2021年上海市浦东新区中考数学三模试卷(附答案详解)

2021年上海市浦东新区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分） 1. 下列正整数中，属于素数的是( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

2. 下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是( )

A. √6

B. √9

C. √13

D. √18

3. 已知直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过第一、二、四象限，那么直线𝑦=𝑏𝑥+𝑘一定不经过( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是千克，但后来发现在

计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么( )

A. 𝑎<𝑏 B. 𝑎=𝑏 C. 𝑎>𝑏 D. 无法判断

5. 正六边形的半径与边心距之比为( )

A. 1：√3 B. √3：1 C. √3：2 D. 2：√3 6. 下列命题中正确的个数是( )

①过三点可以确定一个圆；

②直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5； ③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米； ④三角形的重心到三角形三边的距离相等．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 7. 计算：𝑎⋅(3𝑎)2=______． 8. 化简：𝑎−3𝑎=______．

9. 已知关于x的方程𝑥2+3𝑥−𝑚=0有两个相等的实数根，则m的值为______． 10. 如果将抛物线𝑦=2𝑥2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为______． 11. 不透明的袋中装有8个小球，这些小球除了有红白两种颜色外其它都一样，其中2

6个小球为白色，个小球为红色，随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为______． 12. 秋季新学期开学时，某中学对六年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行

了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了不完整的图表(如表所示)，图表中𝑐=______．

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1

1

分数段 60≤𝑥<70 70≤𝑥<80 80≤𝑥<90 90≤𝑥≤100 频数 6 20 15 c 𝑘

频率(频率a 0.4 b 0.18 13. 已知反比例函数𝑦=𝑥的图象经过点(2,−1)，则𝑘=______． 14. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D在边AB上，𝐴𝐵=4𝐴𝐷，设

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗ ⃗ 、那么向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=𝑎⃗ ，𝐷𝐶用向量𝑎𝐴𝐶𝑏，𝑏表示为______．

15. 已知点C在线段AB上，且0<𝐴𝐶<2𝐴𝐵.如果⊙𝐶经过点A，那么点B与⊙𝐶的位

置关系是______．

16. 如图，点M、N分别在∠𝐴𝑂𝐵的边OA、OB上，将∠𝐴𝑂𝐵沿直线MN翻折，设点O

落在点P处，如果当𝑂𝑀=4，𝑂𝑁=3时，点O、P的距离为4，那么折痕MN的长为______ ．

1

17. 如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边

形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2√5的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是______． 18. 如图，点M的坐标为(3,2)，点P从原点O出发，以每秒1

个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线l也随之上下平移，且直线l与直线𝑦=−𝑥平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值可以是______．

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三、解答题（本大题共7小题，共66.0分） 19. 计算：(√2021−1)0+|1−√3|+()−1+83．

3

3(𝑥−2)≤8−(𝑥+6)

20.解不等式组：{𝑥+12𝑥−1，并把解集在数轴上表示出来．

<+1

2

3

1

1

∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=4，21. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，点D在边BC上，且𝐵𝐷=3𝐶𝐷，

𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为点E，联结CE． (1)求线段AE的长； (2)求∠𝐴𝐶𝐸的余切值．

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22. 疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该

种无纺布的销售方案．

A公司方案：无纺布的价格𝑦(万元)与其重量𝑥(吨)是如图所示的函数关系； B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元．

(1)求如图所示的y与x的函数解析式；(不要求写出定义域)

(2)如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．

23. 如图，已知梯形ABCD中，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐷=90°，BE平分∠𝐴𝐵𝐶，交CD于点E，F

是AB的中点，联结AE、EF，且𝐴𝐸⊥𝐵𝐸． 求证：(1)四边形BCEF是菱形； (2)𝐵𝐸⋅𝐴𝐸=2𝐴𝐷⋅𝐵𝐶．

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24. 在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线𝑦=𝑥2

上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．

如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为2，且与y轴交于点𝐶.设点A的横坐标为𝑚(𝑚>0)，过点A作y轴的垂线交y轴于点B．

