2020年北京市初一数学下期末一模试卷含答案

一、选择题

1．已知关于x的不等式组A．32．将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A、B两点分别落在直线m、n上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n( )

的解中有3个整数解，则m的取值范围是（ ）

A．∠2＝20° B．∠2＝30° C．∠2＝45° D．∠2＝50°

3．计算2535的值是（ ） A．－1

B．1

C．525 2D．255

4．已知实数x，y满足5xy4(xy)0，则实数x，y的值是（ ） A．x2

y2B．x0

y0C．x2

y2D．x3 y35．小明对九（1）、九（2）班（人数都为50人）参加“阳光体育”的情况进行了调查，统计结果如图所示.下列说法中正确的是( )

A．喜欢乒乓球的人数(1)班比(2)班多 C．喜欢羽毛球的人数(1)班比(2)班多 ( ) A．﹣3

B．﹣5

B．喜欢足球的人数(1)班比(2)班多 D．喜欢篮球的人数(2)班比(1)班多

6．已知平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为

C．1或﹣3

D．1或﹣5

xa2＞0{7．若不等式组的解集为0＜x＜1，则a，b的值分别为( ) 2xb1＜0A．a＝2，b＝1 B．a＝2，b＝3 C．a＝－2，b＝3 D．a＝－2，b＝1

8．点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( ) A．4cm

B．2cm;

C．小于2cm

D．不大于2cm

9．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）

A．132° B．134° C．136° D．138°

10．若点Pa,a1在x轴上，则点Qa2,a1在第（ ）象限． A．一 A．第一象限 题的四个步骤：

①∴ABC180O，这与三角形内角和为180O矛盾,②因此假设不成立．∴B90O,③假设在ABC中，B90O,④由ABAC，得

B．二 B．第二象限

C．三 C．第三象限

D．四 D．第四象限

11．在平面直角坐标系中,点P(1,-2)在（ ）

12．已知：ABC中，ABAC，求证：B90O，下面写出可运用反证法证明这个命

BC90O，即BC180O．这四个步骤正确的顺序应是（ ）

A．③④②①

B．③④①②

C．①②③④

D．④③①②

二、填空题

13．如图，将周长为9的△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____．

14．如图，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，则∠BEC＝. ________°

15．若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B， 则点B的坐标为_______．

2x3y7，16．如果方程组的解是方程7xmy16的一个解，则m的值为

5xy9____________．

17．结合下面图形列出关于未知数x，y的方程组为_____．

ax40x18．已知关于的不等式组恰好有2个整数解，则整数a的值是___________.

3x3919．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是________________________

20．在平面直角坐标系中，若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标是________．

三、解答题

x3121．解方程． x1(x1)(x2)22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足(a8)2c40，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，

Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动. （1）直接写出点B的坐标，AO和BC位置关系是；

（2）当P、Q分别是线段AO，OC上时，连接PB，QB，使SPAB2SQBC，求出点P的坐标；

（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ=30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由.

23．已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置，让三角尺在BC所在的直线上向右平移．如图①，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角尺的斜边DF上．

(1)利用图①证明：EF＝2BC．

(2)在三角尺的平移过程中，在图②中线段AH＝BE是否始终成立(假定AB，AC与三角尺的斜边的交点分别为G，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

24．如图1，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，

∠EAC+∠ACE=90°．

（1）请判断l1与l2的位置关系并说明理由；

（2）如图2，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（不与点C重合）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？请说明理由．

25．某单位需采购一批商品,购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元,而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．

1求甲、乙商品每件各多少元？

2本次计划采购甲、乙商品共30件,计划资金不超过460元,

①最多可采购甲商品多少件？

②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的

买这批商品最少要用多少资金．

4,请给出所有购买方案,并求出该单位购5

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】

表示出不等式组的解集，由解集中有3个整数解，确定出m的范围即可． 【详解】

不等式组解集为1＜x＜m，

由不等式组有3个整数解，且为2，3，4，得到4＜m≤5， 故选C． 【点睛】

此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据平行线的性质即可得到∠2=∠ABC+∠1，即可得出结论． 【详解】 ∵直线EF∥GH，

+20°=50°∴∠2=∠ABC+∠1=30°， 故选D． 【点睛】

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

3．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据正数的绝对值是它本身和负数的绝对值是它的相反数，化简合并即可得到答案． 【详解】

解：2535=253525351， 故选B． 【点睛】

本题主要考查了去绝对值的知识点，掌握正数的绝对值是它本身和负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据绝对值和平方的非负性，得到二元一次方程粗，求解即可得到答案． 【详解】

