一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，2，4}，则（∁RA）∩B＝（）
A．∅
B．{﹣1，2}
C．{﹣2，4}
D．{﹣2，﹣1，4}
2．若幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则f（2）的值为（）A．2
B．
12
C．√2
D．4
3．命题“∀x＞1，x2+1＞2”的否定为（）
A．∃x≤1，x2+1≤2B．∀x＞1，x2+1≤2C．∃x＞1，x2+1≤2
D．∀x≤1，x2+1≤2
14．已知函数f（x）={(3
)𝑥，𝑥≤0
，则f（f（﹣3））的值为（
）𝑙𝑜𝑔3𝑥−2，𝑥＞0A．﹣3
B．﹣2
C．0
D．1
5．已知函数y＝ax+4+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为（
A．−
4B．−2√
25
3
C．
√23
D．
35
6．设m，n为正数，且m+n＝2，则41𝑚1
𝑛1
的最小值为（）A．
134
B．
9
C．
79
44
D．
5
7．设a＝3
−21
，b＝log
12，c＝tan70°，则（）
3
A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞a
D．c＞a＞b
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）
8．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的
13𝑥
•|sinωx|（0≤x倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为|y|＝（3−[]）3𝜋
≤3π）（其中记[x]为不超过x的最大整数），且过点P（，3），若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为
6
𝜋17𝜋6
，
则点M到x轴的距离为（）
A．
12√3
B．
2
C．
13√3D．
3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．使x−≤0成立的一个充分条件可以是（A．x＜﹣1
B．0＜x＜1
1𝑥
）
C．﹣1≤x≤1
D．x≤1
10．关于函数f（x）＝2sin（2x−），下列说法中正确的是（A．其最小正周期为π
B．其图象由y＝2sin2x向右平移个单位而得到
3𝜋
𝜋
3
）
C．其表达式可以写成f（x）＝2cos（2x−D．其图象关于点（−，0）对称
𝜋3
5𝜋）6
11．下列说法中正确的是（）
A．若α是第二象限角，则点P（cos（﹣α），tan（π+α））在第三象限B．圆心角为1rad，半径为2的扇形面积为2
C．利用二分法求方程log2x＝4﹣x的近似解，可以取的一个区间是（2，3）D．若α∈（π，
3𝜋2
），且sinα+cosα=−，则sinα﹣cosα=−
第2页（共19页）
7
515
12．规定max{a，b}={
𝑎，𝑎≥𝑏𝑏，𝑎＜𝑏
，若函数f（x）＝max{sinx，cosx}，则（）
A．f（x）是以2π为最小正周期的周期函数B．f（x）的值域是[﹣1，1]C．当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+
𝜋4
𝜋2
3𝜋
（k∈Z）时，f（x）＜02
D．当且仅当x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）时，函数f（x）单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1
ln213．e+273
2＝tan+lg10﹣
𝜋
4
．
14．函数f（x）=√1𝑥+ln（x+1）的定义域是．
15．若函数f（x）＝log1（ax﹣x2）在（2，3）单调递增，则实数a的取值范围为
2
．
|4𝑥1|，𝑥≤1，116．已知函数f（x）={集合M＝{x|f2（x）﹣（2t+）f（x）+t＝0}，若集合M中有3
2𝑙𝑜𝑔2𝑥+3，𝑥＞1，个元素，则实数t的取值范围为
．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}．（1）当a＝2时，求A∩B；
（2）若____，求实数a的取值范围．
第3页（共19页）
18．（12分）已知tan（π﹣θ）＝2，θ∈（，π）．
2
𝜋
（1）求sinθ，cosθ的值；
4𝑐𝑜𝑠(𝜋𝜃)𝑠𝑖𝑛(
2
3𝜋
𝜃)2
（2）求
3𝑠𝑖𝑛(𝜋𝜃)5𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜃)
的值．
第4页（共19页）
19．（12分）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为Rm的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，已知A（2√3，﹣2），设点P
𝜋
＜的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝f（t）＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|）．2
（1）求函数f（t）的解析式；
（2）当水车转动一圈时，求点P到水面的距离不低于4m的持续时间.
