第6章博弈论概论

6.1 几个概念

参与人 参与人的行动 参与人的信息 参与人的策略 参与人的支付 结果 均衡 博弈论

6.2.1

基本理论

同时博弈

si，i1,,N Si，i1,,N

s(s1,,sN) SS1SN

ui(s)ui(s1,,uN)，

(u1(s),,uN(s))

严格占优策略

严格占劣策略

删除严格占劣策略

6.2 同时博弈：纯策略均衡

局中人i(i1,,N)的策略 局中人i(i1,,N)的策略集

所有局中人的策略组合

所有局中人的策略组合集 i1,,N 局中人i(i1,,N)的支付；

该支付取决于所有局中人的策略组合

所有局中人的支付向量

如果ui(si,si)ui(si,si), (si,si)S,s i，则sisi是局中人i的严格占优策略。

如果ui(si,si)ui(si,si), siSi，则局中人i的策略si严格占优于他的另外一个策略si。在这种情况下，我们也可以说，局中人i的策略si在S中是严格占劣的。

从局中人i的策略集Si中删除一个严格占劣策略之后得到的结果记为S1i；重复进行n轮这样的删除得到的结果记为Sni（注意：删除严格占劣策略不影响最后的均衡）

1

重复删除后的严格不占劣策略

如果siSin，对于一切的n1，则si为重复删除后的严格不占劣策略。

如果ui(si,sSi)ui(si,si), si，且至少有一i个严格不等式成立，则局中人i的策略si弱占优于他的另外一个策略si。在这种情况下，我们也可以说，局中人i的策略si在S中是弱占劣的。 从局中人i的策略集Si中删除一个弱占劣策略之后得到的结果记为Wi1；重复进行n轮这样的删除得到的结果记为Win（注意：删除弱占劣策略也不影响最后的均衡）

如果siWin，对于一切的n1，则si为重复删除后的弱不占劣策略。

弱占劣策略

删除弱占劣策略

重复删除后的弱不占劣策略

纳什均衡

si), siSi, i1如果ui(s)ui(si,一个纯策略纳什均衡。

条件策略下划线法

,N，则s是

寻找纳什均衡的方法 纳什均衡的存在性 纳什均衡的唯一性 纳什均衡的最优性 6.2.2

二人同时博弈的一般理论

二个同时博弈的一般模型

二人同时博弈的一般模型

参与人B的策略 策略1 策略1 参与人A的策略 策略2

A与B的支付矩阵

策略2 a11，b11 a21，b21 a12，b12 a22，b22 a11A的支付矩阵a21a12b11b12、B的支付矩阵 bba222122 2

A的带下划线的支付矩阵：

a11①a21a11④a21a12a11、②a21a22a12a11、⑤a21a22a12a11、③a21a22a12a11、⑥aa2221a12a11、⑨a21a22a12 a22a12 a22a12 a22a11a11a12⑦、⑧a21a22a21B的带下划线的支付矩阵

b11b12b11b12b11b12①′、②′、③′

b21b22b21b22b21b22b11b12b11b12b11b12④′、⑤′、⑥′

b21b22b21b22b21b22b11b12b11b12b11b12⑦′、⑧′、⑨′

b21b22b21b22b21b22纳什均衡

可分为如下的五种类型。第一种是四个均衡。包括1种情况，即①+①′——它表示，A的带下划线的支付矩阵为①、B的带下划线的支付矩阵为①′。此时，总的支付矩阵中所有四个单元格的两个数字均有下划线，因而，总共有四个纳什均衡。第二种是三个均衡。包括12种情况。如①+②′、①+③′等等。第三种是两个均衡。包括38种情况。如①+⑥′、①+⑦′等等。第四种是一个均衡。包括28种情况。如②+⑦′、②+⑧′等等。第五种是零个均衡。包括2种情况，即⑧+⑨′和⑨+⑧′。

6.3 同时博弈：混合策略均衡

6.3.1

基本理论

mi(si)，i1,Mi，i1,

,N 局中人i(i1,,N)的混合策略；其中，si是局,N)的混合策略集

中人i的纯策略；mi(si)是指派给si的概率。

,N 局中人i(i1,3

m(m1(s1),MM1

,mN(sN)) MN

所有局中人的混合策略组合 所有局中人的混合策略组合集

ui(m)ui(m1(s1),,mN(sN)), i1,

,N

局中人i(i1,,N)的支付；

该支付取决于所有局中人的混合策略组合

ui(m)ui(m1(s1),(u1(m),,uN(m))

,mN(sN))m1(s1)m2(s2)sSmN(sN)ui(s)

所有局中人的支付向量

如果ui(m)ui(mi,mi), miMi, i1是一个（混合）策略纳什均衡。

则m,N，

纳什均衡

纳什均衡定理（定理7.1） 纳什均衡的存在性（定理7.2） 6.3.2

混合策略博弈的一般理论

混合策略博弈的一般模型

混合策略博弈的一般模型

参与人B的策略 q1 策略1 q2 策略2 p1 参与人A的策略 策略1 策略2 a11，b11 a21，b21 a12，b12 p2

混合策略和混合策略组合

a22，b22 A的全部混合策略可表示为：(p1,p2),0p1,p21,p1p21，它包括了两个纯策略在内。

B的全部混合策略可表示为：(q1,q2),0q1,q21,q1q21，它也包括了两个纯策略在内。

A与B的全部的混合策略组合可以表示为：

((p1,p2),(q1,q2))，0p1,p21、p1p21，0q1,q21、q1q21

4

期望支付

A的期望支付可以表示为：

22Eap1q1a11p1q2a12p2q1a21p2q2a22piqjaij

i1j1将p21p1代入上式并整理得：

Eap1q1a11p1(1q1)a12(1p1)q1a21(1p1)(1q1)a22 p1(q1(a11a21)(1q1)(a12a22))q1(a21a22)a22

p1aq1(a21a22)a22这里，

aq1(a11a21)(1q1)(a12a22)