解：∵实数x，y满足5xy4(xy)0，

22∴xy40且(xy)0，

xy40即，

xy0x2解得：，

y2故选C． 【点睛】

本题只要考查了绝对值和平方的非负性，知道一个数的绝对值不可能为负数和平方后所得的数非负数是解题的关键．

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据扇形图算出（1）班中篮球，羽毛球，乒乓球，足球，羽毛球的人数和（2）班的人数作比较，（2）班的人数从折线统计图直接可看出． 【详解】

解：A、乒乓球：(1)班50×16%=8人，(2)班有9人，8<9，故本选项错误； B、足球：(1)班50×14%=7人，(2)班有13人，7<13，故本选项错误； C、羽毛球：(1)班50×40%=20人，(2)班有18人，20>18，故本选项正确； D、篮球：(1)班50×30%=15人，(2)班有10人，15>10，故本选项错误. 故选C. 【点睛】

本题考查扇形统计图和折线统计图，扇形统计图表现部分占整体的百分比，折线统计图表现变化，在这能看出每组的人数，求出(1)班喜欢球类的人数和(2)班比较可得出答案．

6．A

解析：A 【解析】

分析：根据点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等，得到4＝|2a＋2|，即可解答．

详解：∵点A（a＋2，4）和B（3，2a＋2）到x轴的距离相等， ∴4＝|2a＋2|，a＋2≠3， 解得：a＝−3， 故选A．

点睛：考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：到x轴和y轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数．

7．A

解析：A 【解析】

试题分析：先把a、b当作已知条件求出不等式组的解集，再与已知解集相比较即可求出a、b的值．

xa20①1b解：，由①得，x＞2﹣a，由②得，x＜，

2xb10②21b， 2∵原不等式组的解集为0＜x＜1，

故不等式组的解集为；2﹣a＜x＜∴2﹣a=0，故选A．

1b=1，解得a=2，b=1． 28．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案． 【详解】

当PC⊥l时，PC是点P到直线l的距离，即点P到直线l的距离2cm，

当PC不垂直直线l时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线l的距离小于2cm，

综上所述：点P到直线l的距离不大于2cm， 故选：D． 【点睛】

考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．

9．B

解析：B 【解析】

过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案． 解：

过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF，

∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA， ∵∠C=44°，∠AEC为直角，

∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°， ∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°， 故选B．

“点睛”本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

由点P在x轴上求出a的值，从而得出点Q的坐标，继而得出答案． 【详解】

∵点P（a，a-1）在x轴上， ∴a-1=0，即a=1， 则点Q坐标为（-1，2）， ∴点Q在第二象限， 故选：B． 【点睛】

此题考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点．

11．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据各象限内点的坐标特征解答即可. 【详解】

∵点P(1,-2),横坐标大于0，纵坐标小于0，∴点P(1,-2)在第三象限,故选D.

【点睛】

本题考查了象限内点的坐标特征，关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号．

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可. 【详解】

题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：

应该为：(1)假设∠B≥90°，

(2)那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°， (3)所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾， (4)因此假设不成立．∴∠B＜90°， 原题正确顺序为：③④①②， 故选B． 【点睛】

本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.

二、填空题

13．11【解析】【分析】根据平移的基本性质得出四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BF＋DF＝1＋AB＋BC＋1＋AC即可得出答案【详解】解：根据题意将周长为9的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△D 解析：11 【解析】 【分析】

根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BF＋DF＝1＋AB＋BC＋1＋AC即可得出答案． 【详解】

解：根据题意，将周长为9的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF， ∴AD＝1，BF＝BC＋CF＝BC＋1，DF＝AC； 又∵AB＋BC＋AC＝9，

∴四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BF＋DF＝1＋AB＋BC＋1＋AC＝11． 故答案为：11． 【点睛】

本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF＝AD，DF＝AC是解题的关键．

14．40【解析】根据平行线的性质先求出∠BEF和∠CEF的度数再求出它们的差就可以了解：∵AB∥EF∴∠BEF=∠ABE=70°；又∵EF∥CD∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°

解析：40 【解析】

根据平行线的性质，先求出∠BEF和∠CEF的度数，再求出它们的差就可以了． 解：∵AB∥EF， ∴∠BEF=∠ABE=70°； 又∵EF∥CD，

∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°， ∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°； 故应填40．

“点睛”本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等进行解题．

15．（﹣1﹣1）【解析】试题解析：点B的横坐标为1-2=-1纵坐标为3-4=-1所以点B的坐标是（-1-1）【点睛】本题考查点的平移规律；用到的知识点为：点的平移左右平移只改变点的横坐标左减右加；上下平

