在三角形中，可以利用 三角形的边角关系把问 ／ 题转化为求“圆心到直 Ｐ／ 线的最短距离”． 解 如图３，由圆 ／ 的切线性质知 ／０ ＼＼ Ｃ／ ／ ｉ ＡＰＢ一２ ＡＰＣ． 豳３ ５／．ｓｉｎ￣ＡＰＣ－－ 一 ，所以当Ｉ ＰＣ ｌ取最 小值时， 取得最大值，ｌｉｔＩｔ￣ｚｆ＿ＡＰＣ取得最大值・ 又Ｉ Ｐｃ ｌ ｉ 一２，／ｇ，所以当１ ＰＣ ｌ一２ ， ＡＰＢ最大． ４变换条件。改变夹角大小 ， 例５过直线ｚ＋ 一２√２—０上点Ｐ作圆．ｚ。＋ Ｙ 一１的２条切线，若２条切线的夹角是６０。，则点Ｐ 的坐标是 ． 分析本题将例１中 ｌ ＡＰＢ一９０。改为６０。，可 借助例４的方法求解． 解 如图４所示，由 圆的切线性质可知 ＡＰＯ一 ＢＰＯ一３０。， 且ＯＡ上ＰＡ． 在Ｒｔ△Ａ０Ｐ中， 图４ ＩＰＯ Ｉ一２ ｌ ＯＡ ｌ一２． 设点Ｐ（ｚ。，Ｙ。），则￣／ｚ：＋ 一２．又因为 。＋ Ｙ。一２，／ｇ一０，与上式联立解得ｚ。一Ｙ。一√２．所以点Ｐ 的坐标为（√２，√２）． 另外本题求解中若发现圆心。到直线ｚ＋Ｙ一 ２√２—０的距离为２，则可直接得出点Ｐ的坐标． 上述问题虽然问法不同，但解题的方法都是将问 题转化为直线与圆的位置关系，因此我们要善于在 “变”中求“不变”，利用我们所学的基础知识、解题规 律和思想方法进行探究． 著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问 题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一 个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几 个．”学习中由一个基本问题出发，运用改变条件、改 变结论、改变形式、改变求解方法等，探索问题的发展 变化，使我们发现问题的本质．变中求进、进中求通， 拓展创新空间，引导学生的思维向纵深拓展． （作者单位：江苏省徐州市第三十六中学） 化 ◇江西袁人兵 有效的解题训练是提高学生分析问题、解决问题 能力的重要途径．那么选择什么样的习题，才能起到有 效训练的目的？本文以抛物线的学习为例，介绍几种 例题的选择视角与读者分享． １要有利于巩固基础知识 囊例１ 已知点Ｐ是抛物线Ｙ 一２ｘ上的一个动 点，则点Ｐ到点Ａ（０，２）的距离与点Ｐ到该抛物线准 线的距离之和的最小值为（ ）． Ａ ；Ｂ ３；ｃ ；Ｄ Ｑ 角翠析 设点Ｐ在准线上的射影为Ｐ ，由抛物线定 义得Ｉ ＰＰ ｌ＝＝＝ｌ ＰＦ １，则 ｌ ＰＦ ｌ＋ｌ ＰＡ Ｉ—ｌ ＰＰ ｌ＋１ ＰＡ Ｉ． 当点Ｐ、Ａ、Ｆ共线时，ＩＰＦｊ＋ｌＰＡ ｌ有最小值．又 因为抛物线焦点为Ｆ（１／２，０），所以（１ ＰＰ Ｉ＋ Ｉ ＰＡ １） 一ＩＡＦ Ｉ一√（ ）ｚ＋２ｚ一 ．故选Ａ． 彝 言曩 耋嘉 砉 主 题的选择要有助于学生对基础知识的掌握以及对基 本方法的灵活应用．