(1)当𝑚=1时，求这条“子抛物线”的解析式； (2)用含m的代数式表示∠𝐴𝐶𝐵的余切值； (3)如果∠𝑂𝐴𝐶=135°，求m的值．

3

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25. 如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=10，𝐴𝐶=12，D是AC边上一点，且𝐴𝐵2=

F分别是BC、AC上两点(点E不与B、C重合)，𝐴𝐷⋅𝐴𝐶，∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶，联结BD，点E、AE与BD相交于点

G．

(1)求证：BD平分∠𝐴𝐵𝐶；

(2)设𝐵𝐸=𝑥，𝐶𝐹=𝑦，求y与x之间的函数关系式； (3)联结FG，当△𝐺𝐸𝐹是等腰三角形时，求BE的长度．

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：各选项中，只有2除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，故属于素数的是2． 故选：A．

根据素数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，进而得出答案． 此题主要考查了有理数，正确把握素数的定义是解题关键．

2.【答案】C

【解析】解：与√3是同类二次根式的是√，

31

故选：C．

各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．

此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．

3.【答案】B

【解析】解：∵直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过第一、二、四象限， ∴𝑘<0，𝑏>0，

∴直线𝑦=𝑏𝑥+𝑘一定不经过第二象限． 故选：B．

𝑏>0，由直线经过一、二、四象限可分析𝑘<0，由此判定𝑦=𝑏𝑥+𝑘不经过第二象限． 本题考查了一次函数的性质，关键要知道k和b对图象的决定作用．

4.【答案】A

【解析】解：原数据中5在中位数的左边，新数据中50<， 所以中位数𝑎=，

新数据比原数据增加了45，而数据的个数没有变化， 所以平均数𝑏>， 则𝑏>𝑎， 故选：A．

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根据中位数和平均数的定义分别判断出a、b与的大小关系，据此可得答案． 此题考查了中位数和平均数，将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

5.【答案】D

【解析】 【试题解析】 【分析】

此题主要考查正多边形与圆的知识，等边三角形高的计算，要求学生熟练掌握应用.可设正六边形的半径为R，欲求半径与边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．

解：如图所示，设正六边形的半径为R，

又该多边形为正六边形， 故∠𝑂𝐵𝐴=60°，

在𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐺中，𝑂𝐺=√𝑅，

2∴边心距𝑟=√𝑅

2

即半径与边心距之比2：√3， 故选D．

33

6.【答案】A

【解析】解：①过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，本说法错误； ②直角三角形的两条直角边长分别是5和12， 则斜边长=√52+122=13，

∴那么它的外接圆半径为6.5，本说法正确；

③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米或1厘米，本说法错误；

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④三角形的内心到三角形三边的距离相等，本说法错误； 故选：A．

根据确定圆的条件、圆周角定理和勾股定理、两圆的位置关系、三角形的重心的概念判断．

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

7.【答案】9𝑎3

【解析】解：原式=𝑎⋅9𝑎2=9𝑎3， 故答案为：9𝑎3．

先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算．

本题主要考查了积的乘方法则，单项式乘以单项式的法则，同底数幂的乘法法则，熟记各项法则是解题的关键．

8.【答案】3𝑎

【解析】解：原式=3𝑎−3𝑎 =

23𝑎

3

1

2

．

2

故答案为：3𝑎

原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可．

此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出最简公分母．

9.【答案】−4

【解析】 【分析】

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与△=𝑏2−4𝑎𝑐的关系是解答此题的关键．根据方程有两个相等的实数根得出△=0，求出m的值即可． 【解答】

解：∵关于x的方程𝑥2+3𝑥−𝑚=0有两个相等的实数根， ∴△=32−4×1×(−𝑚)=0，

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9

解得：𝑚=−4， 故答案为−4．

9

9

10.【答案】𝑦=2(𝑥+3)2

【解析】解：将抛物线𝑦=2𝑥2向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为𝑦=2(𝑥+3)2，

故答案为：𝑦=2(𝑥+3)2．

根据“左加右减，上加下减”的规律解题．

主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．

11.【答案】4

【解析】 【分析】

本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率𝑃(𝐴)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 用红色小球的个数除以球的总个数即可得． 【解答】