第5页（共19页）
20．（12分）已知函数f（x）=𝑙𝑜𝑔2(（1）求证：f（x）为奇函数；
2
+1)，g（x）＝﹣2x+1．𝑥−1
（2）若2𝑓(2𝑥)−k≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（3）解关于a的不等式g（a）﹣g（2﹣a）≤2a﹣2．
第6页（共19页）
21．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来
12𝜋
𝜋
2
的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．
𝜋𝜋
①当x∈[−，]时，求函数g（x）的值域；
32
②若方程g（x）﹣m＝0在[0，7𝜋]上有三个不相等的实数根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求tan（x1+2x2+x3）
的值．
3
第7页（共19页）
22．（12分）对于函数f（x），若在其定义域内存在实数x0，t，使得f（x0+t）＝f（x0）+f（t）成立，则称f（x）是“t跃点”函数，并称x0是函数f（x）的1个“t跃点”．（1）求证：函数f（x）＝2x+2x2在[0，1]上是“1跃点”函数；
（2）若函数g（x）＝x3+ax2﹣3在（﹣2，+∞）上存在2个“1跃点”，求实数a的取值范围；（3）是否同时存在实数m和正整数n使得函数h（x）＝cos2x﹣m在[0，nπ]上有2022个“跃点”？若
2𝜋
1
2
存在，请求出m和n满足的条件；若不存在，请说明理由．
第8页（共19页）
20212022学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，2，4}，则（∁RA）∩B＝（A．∅
B．{﹣1，2}
C．{﹣2，4}
）
D．{﹣2，﹣1，4}
解：集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，2，4}，则∁RA＝{x|x≤﹣1或x＞2}，∴（∁RA）∩B＝{﹣2，﹣1，4}．故选：D．
2．若幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则f（2）的值为（）A．2
B．
12
C．√2
D．解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R；由f（x）的图象过点（4，2），所以
4α＝2，解得α=
12
，所以f（x）=
𝑥1
2
=√𝑥；
所以f（2）=√2．故选：C．
3．命题“∀x＞1，x2+1＞2”的否定为（）
A．∃x≤1，x2+1≤2B．∀x＞1，x2+1≤2C．∃x＞1，x2+1≤2
D．∀x≤1，x2+1≤2
解：根据题意，命题∀x＞1，x2+1＞2是全称命题，其否定为∃x＞1，x2+1≤2，故选：C．
1
4．已知函数f（x）={(3
)𝑥，𝑥≤0
，则f（f（﹣3））的值为（
）𝑙𝑜𝑔3𝑥−2，𝑥＞0A．﹣3
B．﹣2
C．0
D．(1
解：根据题意，函数f（x）={3
)𝑥，𝑥≤0
，
𝑙𝑜𝑔3𝑥−2，𝑥＞0
第9页（共19页）
4
1
3＝27，则f（f（﹣3）则f（﹣3）＝（）﹣）＝f（27）＝log327﹣2＝3﹣2＝1，
13
故选：D．
5．已知函数y＝ax+4+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为（
4
A．−
5
22B．−√
3
√2C．
3
）
D．
35
，令x+4＝0，求得x＝﹣4，y＝3，解：对于函数y＝ax+4+2（a＞0，且a≠1）可得它的图象恒过点P（﹣4，3），
−44
若角α的终边经过点P，则cosα==−，
5√16+9
故选：A．
6．设m，n为正数，且m+n＝2，则A．
134
4𝑚+1
+
1𝑛+1
的最小值为（
74
）D．
9
B．
9
4
C．
5
解：∵m+n＝2，
∴（m+1）+（n+1）＝4，∴
4𝑚+1
+
1𝑛+1
=（
4
𝑚+1
+
1𝑛+1
）[m+1）+（n+1）]×
114(𝑛+1)𝑚+114(𝑛+1)𝑚+1
]≥（5+2√]==[5++⋅
44𝑚+1𝑛+14𝑚+1𝑛+1
9
，4
当且仅当
𝑚+1𝑛+1
=
4(𝑛+1)𝑚+1
且m+n＝2，即m=，n=时取等号，
5313
故选：B．7．设
a＝3−2，b＝log
1
12，c＝tan70°，则（3
）C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
A．a＞c＞b解：∵0＜3−2＜30
1
B．b＞c＞a=1，∴0＜a＜1，
∵𝑙𝑜𝑔12＜𝑙𝑜𝑔11=0，∴b＜0，
3
3
∵tan70°＞tan45°＝1，∴c＞1，∴c＞a＞b，故选：D．
