导的通项a中的n≥2。

(2)由S－S= a，推得的a且当n=1时，a也适合“a式”，则需统一“合写”。

(3)由S－S= a推得的a，当n=1时，a不适合“a式”，则数列的通项应分段表示（“分号”），即 如本例中（2），（3）。请观察本例中（1）与（2）的差异及联系。1.叠加法

若数列｛a｝满足a－a=f(n)(n),其中｛f(n)｝是易求和数列，那么可用叠加法求a。2. 叠乘法

若数列｛a｝满足=f(n)( n),其中数列｛f(n)｝前n项积可求，则可用累商法求a.3. 构造法

直接求通项a较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a。三 数列求和

数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对

于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。1.公式法

能直接应用等差数列或等比数列的求和公式求和的方法。2.错位相减法

【例3】求和S=+++…+。

请你独立完成，相信你会有更深的体会。

3.裂项法

【例4】已知数列｛a｝：，，，…，…，求它的前n项和。【解】

4.倒序相加求和法

四、等差、等比数列的综合问题

【例10】已知数列的前n项和=4+2(n∈N＋)，a=1.(1)设=-2,求证：数列为等比数列，(2)设Cn=,求证：是等差数列.

(3)求数列的通项公式及前n项和。【解】

【变式训练】

数列前n项和记为，（1）求的通项公式；

（2）等差数列的各项为正，其前n项和为且又成等比数列，求

【跟踪训练】

1．一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项。

2．已知, a, , …, , …构成一等差数列，其前n项和为＝n, 设＝, 记{}的前n项和为, (1) 求数列{}的通项公式；(2) 求

数列复习作业

1.（2012高考广东文12）若等比数列满足，则 .2. （2011高考广东文11）已知是递增的等比数列，若，，则此数列的公比 ．

3． （2010高考广东文4）已知数列为等比数列，Sn是它的前n项和.若，且与2的等差中项为，则=________________________4. 已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=A. B. C. D.2 5. 记等差数列的前n项和为，若，，则该数列的公差

d=________

6.已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 ．

7.在等差数列中，，它的前项的平均值是，若从中抽取项，余下的项的平均值

是，则抽取的是第_______项。

8. 在公差为d的等差数列中，成等比数列。（1）求；

（2）若d<0,求的前n项和

9．已知等差数列{}的前n项和为，＝, 的通项公式；

(2) 求＋＋＋……＋

且＝,＋＝21, 求数列{bn}(1)

10. 在数列中，

（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和

11.已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前列的首项为c，且前n项和满足－=+（n2）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列{前n项和为，求

n项和为,数

12在数列中，为其前n项和，

（1） 证明：数列是等比数列；（2） 求数列的通项公式；

13．等差数列中，，，依次抽出这个数列的第项，组成数列，求数列的通项公式和前项和公式．

14. 已知数列满足，6 数列满足，

且，（1）求通项公式 （2）求数列的通项公式及前n项和