解：∵袋子有8个小球，其中红色小球有2个， ∴随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为6+2=8=4， 故答案为：4．

1

2

2

1

1

12.【答案】9

【解析】解：0.4=50， 𝑐=50−6−20−15=9， 故答案为：9

根据表格中的数据可以求得抽查的学生数，从而可以求得c的值．

本题考查频数分布表，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案．

20

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13.【答案】−2

【解析】 【分析】

直接把点(2,−1)代入反比例函数𝑦=𝑥即可得出结论．

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【解答】

解：∵反比例函数𝑦=𝑥的图象经过点(2,−1)， ∴−1=2， 解得𝑘=−2． 故答案为：−2． ⃗ +⃗ 𝑏 14.【答案】−4𝑎

1

𝑘

𝑘

𝑘

【解析】解：∵𝐴𝐵=4𝐴𝐷， ∴𝐴𝐷=𝐴𝐵，

41

⃗⃗⃗⃗⃗ =1⃗⃗⃗⃗⃗ ∴⃗𝐴𝐷𝐴𝐵，

4⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵𝐷𝐶

1∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶=−𝑎⃗ +⃗ 𝑏，

4

1

⃗ +⃗ 𝑏． 故答案为：−4𝑎

⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 求解即可． 利用三角形法则：⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶=𝐷𝐴

本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

15.【答案】点B在⊙𝐶外

【解析】解：如图，

∵点C在线段AB上，且0<𝐴𝐶<2𝐴𝐵， ∴𝐵𝐶>𝐴𝐶， ∴点B在⊙𝐶外，

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1

故答案为：点B在⊙𝐶外．

直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．

本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙𝑂的半径为r，点P到圆心的距离𝑂𝑃=𝑑，当𝑑>𝑟时点P在圆外；当𝑑<𝑟时点P在圆内是解答此题的关键．

16.【答案】2√3−√5

【解析】解：设MN与OP交于点E，

∵点O、P的距离为4， ∴𝑂𝑃=4，

∵将∠𝐴𝑂𝐵沿直线MN翻折， ∴𝑀𝑁⊥𝑂𝑃，𝐸𝑂=𝐸𝑃=2，

在𝑅𝑡△𝑂𝑀𝐸中，𝑀𝐸=√𝑂𝑀2−𝑂𝐸2=2√3， 在𝑅𝑡△𝑂𝑁𝐸中，𝑁𝐸=√𝑂𝑁2−𝑂𝐸2=√5， ∴𝑀𝑁=𝑀𝐸−𝑁𝐸=2√3−√5， 故答案为：2√3−√5．

由折叠的性质可得𝑀𝑁⊥𝑂𝑃，𝐸𝑂=𝐸𝑃=2，由勾股定理可求ME，NE的长，即可求MN的长．

本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．

17.【答案】1

【解析】解：根据题意画图如下：

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连接BD，与AC交与点M， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠𝐴𝑀𝐷=∠𝐷𝑀𝐶=90°，

∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵，𝐶𝐷=𝐶𝐷，𝐴𝑀=𝐶𝑀， ∴𝐷𝑀2=𝐴𝐷2−𝐴𝑀2， 设𝐴𝑀=𝑥，

则𝐷𝑀2=(2√5)2−𝑥2， 连接OD、OB， 在△𝑂𝐶𝐷和△𝑂𝐶𝐵中， 𝑂𝐷=𝑂𝐵{𝑂𝐶=𝑂𝐶， 𝐶𝐷=𝐶𝐵

∴△𝑂𝐶𝐷≌𝑂𝐶𝐵(𝑆𝑆𝑆)， ∴∠𝑂𝐶𝐷=∠𝑂𝐶𝐵，

∴∠𝐴𝐶𝐷+∠𝑂𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝑂𝐶𝐵=180°， ∴𝑂𝐶与AC在一条直线上， ∴△𝑂𝑀𝐷是一个直角三角形， 𝑂𝑀=𝑂𝐴−𝐴𝑀=5−𝑥， ∴𝐷𝑀2=𝑂𝐷2−𝑂𝑀2， =52−(5−𝑥)2，