是参与人A的判别式。

B的期望支付可表示为：

22Ebp1q1b11p1q2b12p2q1b21p2q2b22piqjbij

i1j1将q21q1代入上式并整理得：

Ebp1q1b11p1(1q1)b12(1p1)q1b21(1p1)(1q1)b22 q1(p1(b11b12)(1p1)(b21b22))p1(b12b22)b22

q1bp1(b12b22)b22这里，

bp1(b11b12)(1p1)(b21b22)

是参与人B的判别式。

A的条件混合策略

A的条件混合策略可以表示为：

0a0p1[0,1] a0

1a0由此可见，A的条件混合策略完全取决于其判别式的符号，具体分为9种情况。① a11a21、a12a22。此时，A的条件混合策略可表示为：

p1[0,1] 0q11

⑸

⑹

⑺

⑻

5

② a11a21、a12a22。此时，A的条件混合策略可以表示为：

p10q111[0,1] q 11③ a11a21、a12a22。此时，A的条件混合策略可以表示为：

p00q111[0,1] q11 ④ a11a21、a12a22。此时，A的条件混合策略可以表示为：

p[0,1]q011 10q 11⑤ a11a21、a12a22。此时，A的条件混合策略可以表示为：

p[0,1]q010 10q 11⑥ a11a21、a12a22。此时，A的条件混合策略可表示为：

p11 0q11

⑦ a11a21、a12a22。此时，A的条件混合策略可表示为：

p10 0q11

⑧ a11a21、a12a22。此时，A的条件混合策略可表示为：

0q1qp1[0,1] q1q

1q1q⑨ a11a21、a12a22。此时，A的条件混合策略可表示为：

1q1qp1[0,1] q1q

0q1qB的条件混合策略

B的条件混合策略与其判别式之间的关系可表示为：

0b0q1[0,1] b0

1b0 6

具体情况如下。

①′b11b12、b21b22。此时，条件混合策略可表示为：

q1[0,1] 0p11

②′b11b12、b21b22。此时，条件混合策略可表示为：

q10p111[0,1] p 11③′b11b12、b21b22。此时，条件混合策略可表示为：

q00p111[0,1] p11 ④′b11b12、b21b22。此时，条件混合策略可表示为：

q[0,1]p011 10p 11⑤′b11b12、b21b22。此时，条件混合策略可表示为：

q[0,1]p010 10p 11⑥′b11b12、b21b22。此时，条件混合策略可表示为：

q11 0p11

⑦′b11b12、b21b22。此时，条件混合策略可表示为：

q10 0p11

⑧′b11b12、b21b22。此时，B的条件混合策略可表示为：

0p1pq1[0,1] p1p

1p1p⑨′b11b12、b21b22。此时，B的条件混合策略可表示为：

1p1pq1[0,1] p1p

0p1p 7

纳什均衡

A的条件混合策略曲线有9种情况，B的条件混合策略曲线也有9种情况，因此，A与B的条件混合策略曲线之间的两两“搭配”总共就有9981种可能。在这81种可能中，最终形成的混合策略纳什均衡的“集合”可分为7种类型，即“单位平面”、三条线段、两条线段、一条线段、三个点、两个点和一个点。

6.4 序贯博弈

6.4.1

基本理论

局中人 i1,,N

局中人的行动 历史或结

aiA x(a1,

,ak)；xX

⑴ 初始结 ⑵ 终点结

x0（空历史）

e；xE{xX(x,a)X,aA}

(x,a)X意味着，在x之后没有其他结。换句话说，x是终点结。

⑶ 决策结 结处的行动者 结后的行动

xX\\(E{x0})

(x)；:X\\(E{x0})N

A(x){aA(x,a)X}

(x,a)X意味着，在x之后还有其他结。换句话说，x不是终点结。

⑴ A(x0)

初始结x0之后的行动是自然的选择。如果A(x0){a}，

即A(x0)为单点集，则这意味着，自然以概率1选择行动a。实际上，这意味着，自然的选择在这里不起作用，因而可以省略。如果A(x0)不只一个元素，则自然在

A(x0)上有一个概率分布——自然按照概率分布随机地在A(x0)中选择行动。

⑵ A(e)

终点结e之后的行动集是空集，即没有行动可以选择。 决策结x之后局中人(x)的所有行动。

⑶ A(x),xx0,e 信息集 支付 6.4.2

I、I(x)、Ii

ui:E

纳什均衡

纳什均衡是否存在 纳什均衡是否唯一 6.4.3

纳什均衡的精炼：逆向归纳法

如何从多个纳什均衡中，排除掉那些不合理的纳什均衡，或者，如何在所有的纳什均衡中，找到最有可能实现的纳什均衡？这就是所谓对纳什均衡的“精炼”，即要从众

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多的纳什均衡中进一步确定“更好”的纳什均衡。

为了解决这个问题，我们使用所谓的“逆向归纳法”。逆向归纳法包括两个步骤。第一步，先从博弈的最后阶段的每一个决策点开始，确定相应参与人此时所选择的策略，并把参与人所放弃的其他策略删除，从而得到原博弈的一个简化博弈；第二步，再对简化博弈重复步骤一的程序，直到最后，得到原博弈的一个最简博弈。这个最简博弈，就是原博弈的解。

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