8．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的
13𝑥
•|sinωx|（0≤x倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为|y|＝（3−[]）3𝜋
≤3π）（其中记[x]为不超过x的最大整数），且过点P（，3），若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为
6
𝜋17𝜋6
，
第10页（共19页）
则点M到x轴的距离为（）
A．
12
𝜋
√3B．
2
C．
1
𝜋𝜋13
解：点P（，3）在曲线上，可得：（3−[×]）|sinω|＝3，化简可得：|sinω|＝1，
3𝜋6666
3
𝜋
√3D．
3
可得：sinω＝kπ+（k∈Z），
6
𝜋
𝜋
2
解得：ω＝6k+3（k∈Z）
若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为
17𝜋6
，则等价于x=
17𝜋
，6
17𝜋117𝜋1317𝜋117𝜋1
则有：（3−[×]）•|sin𝜔|=|sin𝜔|＝|𝑠𝑖𝑛×(6𝑘+3)|=，
3𝜋6336636
可得：|y|=，故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．使x−≤0成立的一个充分条件可以是（A．x＜﹣1
B．0＜x＜1
1𝑥
13
）
C．﹣1≤x≤1
D．x≤1
𝑥2−121
解：x−≤0⇔≤0⇔{𝑥(𝑥−1)≤0，
𝑥𝑥≠0𝑥
∴x≤﹣1或0＜x≤1，
∵{x|x＜﹣1}⫋{x|x≤﹣1或0＜x≤1}，{x|0＜x＜1}⫋{x|x≤﹣1或0＜x≤1}，
1
∴不等式x−≤0成立的一个充分条件是x＜﹣1或0＜x＜1
𝑥
故选：AB．
10．关于函数f（x）＝2sin（2x−），下列说法中正确的是（A．其最小正周期为π
B．其图象由y＝2sin2x向右平移个单位而得到
3𝜋𝜋
3
）
第11页（共19页）
C．其表达式可以写成f（x）＝2cos（2x−D．其图象关于点（−，0）对称
𝜋3
5𝜋）6
𝜋2𝜋
解：函数f（x）＝2sin（2x−）的最小正周期T==π，故A正确；
32
y＝2sin2x向右平移个单位得到y＝2sin（2x−
3
𝜋
2𝜋𝜋
）≠2sin（2x−），故B错误；33
𝜋5𝜋𝜋𝜋5𝜋
f（x）＝2sin（2x−）＝2cos[−（2x−）]＝2cos（−2x）＝2cos（2x−），故C正确；
33626
f（−）＝2sin（﹣π）＝0，故f（x）的图象关于点（−，0）对称，故D正确，故选：ACD．
11．下列说法中正确的是（
）
𝜋
3𝜋3
A．若α是第二象限角，则点P（cos（﹣α），tan（π+α））在第三象限B．圆心角为1rad，半径为2的扇形面积为2
C．利用二分法求方程log2x＝4﹣x的近似解，可以取的一个区间是（2，3）D．若α∈（π，
3𝜋2
），且sinα+cosα=−，则sinα﹣cosα=−
7
515
解：对A．若α是第二象限角，则cos（﹣α）＝cosα＜0，tan（π+α）＝tanα＜0，故点P在第三象限，则A正确；
1
对B．根据题意，扇形面积S=×1×22＝2，故B正确；
2
对C．对log2x＝4﹣x，当x＝2时log22＝1＜4﹣2＝2，当x＝3时，log23＞4﹣3＝1，故可以取的一个区间是（2，3），则C正确；
74912对D．α∈（π，），且sinα+cosα=−，则1+2sinαcosα=，解得sinαcosα=，
525252
3𝜋
则sinα﹣cosα＝±√1−2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=±，故D错误．
5
1
故选：ABC．12．规定max{a，b}={
𝑎，𝑎≥𝑏𝑏，𝑎＜𝑏
，若函数f（x）＝max{sinx，cosx}，则（
）
A．f（x）是以2π为最小正周期的周期函数B．f（x）的值域是[﹣1，1]C．当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+
𝜋
4
𝜋2
3𝜋
（k∈Z）时，f（x）＜02
D．当且仅当x∈[kπ+，kπ+]（k∈Z）时，函数f（x）单调递增
第12页（共19页）
𝑠𝑖𝑛𝑥，当𝑠𝑖𝑛𝑥≥𝑐𝑜𝑠𝑥时44，解：由题意可得：函数f（x）={，即f（x）={
3𝜋𝜋𝑐𝑜𝑠𝑥，当𝑠𝑖𝑛𝑥＜𝑐𝑜𝑠𝑥时𝑐𝑜𝑠𝑥，[2𝑘𝜋−，2𝑘𝜋+]
4
4
𝜋5𝜋
𝑠𝑖𝑛𝑥，[2𝑘𝜋+，2𝑘𝜋+]
所以f（x+2π）＝f（x），
所以f（x）是周期为2π的周期函数．故A正确；f（x）在一个周期上的图象如图所示，
由图象可得，它的值域为[−√，1]，故B不正确：当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+
3𝜋
（k∈Z）时，222
cosx和sinx都小于零，故函数f（x）＜0，故C正确，