∴(2√5)2−𝑥2=52−(5−𝑥)2， 𝑥=2，

∴𝐴𝑀=𝐶𝑀=2，

∴𝑂𝐶=𝑂𝐴−𝐴𝑀−𝐶𝑀=5−2−2=1． 故答案为：1．

先根据题意画出图形，连接BD、OD，设𝐴𝑀=𝑥，根据𝐴𝐷2−𝐴𝑀2=𝑂𝐷2−𝑂𝑀2，列出方程，求出x，再根据𝑂𝐶=𝑂𝐴−𝐴𝑀−𝐶𝑀计算即可．

此题考查了圆的性质与计算，用到的知识点是菱形的性质、勾股定理，关键是根据题意画出图形，列出方程．

18.【答案】2或3(答一个即可)

【解析】

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【分析】

找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标，最后分别求出时间t的值．

y轴上均有点M的对称点，考查了一次函数的图象与几何变换．注意在x轴、不要漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法． 【解答】

解：设直线l：𝑦=−𝑥+𝑏．

如图，过点M作𝑀𝐹⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．

过点M作𝑀𝐷⊥𝑥轴于点D，则𝑂𝐷=3，𝑀𝐷=2． 由直线l：𝑦=−𝑥+𝑏可知∠𝑃𝐷𝑂=∠𝑂𝑃𝐷=45°，

∴∠𝑀𝐸𝐷=∠𝑂𝐸𝐹=45°，则△𝑀𝐷𝐸与△𝑂𝐸𝐹均为等腰直角三角形，

∴𝐷𝐸=𝑀𝐷=2，𝑂𝐸=𝑂𝐹=1， ∴𝐸(1,0)，𝐹(0,−1)． ∵𝑀(3,2)，𝐹(0,−1)， ∴线段MF中点坐标为(2,2).

直线𝑦=−𝑥+𝑏过点(2,2)，则=−2+𝑏，解得：𝑏=2， ∴𝑡=2．

∵𝑀(3,2)，𝐸(1,0)， ∴线段ME中点坐标为(2,1)．

直线𝑦=−𝑥+𝑏过点(2,1)，则1=−2+𝑏，解得：𝑏=3， ∴𝑡=3．

故点M关于l的对称点，当𝑡=2时，落在y轴上，当𝑡=3时，落在x轴上． 故答案为：2或3(答一个即可)．

31

3

31

19.【答案】解：原式=1+√3−1+3+3√8

=1+√3−1+3+2

=5+√3．

【解析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，分数指数幂计算即可．

本题考查了零指数幂，绝对值，负整数指数幂，分数指数幂，计算对83是解题的关键．

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1

3(𝑥−2)≤8−(𝑥+6)①

， 20.【答案】解：{𝑥+12𝑥−1

<+1②

2

3

解不等式①，得：𝑥≤2， 解不等式②，得：𝑥>−1， 将不等式解集表示在数轴上如下：

所以不等式组的解集为−1<𝑥≤2．

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．

21.【答案】解：(1)∵𝐵𝐶=4，𝐵𝐷=3𝐶𝐷，

∴𝐵𝐷=3．

∵𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴∠𝐴=∠𝐵=45°． ∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，

∴在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐵中，𝑐𝑜𝑠𝐵=

𝐵𝐸𝐵𝐷

=

√2

． 2

3

∴𝐵𝐸=√2

2

在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，𝐴𝐵=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=4√2，