解析：（﹣1，﹣1） 【解析】

试题解析：点B的横坐标为1-2=-1，纵坐标为3-4=-1， 所以点B的坐标是（-1，-1）．

【点睛】本题考查点的平移规律；用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．

16．2【解析】分析：求出方程组的解得到x与y的值代入方程计算即可求出m的值详解：①+②×3得：17x=34即x=2把x=2代入①得：y=1把x=2y=1代入方程7x+my=16得：14+m=16解得：m 解析：2 【解析】

分析：求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出m的值． 详解：2x3y7①，

5xy9②3得：17x=34，即x=2， ①+②×

把x=2代入①得：y=1，

把x=2，y=1代入方程7x+my=16得：14+m=16， 解得：m=2， 故答案为：2．

点睛：此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程解的概念，解出二元一次方程组的解代入另一个方程是解决此题的关键．

17．【解析】【分析】根据图形列出方程组即可【详解】由图可得故答案为【点睛】本题考查了二元一次方程组解题的关键是根据实际问题抽象出二元一次方程组

解析：2xy50 ．

3x2y5【解析】 【分析】

根据图形列出方程组即可． 【详解】

2xy50. 由图可得3x2y5故答案为【点睛】

本题考查了二元一次方程组，解题的关键是根据实际问题抽象出二元一次方程组.

2xy50.

3x2y518．【解析】【分析】首先确定不等式组的解集先利用含a的式子表示根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解根据解的情况可以得到关于a的不等式从而求出a的范围【详解】解：解得不等式组的解集为:且∵不等式组只有2

解析：4，3 【解析】 【分析】

首先确定不等式组的解集,先利用含a的式子表示,根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解,根据解的情况可以得到关于a的不等式,从而求出a的范围. 【详解】

ax404解：解得不等式组的解集为: -a3x39∵不等式组只有2个整数解 ∴不等式组的整数解是:2，3 ∴1-42 a∴-4a<2， ∵a为整数

∴整数a的值是-4， -3 故答案为：4，3 【点睛】

此题考查一元一次不等式组的整数解,熟练掌握运算法则是解题关键

19．【解析】【分析】设绳索长为x尺竿子长为y尺根据索比竿子长一托折回

索子却量竿却比竿子短一托即可得出关于xy的二元一次方程组【详解】解：根据题意得：故答案为：【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用找准等

x＝y5 解析：1x＝y52【解析】 【分析】

设绳索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】

x＝y5解：根据题意得：1．

x＝y52x＝y5故答案为：1．

x＝y52【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

20．（±30）【解析】解：若x轴上的点P到y轴的距离为3则∴x=±3故P的坐标为（±30）故答案为：（±30）

解析：（±3，0） 【解析】

3．故P的坐标为（±3，解：若x轴上的点P到y轴的距离为3，则x3，∴x=±0）．故答案为：（±3，0）．

三、解答题

21．原分式方程无解. 【解析】 【分析】

根据解分式方程的方法可以解答本方程，去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程，验证. 【详解】

方程两边乘(x﹣1)(x+2)，得x(x+2)﹣(x﹣1)(x+2)＝3 即：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3 整理，得x＝1

检验：当x＝1时，(x﹣1)(x+2)＝0， ∴原方程无解．

【点睛】

本题考查解分式方程，解题的关键是明确式方程的计算方法． 22．(1)（-4，-4） ,BC∥AO；（2）P（−4，0）;（3）∠PQB =∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ=150° 【解析】 【分析】

（1）由(a8)2c40解出c，得到B点，易知BC∥AO；

（2）过B点作BE⊥AO于E，设时间经过t秒，AP＝2t，OQ＝t，CQ＝4-t；用t表示出

SPAB与SQBC，根据SPAB2SQBC列出方程解出t即可；

（3）要分情况进行讨论，①当点Q在点C的上方时；过Q点作QH∥AO 如图1所示，利用平行线的性质可得到∠PQB =∠OPQ+30°；

②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO 如图2所示，同样利用平行线的性质可得到，∠BQP+∠OPQ=150° 【详解】

(1)由(a8)2c40得到c+4=0，得到c=-4 （-4，-4） ,BC∥AO (2)过B点作BE⊥AO于E

设时间经过t秒，则AP＝2t，OQ＝t，CQ＝4-t ∵BE＝4，BC＝4， ∴SVAPB11AP·BE2t44t 2211CQ?BC4t482t 22 SVBCQ∵SVAPB2SVBCQ ∴4t282t 解得t=2 ∴AP＝2t＝4 ∴P（−4，0）