，由y＝sinx知函数f（x）在[2kπ+，2kπ+]上单调递增，当k＝2n时，x∈[2nπ+，2nπ+]（k∈Z）当k＝2n+1时，x∈[2nπ+增，故D错误．故选：AC．
5𝜋5𝜋
，2nπ+2π]（k∈Z），由y＝cosx知函数f（x）在[2nπ+，2nπ+2π]上单调递44𝜋4
𝜋2
𝜋4
𝜋2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1−ln213．e+273
2＝−−tan+lg10﹣
𝜋
4
2
313
．
23
解：原式＝2+33×(−3)故答案为：−．
23
1
−1﹣2＝2+−1﹣2=−，
14．函数f（x）=√1−𝑥+ln（x+1）的定义域是（﹣1，1]．1−𝑥≥0
解：要使原函数有意义，则{，解得：﹣1＜x≤1，
𝑥+1＞0所以原函数的定义域为（﹣1，1]．故答案为（﹣1，1]．
第13页（共19页）
15．若函数f（x）＝log1（ax﹣x2）在（2，3）单调递增，则实数a的取值范围为
2
[3，4]．
解：∵函数f（x）＝log1（ax﹣x2）在（2，3）单调递增，
2
∴函数t（x）＝﹣x2+ax在（2，3）上单调递减，且t（x）＞0，
𝑎≤2∴{2
，求得3≤a≤4，
𝑡(3)=3𝑎−9≥0
故答案为：[3，4]．
|4𝑥−1|，𝑥≤1，1216．已知函数f（x）={集合M＝{x|f（x）﹣（2t+）f（x）+t＝0}，若集合M中有3
2𝑙𝑜𝑔2𝑥+3，𝑥＞1，个元素，则实数t的取值范围为
1
2
[，+∞）∪{0}．
2
12
1
解：由f2（x）﹣（2t+）f（x）+t＝0可得[f（x）﹣2t][f（x）−]＝0，所以f（x）＝2t，或f（x）=，作出y＝f（x）的图象，如图所示：由图可知：f（x）=有两个根，所以f（x）＝2t就只有一个根，所以2t≥1，解得t≥，
当t＝0时，f2（x）−f（x）＝0，
1
解得：f（x）＝0，或f（x）=，
2
121212
12
所以x＝0或x=（log23﹣1）或x=−，满足题意．故答案为：[，+∞）∪{0}．
21
1212
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，在
第14页（共19页）
这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}．（1）当a＝2时，求A∩B；
（2）若____，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，所以A∩B＝{x|2≤x＜3}；（2）选①A∪B＝B，可得A⊆B，
选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，可得A⊆B，选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，可得A⊆B，
则﹣1＜a＜a+2＜3，解得﹣1＜a＜1，即a的取值范围是（﹣1，1）；即a的取值范围是（﹣1，1）．
18．（12分）已知tan（π﹣θ）＝2，θ∈（，π）．
2𝜋
（1）求sinθ，cosθ的值；
4𝑐𝑜𝑠(𝜋𝜃)𝑠𝑖𝑛(
2
3𝜋
𝜃)2
（2）求
3𝑠𝑖𝑛(𝜋𝜃)5𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜃)
的值．
解：（1）由tan（π﹣θ）＝2，得tanθ＝﹣2，
𝑠𝑖𝑛𝜃
=2
联立{𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝜋2
，
𝑐𝑜𝑠2𝜃=1
2√5
，cosθ=5
√5
∵θ∈（，π），∴解得sinθ=
4𝑐𝑜𝑠(𝜋𝜃)𝑠𝑖𝑛(
2
3𝜋
𝜃)2
5
；
4𝑡𝑎𝑛𝜃13𝑡𝑎𝑛𝜃5
4×(2)13×(2)5
（2）
3𝑠𝑖𝑛(𝜋𝜃)5𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜃)
=
4𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃3𝑠𝑖𝑛𝜃5𝑐𝑜𝑠𝜃
===7．
19．（12分）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为Rm的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，已知A（2√3，﹣2），设点P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝f（t）＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜）．（1）求函数f（t）的解析式；
（2）当水车转动一圈时，求点P到水面的距离不低于4m的持续时间.