5

∴𝐴𝐸=√2

2

(2)如图，过点E作𝐸𝐻⊥𝐴𝐶于点H．

∴在𝑅𝑡△𝐴𝐻𝐸中，𝑐𝑜𝑠𝐴=𝐴𝐻=𝐴𝐸⋅𝑐𝑜𝑠45°=2，

5

𝐴𝐻𝐴𝐸

=

√2， 2

∴𝐶𝐻=𝐴𝐶−𝐴𝐻=4−2=2，

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53

∴𝐸𝐻=𝐴𝐻=，

2

∴在𝑅𝑡△𝐶𝐻𝐸中，cot∠𝐸𝐶𝐵=𝐸𝐻=5， 即∠𝐸𝐶𝐵的余切值是5．

3

𝐶𝐻

3

5

【解析】(1)根据锐角三角函数定义即可求出AE的长；

(2)过点E作𝐸𝐻⊥𝐴𝐶于点𝐻.根据等腰直角三角形的性质可得𝐸𝐻=𝐴𝐻的值，再根据三角函数即可求出∠𝐴𝐶𝐸的余切值．

本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握锐角三角函数定义．

22.【答案】解：(1)设一次函数的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘、b为常数，𝑘≠0)，

由一次函数的图象可知，其经过点(0,0.8)、(10,20.3)， 0+𝑏=0.8代入得{，

10𝑘+𝑏=20.3𝑘=1.95解得{，

𝑏=0.8

∴这个一次函数的解析式为𝑦=1.95𝑥+0.8．

(2)如果在A公司购买，所需的费用为：𝑦=1.95×40+0.8=78.8万元； 如果在B公司购买，所需的费用为：2×30+1.9×(40−30)=79万元； ∵78.8<79，

∴在A公司购买费用较少．

【解析】(1)运用待定系数法解答即可；

(2)把𝑥=40代入(1)的结论以及公司方案，分别求出每家公司所需的费用，再进行比较即可．

本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型．

23.【答案】证明：(1)∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，

∴∠𝐸𝐵𝐹=∠𝐵𝐸𝐶， ∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐹𝐵𝐸， ∴∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐶𝐵𝐸， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐵，

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∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐸， ∴∠𝐴𝐸𝐵=90°， ∵𝐹是AB的中点， ∴𝐴𝐹=𝐸𝐹=𝐵𝐹， ∴∠𝐹𝐵𝐸=∠𝐹𝐸𝐵， ∴∠𝐹𝐸𝐵=∠𝐶𝐵𝐸， ∴𝐸𝐹//𝐵𝐶， 而𝐶𝐸//𝐵𝐹，

∴四边形BCEF为平行四边形， ∵𝐶𝐵=𝐶𝐸，

∴四边形BCEF为菱形；

(2)过C点作𝐶𝐻⊥𝐵𝐸于H，如图， ∵𝐶𝐸=𝐶𝐵， ∴𝐵𝐻=𝐸𝐻，

∵∠𝐴𝐸𝐷+∠𝐷𝐴𝐸=90°，∠𝐶𝐸𝐵+∠𝐴𝐸𝐷=90°， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐶𝐸𝐵=∠𝐶𝐵𝐸， ∵∠𝐷=∠𝐶𝐵𝐻， ∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐵𝐻𝐶， ∴

𝐴𝐷𝐵𝐻

=

𝐴𝐸𝐵𝐶12

，即𝐵𝐻⋅𝐴𝐸=𝐴𝐷⋅𝐵𝐶，

∵𝐵𝐻=𝐵𝐸， ∴2𝐵𝐸⋅𝐴𝐸=𝐴𝐷⋅𝐵𝐶， 即𝐵𝐸⋅𝐴𝐸=2𝐴𝐷⋅𝐵𝐶．

1

【解析】(1)先证明∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐶𝐵𝐸得到𝐶𝐸=𝐶𝐵，再根据斜边上的中线性质得到𝐴𝐹=𝐸𝐹=𝐵𝐹，接着证明𝐸𝐹//𝐵𝐶，则可判断四边形BCEF为平行四边形，然后利用𝐶𝐵=𝐶𝐸可判断四边形BCEF为菱形；