本题求解中首先根据抛物线的定 义将点Ｐ到准线的距离ｌ ＰＰ ｌ转化为ｌ ＰＦ １，再利用３ 点共线解决问题． ２要有利于体现知识点间的联系 例２ 已知点Ａ（ｚｌ，Ｙ ）、Ｄ（ｚ：，Ｙ ２）（其中３２１＜ ）是曲线Ｙ 一４ｘ（ ≥０）上的２点，Ａ、Ｄ ２点在 轴上的射影分别为点Ｂ、Ｃ，且ｌＢＣＩ一２． （１）当点Ｂ的坐标为（１，０）时，求直线ＡＤ的 斜率； （２）记△ＯＡＤ的面积为Ｓ ，梯形ＡＢＣＤ的面积 为ｓ ，求证：Ｓ ／ｓ ２＜１／４． ， 例３ 已知曲线ｃ：＿山＋ 一１（ ≥０），直线ｚ： Ｙ＝ｋｘ＋１与曲线Ｃ交于Ａ、Ｄ ２点，Ａ、Ｄ ２点在 ｚ 轴上的射影分别为点Ｂ、Ｃ． （１）当点Ｂ坐标为（一１，Ｏ）时，求ｋ的值； （２）记△ＯＡＤ的面积Ｓ ，四边形ＡＢＣＤ的面积 则Ｚ的方程为（ ）． 为Ｓ ． Ａ ３，：ｚ一１或 ＝一ｚ＋１； Ｂ ； （ｚ—１）或３，一一 （ｚ一１）； （ｉ）若Ｓ 一２，／－ｇ／３，求ＩＡＤ Ｉ的值； （ｉｉ）求证：Ｓ ／Ｓ ≥１／２． 妻 羹 落 主耋 ，Ｃ Ｙ一 （ｚ一１）或Ｙ一一 （ｚ一１）； 都有其相似性，因此对于适合其中某一种曲线的性 质，往往都可以类比推理到其他曲线．上述２例无论从 命题形式，还解题方法上看，都有异曲同２Ｙ－之妙． Ｄ ： （ｚ一１）或 一一 （Ｘ－－１） 例６ （拓展变换）设Ｆ为抛物线Ｃ： ＝３ｘ的 焦点，过Ｆ且倾斜角为３Ｏ。的直线交Ｃ于Ａ、Ｂ ２点， 下面给出例３的解析过程： （１）因为Ｂ（一１，０），所以Ａ（一１，Ｙ。），代人 解析 ／４＋ｙ ２／３－－１（ ≥ｏ），解得 。＝３／２，代入 直线Ｙ＝ｋｘ＋１，得愚一一１／２． （２）（ｉ）设点Ｅ（Ｏ，１）、Ａ（ ， ）、Ｂ（ｚ ２，Ｙ ）．联 立Ｉｘ２／４￣ｙ ２／３一 ’Ｍ Ｉ ＋８是ｚ一８— ｖ 一是 ＋１ｙ得（３＋４愚 ），０，所以 一 丽 Ｆ ， ・——８ｋ‘——８ ｌ十ｚ ２一 丽’ｚ１ ２一 丽‘ 因为Ｓ 一÷Ｉ ＯＥ Ｉ（Ｊ Ｉ＋Ｉ ｚ。Ｊ）一÷・１．Ｊ 一 ｚ Ｉ一 １ Ｊｚ 一ｚ。Ｉ，而ｌ 一ｚ ｌ＝＝： ，所以 ，、 １ Ｊ９６（２ｋ －Ｉ－１） ２√６ ２愚 ＋１ １一一２。——３ ＋ ４一ｋ ２一— ３ ＋ ４一ｋ ２’ 所以 一 ， 解得是一０，所以ｌＡＤ Ｉ一 一 ． （ｉｉ）因为Ｓ。一÷（ｊ， ＋ ｚ）ＩＸ 一ｚ ｚ Ｉ，所以 Ｓ１ （１／２）ｌ ｚ１一 ２ ｌ １ Ｓ ２ （１／２）（ ｌ＋ ２）ｌ ｚ１一ｚ ｚ ｊ Ｙ１＋３，２’ 而Ｙ１十Ｙ ２一ｋｘ１十ｌ十惫ｚ ２十１一愚（ｚ１十ｚ ２）十２，所以 Ｓ１ １ ３＋４忌。、３ １ －８ｋ一下 一２‘ ３一题多变的例题有利于学生知识系统化 例４过抛物线ｙ ：＝＝２ｐｘ（户＞ｏ）的焦点Ｆ作倾 斜角为６０。的直线，交抛物线于Ａ、Ｂ ２点，点Ｍ在 轴的上方，则丽ＩＡＦ Ｉ一．——（答案：３） ｌ， 例５（逆向变换）抛物线Ｃ：Ｙ。＝＝＝４ 的焦点为Ｆ， 直线ｚ过Ｆ且与Ｃ交于Ａ、Ｂ ２点．若Ｉ ＡＦ Ｉ一３ ｌ ＢＦ ｌ， Ｏ为坐标原点，则△０ｌＡＢ的面积为．——（答案：９／４） ◇彝 薯豢亳 喜雩茎 例４）等视角来实现．对些类问题的训练能有效考查学 生灵活应用所学知识解决问题的能力． ４典型例题有利于总结解题方法 例７ 同例５ 解法１ 如图１所示，作出抛物线的准线ｌ 及点 Ａ、Ｂ到准线的垂线段ＡＡ 、 ＢＢ ，并设直线ｌ交准线于点Ｍ． ． 一。 ‘ 设ＩＢＦ１一ｍ． 由抛物线的定义可知 ＿Ｄ＿ ｉ ／。