𝜋
2
第15页（共19页）
解：（1）由图可知：R＝OA＝4，
2𝜋𝜋周期𝑇==60⇒𝜔=，
𝜔20
∵t＝0时，在𝐴(2√3，−2)，∴𝑓(0)=−2⇒4𝑠𝑖𝑛𝜑=−2⇒𝑠𝑖𝑛𝜑=−，
𝜋7𝜋
∴𝜑=−+2𝑘𝜋或𝜑=+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，
66
𝜋𝜋𝜋＜∵|𝜑|，∴𝜑=−+2𝑘𝜋，且取k＝0，则𝜑=−．
2
6
6
1
2
∴𝑓(𝑡)=4𝑠𝑖𝑛(
𝜋𝜋𝑡−)．306
（2）点P到水面的距离等于4m时，y＝2，
𝜋5𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋1𝜋𝜋𝜋𝜋
故𝑦=2=𝑓(𝑡)⇒4𝑠𝑖𝑛(𝑡−)=2⇒𝑠𝑖𝑛(𝑡−)=⇒𝑡−=或𝑡−=，
306306230663066
即t1＝10，t2＝30，t2﹣t1＝20，
∴当水车转动一圈时，点P到水面的距离不低于4m的持续时间为20秒．20．（12分）已知函数f（x）=𝑙𝑜𝑔2(（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）若2𝑓(2𝑥)−k≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（3）解关于a的不等式g（a）﹣g（2﹣a）≤2a﹣2．
𝑥+12
解：（1）证明：函数f（x）=𝑙𝑜𝑔2(+1)，即f（x）＝log2，
𝑥−1𝑥−1
2
+1)，g（x）＝﹣2x+1．𝑥−1
可得
𝑥+1𝑥−1
＞0，解得x＞1或x＜﹣1，可得定义域为{x|x＜﹣1或x＞1}，关于原点对称，
𝑥−1𝑥+1
f（﹣x）＝log2=−log2
𝑥+1𝑥−1
=−f（x），则f（x）为奇函数；
（2）由2x＞1或2x＜﹣1，解得x＞0，所以2𝑓(2𝑥)−k≥g（x）（x＞0）恒成立，即2
2𝑥+1
𝑥
2+1𝑙𝑜𝑔2𝑥
2−1
−k≥﹣2x+1，
𝑥+122
化为−k≥﹣2x+1，即k≤𝑥+2x+1＝3+𝑥+2（2x﹣1）对x＞0恒成立，
2−12−12𝑥−1
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22x由3+𝑥+2（2﹣1）≥3+2×2＝7，当且仅当=2（2x﹣1）即x＝1时，取得等号，
2−12𝑥−1
所以k≤7，即k的取值范围是（﹣∞，7]；
（3）不等式g（a）﹣g（2﹣a）≤2a﹣2，即为g（a）﹣a≤g（2﹣a）﹣（2﹣a），设h（x）＝g（x）﹣x，即h（x）＝﹣2x+1﹣x，可得h（x）在R上递减，所以h（a）≤h（2﹣a），所以a≥2﹣a，解得a≥1，所以原不等式的解集为[1，+∞）．
21．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数y＝f（x）的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来
12𝜋
𝜋
2
的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．
𝜋𝜋
①当x∈[−，]时，求函数g（x）的值域；
32
②若方程g（x）﹣m＝0在[0，的值．
7𝜋3
]上有三个不相等的实数根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求tan（x1+2x2+x3）
𝑇7𝜋𝜋𝜋111
解：由图示得：A==，B=−（−）＝1，又=−=，
2222212122
3−122
∴T＝π，∴ω=
2𝜋
=2，𝑇
𝜋31
∴f（x）=sin（2x+φ）+1，又因为f（x）过点（，），
2122
∴=sin（2×
2
2𝜋
31
𝜋
+φ）+1，12
∴sin（+φ）＝1，
6
∴+φ=
6
𝜋
𝜋𝜋𝜋+2kπ，k∈Z，解得φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，232