(2)过C点作𝐶𝐻⊥𝐵𝐸于H，如图，根据等腰三角形的性质得到𝐵𝐻=𝐸𝐻，再证明△𝐴𝐷𝐸∽△𝐵𝐻𝐶，然后利用相似比得到结论．

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；

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也考查了菱形的判定．

24.【答案】解：(1)由题得，𝐴(𝑚,𝑚2)，

当𝑚=1时，𝐴(1,1)，

∴这条“子抛物线”的解析式：𝑦=2(𝑥−1)2+1；

(2)由𝐴(𝑚,𝑚2)，且𝐴𝐵⊥𝑦轴，可得𝐴𝐵=𝑚，𝑂𝐵=𝑚2． ∴“子抛物线”的解析式为𝑦=2(𝑥−𝑚)2+𝑚2． 令𝑥=0，则𝑦=2𝑚2，

∴点C的坐标(0,2𝑚2)，𝑂𝐶=2𝑚2， ∴𝐵𝐶=2𝑚2．

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，cot∠𝐴𝐶𝐵=

(3)如图，过O点作𝑂𝐷⊥𝐶𝐴的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，

𝐵𝐶𝐴𝐵

3

5

5

5

3

3

=

32

𝑚2

𝑚

=𝑚．

2

3

∵∠𝑂𝐴𝐶=135°， ∴∠𝑂𝐴𝐷=45°， 又∵𝑂𝐷⊥𝐶𝐴，

∴∠𝑂𝐴𝐷=∠𝐴𝑂𝐷=45°， ∴𝐴𝐷=𝑂𝐷，

∴△𝐴𝐸𝐷≌△𝐷𝐹𝑂(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐸=𝐷𝐹，𝐷𝐸=𝑂𝐹，

设𝐴𝐸=𝑛，那么𝐷𝐹=𝑛，𝐵𝐸=𝑚+𝑛=𝑂𝐹=𝐸𝐷． 又∵𝑂𝐵=𝐸𝐹，

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∴𝑚2=𝑚+2𝑛． 又∵∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐴𝐷𝐸， ∴cot∠𝐴𝐷𝐸=𝐴𝐸=

𝐷𝐸

𝑚+𝑛𝑛

=2𝑚，

3

𝑚2=𝑚+2𝑛1

解方程组{𝑚+𝑛3，得𝑚1=2，𝑚2=−3(舍去)，

=𝑚

𝑛

2

∴𝑚的值为2．

【解析】(1)根据题意得出𝐴(𝑚,𝑚2)，将𝑚=1代入得出其坐标，继而可得答案； (2)根据𝐴(𝑚,𝑚2)知“子抛物线”的解析式为𝑦=2(𝑥−𝑚)2+𝑚2.求出𝑥=0时y的值可知点C坐标，表示出OC、BC的长度，从而求得余切值；

(3)过O点作𝑂𝐷⊥𝐶𝐴的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，证△𝐴𝐸𝐷≌△𝐷𝐹𝑂得𝐴𝐸=𝐷𝐹，𝐷𝐸=𝑂𝐹，设𝐴𝐸=𝑛，知𝐷𝐹=𝑛，𝐵𝐸=𝑚+𝑛=𝑂𝐹=𝐸𝐷.结合𝑂𝐵=𝐸𝐹得𝑚2=𝑚+2𝑛.再由∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐴𝐷𝐸知cot∠𝐴𝐷𝐸=𝐴𝐸=

𝐷𝐸

𝑚+𝑛𝑛

3

𝑚2=𝑚+2𝑛

=2𝑚，联立方程组{𝑚+𝑛3，解之可得答案．

=𝑚𝑛2

3

本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、余切函数的概念、全等三角形的判定与性质等知识点．

25.【答案】解：(1)∵𝐴𝐵=8，𝐴𝐶=12，

又∵𝐴𝐵2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐶， ∴𝐴𝐷=

163

，

163

∴𝐶𝐷=12−=

203

，

∵𝐴𝐵2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐶， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，

又∵∠𝐵𝐴𝐶是公共角， ∴△𝐴𝐷𝐵∽△𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶，𝐵𝐶=𝐴𝐵， ∴𝐵𝐷=

203

𝐵𝐷

𝐴𝐷

𝐴𝐷

𝐴𝐵

，

∴𝐵𝐷=𝐶𝐷， ∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶， ∴𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶；

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(2)如图，过点A作𝐴𝐻//𝐵𝐶，交BD的延长线于点H，