(3) ①当点Q在点C的上方时；过Q点作QH∥AO 如图一所示，

∴∠OPQ=∠PQH. 又∵BC∥AO，QH∥AO ∴QH∥BC

. ∴∠HQB=∠BCQ=30°

∴∠OPQ+∠BCQ=∠PQH+∠BQH. ∴即∠PQB =∠OPQ+∠CBQ. 即∠PQB =∠OPQ+30°

②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO 如图二所示，

∴∠OPQ=∠PQJ. 又∵BC∥AO，QH∥AO ∴QH∥BC

. ∴∠HQB=∠BCQ=30°

∴∠HQB+∠BQP+∠PQJ=180°， +∠BQP+∠OPQ=180°∴30° 即∠BQP+∠OPQ=150°

综上所述∠PQB =∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ=150° 【点睛】

本题重点考察非负项的性质、三角形面积的计算、平行线的性质等知识点，综合程度比较高，第三问对Q点进行分情况讨论，作出辅助线是解题关键 23．（1）详见解析；（2）成立，证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）根据等边三角形的性质，得∠ACB=60°，AC=BC．结合三角形外角的性质，得

∠CAF=30°，则CF=AC，从而证明结论；

（2）根据（1）中的证明方法，得到CH=CF．根据（1）中的结论，知BE+CF=AC，从而证明结论． 【详解】

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．

=30°∵∠F=30°，∴∠CAF=60°－30°，∴∠CAF=∠F，∴CF=AC，∴CF=AC=BC，∴EF=2BC．

（2）成立．证明如下：

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．

=30°∵∠F=30°，∴∠CHF=60°－30°，∴∠CHF=∠F，∴CH=CF． ∵EF=2BC，∴BE＋CF=BC．

又∵AH＋CH=AC，AC=BC，∴AH=BE． 【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定及性质．证明EF=2BC是解题的关键．

24．（1）l1∥l2；（2）①当Q在C点左侧时，∠BAC=∠CQP +∠CPQ，②当Q在C点右侧时，∠CPQ+∠CQP+∠BAC=180°． 【解析】 【分析】

（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，再由∠1+∠2=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出结论；

（2）分两种情况讨论：①当Q在C点左侧时；②当Q在C点右侧时． 【详解】

解：（1）l1∥l2．理由如下：

∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD(已知)， ∴∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2(角平分线的定义)； (已知)， 又∵∠1+∠2=90°

∴∠BAC+∠ACD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=180°（等量代换）

∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行） （2）①当Q在C点左侧时，过点P作PE∥l1．

∵l1∥l2（已证），

∴PE∥l2（同平行于一条直线的两直线互相平行）， ∴∠1=∠2，(两直线平行，内错角相等)， ∠BAC=∠EPC，(两直线平行，同位角相等)，

又∵∠EPC=∠1+∠CPQ，

∴∠BAC=∠CQP +∠CPQ（等量代换） ②当Q在C点右侧时，过点P作PE∥l1． ∵l1∥l2（已证），

∴PE∥l2（同平行于一条直线的两直线互相平行）， ∴∠1=∠2，∠BAC=∠APE，(两直线平行，内错角相等)， 又∵∠EPC=∠1+∠CPQ，

∠APE+∠EPC=180°（平角定义） ∴∠CPQ+∠CQP+∠BAC=180°． 【点睛】

本题考查了平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键．

25．（1）甲商品每件17元，乙商品每件12元；（2）①最多可采购甲商品20件；②购买方案有四种，

方案一：甲商品20件，乙商品10件，此时花费为：20×17+10×12=460（元）； 方案二：甲商品19件，乙商品11件，此时花费为：19×17+11×12=455（元）； 方案三：甲商品18件，乙商品12件，此时花费为：18×17+12×12=450（元）； 方案四：甲商品17件，乙商品13件，此时花费为：17×17+13×12=445（元）. 即购买甲商品17件，乙商品13件时花费最少，最少要用445元．

【解析】 【分析】

（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】

解：（1）设甲商品每件x元，乙商品每件y元，

10x15y350， 15x10y375x17解得，，

y12即甲商品每件17元，乙商品每件12元； （2）①设采购甲商品m件， 17m+12（30-m）≤460， 解得，m≤20，

即最多可采购甲商品20件； ②由题意可得，

m204， 30mm52m20， 3∴购买方案有四种，

解得，1617+10×12=460（元）， 方案一：甲商品20件，乙商品10件，此时花费为：20×

17+11×12=455（元）， 方案二：甲商品19件，乙商品11件，此时花费为：19×

17+12×12=450（元）， 方案三：甲商品18件，乙商品12件，此时花费为：18×

17+13×12=445（元）. 方案四：甲商品17件，乙商品13件，此时花费为：17×

即购买甲商品17件，乙商品13件时花费最少，最少要用445元． 【点睛】

本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．