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∴φ=，
∴f（x）=sin（2x+）+1，
1𝜋
（2）①由已知可得g（x）=sin（x+）+1，
26
𝜋𝜋𝜋𝜋2𝜋𝜋1
当x∈[−，]时，x+∈[−，]，sin（x+）∈[−，1]，
3266362331𝜋
∴g（x）=sin（x+）+1∈[，]，
22
12
𝜋3
𝜋3
∴函数g（x）的值域为[，]；
4
2
𝜋𝜋5𝜋𝜋𝜋5𝜋
②当x∈[0，]时，x+∈[，]，令t＝x+∈[，]，
6626623
7𝜋
33
∴h（t）=sint+1，则函数h（t）的图象如下图所示，
3𝜋5𝜋1𝜋513𝜋115𝜋3
且h（）=sin+1=，h（）=sin+1=，h（）=sin+1=，
2222262222
𝜋
12
（t1＜t2＜t3），则t1+t2＝2×由图象可得h（t）﹣m＝0有三个不同的实数根t1，t2，t3，∴t1＝2t2+t3＝4π，即x1++2（x2+）+x3+=4π，∴x1+2x2+x3=
10𝜋
．3
10𝜋3𝜋6
𝜋6
𝜋6
𝜋
=π，t3＝2π+t1，2
∴tan（x1+2x2+x3）＝tan
=tan（4π−
2𝜋
）=√3．3
22．（12分）对于函数f（x），若在其定义域内存在实数x0，t，使得f（x0+t）＝f（x0）+f（t）成立，则称f（x）是“t跃点”函数，并称x0是函数f（x）的1个“t跃点”．（1）求证：函数f（x）＝2x+2x2在[0，1]上是“1跃点”函数；
（2）若函数g（x）＝x3+ax2﹣3在（﹣2，+∞）上存在2个“1跃点”，求实数a的取值范围；（3）是否同时存在实数m和正整数n使得函数h（x）＝cos2x﹣m在[0，nπ]上有2022个“跃点”？若
2𝜋
1
2
存在，请求出m和n满足的条件；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：因为f（x+1）＝2x+1+2（x+1）2＝f（x）+f（1）＝2x+2x2+4，整理得2x+4x﹣2＝0，令v（x）＝2x+4x﹣2，因为v（0）＝﹣1＜0，v（1）＝4＞0，所以v（x）在区间[0，1]有零点，即存在x0∈[0，1]，使得2x0+4x0﹣2＝0，
，即存在x0∈[0，1]，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）
所以，函数函数f（x）＝2x+2x2在[0，1]上是“1跃点”函数；
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123（2）函数g（x）＝x+ax﹣3
2
1
2
12
在（﹣2，+∞）上存在2个“1
13跃点”⇔方程（x+1）+a（x+1）2﹣
2
3＝x3+ax2﹣3+1+𝑎−3在（﹣2，+∞）上有两个实数根，即3x2+（a+3）x+3＝0在（﹣2，+∞）上有两个实数根，
𝑢(−2)=12−2(𝑎+3)+3＞0
令u（x）＝3x2+（a+3）x+3，则−𝑎+3＞−2
6
，
{𝛥=(𝑎+3)2−36＞0
解得a＜﹣9或3＜a＜，
所以a的取值范围是（﹣∞，﹣9）∪（3，）；
2
𝜋𝜋
（3）由h（x+）＝h（x）+h（），得cos（2x+π）﹣m＝cos2x﹣m+cosπ﹣m，
22𝑚+1
即cos2x=，
2
9
92
因为函数h（x）＝cos2x﹣m在[0，nπ]上有2022个“跃点”，所以方程cos2x=
2
𝜋
𝑚+1
在[0，nπ]上有20222
个解，
𝑚+1
的图象有2022个交点，2
𝑚+1𝑚+1𝑚+1
＜＜1，=1=−1−1所以{2或{2或{2
即函数y＝cos2x与y=
𝑛=2021𝑛=2022𝑛=1011
𝑚=1𝑚=−3−3＜𝑚＜1．即{或{或{
𝑛=2021𝑛=2022𝑛=1011
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