∵𝐴𝐻//𝐵𝐶， ∴𝐷𝐶=𝐵𝐷=𝐵𝐶=∵𝐵𝐷=𝐶𝐷=∴𝐴𝐷=𝐷𝐻=∴𝐵𝐻=12， ∵𝐴𝐻//𝐵𝐶， ∴𝐵𝐸=𝐵𝐺， ∴𝑥=

8

12−𝐵𝐺𝐵𝐺12𝑥

𝐴𝐻

𝐻𝐺

203

𝐴𝐷

𝐷𝐻

𝐴𝐻

163203=5，

4

，𝐴𝐻=8， ，

163

，

∴𝐵𝐺=

𝑥+8

，

∵∠𝐵𝐸𝐹=∠𝐶+∠𝐸𝐹𝐶， ∴∠𝐵𝐸𝐴+∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶+∠𝐸𝐹𝐶， ∵∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐶， ∴∠𝐵𝐸𝐴=∠𝐸𝐹𝐶， 又∵∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐶， ∴△𝐵𝐸𝐺∽△𝐶𝐹𝐸， ∴∴

𝐵𝐸𝐶𝐹𝑥𝑦

=

𝐵𝐺𝐸𝐶

， ，

；

=

12𝑥𝑥+810−𝑥

∴𝑦=

−𝑥2+2𝑥+80

12

(3)当△𝐺𝐸𝐹是等腰三角形时，存在以下三种情况： 1° 若𝐺𝐸=𝐺𝐹，则∠𝐺𝐸𝐹=∠𝐺𝐹𝐸=∠𝐶=∠𝐷𝐵𝐶，

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∴△𝐺𝐸𝐹∽△𝐷𝐵𝐶， ∵𝐵𝐶=10，𝐷𝐵=𝐷𝐶=∴𝐸𝐹=

𝐺𝐸

𝐷𝐵𝐵𝐶

203

，

=3，

2

又∵△𝐵𝐸𝐺∽△𝐶𝐹𝐸， ∴

𝐺𝐸𝐸𝐹

=

𝐵𝐸𝐶𝐹

=，即𝑦=3， 3

12

2𝑥2

又∵𝑦=

−𝑥2+2𝑥+80

，

∴𝑥=𝐵𝐸=4；

2° 若𝐸𝐺=𝐸𝐹，则△𝐵𝐸𝐺与△𝐶𝐹𝐸全等，

∴𝐵𝐸=𝐶𝐹，即𝑥=𝑦， 又∵𝑦=

−𝑥2+2𝑥+80

12

，

∴𝑥=𝐵𝐸=−5+√105；

3° 若𝐹𝐺=𝐹𝐸，则同理可得𝐹𝐸=𝐶𝐷=2，

𝐺𝐸

𝐵𝐶

3

由△𝐵𝐸𝐺∽△𝐶𝐹𝐸，可得 𝐸𝐹=

𝐺𝐸𝐵𝐸𝐶𝐹

=2，

3

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即𝑦=2， 又∵𝑦=

−𝑥2+2𝑥+80

12

𝑥3

，

∴𝑥=𝐵𝐸=−3+√．

(1)依据𝐴𝐵=8，𝐴𝐶=12，【解析】𝐴𝐵2=𝐴𝐷⋅𝐴𝐶，即可得到CD的长，再根据△𝐴𝐷𝐵∽△𝐴𝐵𝐶，即可得出BD的长，依据𝐵𝐷=𝐶𝐷即可得到∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶，即BD平分∠𝐴𝐵𝐶； (2)过点A作𝐴𝐻//𝐵𝐶，交BD的延长线于点H，依据平行线分线段成比例定理以及相似三角形的对应边成比例，即可得到𝐶𝐹=𝐸𝐶，进而得出=

𝑦

𝐵𝐸

𝐵𝐺

𝑥

12𝑥

𝑥+8

10−𝑥

，即可得到y与x之间的

函数关系式；

(3)当△𝐺𝐸𝐹是等腰三角形时，存在三种情况，分别依据相似三角形的对应边成比例，即可得到关于x的方程，进而得出BE的长．

本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识的综合运用．解题的难点是正确寻找相似三角形解决问题，运用分类思想是解决第(3)小题的关键．

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