高中数学 选修2-1、2-2、2-3、4-4、4-5

数学选修2－1

第一章：命题与逻辑结构 知识点：

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”。

6、四种命题的真假性：

原命题 逆命题 真 真 真 假 假 真 假 假

四种命题的真假性之间的关系：

否命题 真 假 真 假

逆否命题

真 真 假 假

1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、若

pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）．

8、用联结词“且”把命题

p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．

当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq．

当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p．若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命

题．

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．

含有全称量词的命题称为全称命题．

，记作“x，px”． px成立”

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”．

全称命题“对中任意一个x，有10、全称命题特称命题

p：x，px，它的否定p：x，px。全称命题的否定是特称命题。

p：x，px，它的否定p：x，px。特称命题的否定是全称命题。 第二章：圆锥曲线 知识点：

1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化

①建立适当的直角坐标系；

②设动点Mx,y及其他的点；

③找出满足条件的等式； ④将点的坐标代入等式；

⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。 2、平面内与两个定点

F1，F2的距离之和等于常数（大于FF12）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的

距离称为椭圆的焦距。MF 1MF22a2a2c3、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y221ab0 2aby2x221ab0 2ab第一定义 第二定义 范围 到两定点FF2的距离之和等于常数2a，即|MF1||MF2|2a（2a|F1F2|） 1、与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即MFe(0e1) dbxb且aya axa且byb 1a,0、2a,0 顶点 10,a、20,a 10,b、20,b 轴长 对称性 焦点 焦距 1b,0、2b,0 长轴的长2a 短轴的长2b 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 F1c,0、F2c,0 F10,c、F20,c F1F22c(c2a2b2) cc2a2b2b2e1222aaaaa2x c左焦半径：MF1aex0 右焦半径：MF2aex0 离心率 (0e1) a2y c准线方程 焦半径 下焦半径：MF1aey0 上焦半径：MF2aey0 M(x0,y0) 焦点三角形面积 SMF1F2b2tan2(F1MF2) 通径 b2过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HH a（焦点）弦长公式 A(x1,y1),B(x2,y2)，AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x2 第 - 2 - 页 共 21 页

4、设是椭圆上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则F1F2e。

d1d25、平面内与两个定点

F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的

焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。MF1MF22a2a2c 6、双曲线的几何性质：

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y21a0,b0 a2b2y2x21a0,b0 a2b2第一定义 第二定义 范围 顶点 轴长 对称性 焦点 焦距 到两定点F1、 F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|MF1||MF2|2a（02a|F1F2|）与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即MFe(e1) dya或ya，xR xa或xa，yR 1a,0、2a,0 10,a、20,a 实轴的长2a 虚轴的长2b 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 F1c,0、F2c,0 F10,c、F20,c F1F22c(c2a2b2) cc2a2b2b2e1222aaaaa2x cybx a离心率 (e1) a2y cyax b准线方程 渐近线方程 焦半径 MF1ex0a左焦： M在右支MF2ex0a右焦：MF1ey0a左焦： M在上支MF2ey0a右焦：M(x0,y0) M在左支焦点三角形面积 MF1ex0a左焦： MF2ex0a右焦：SMF1F2b2cotM在下支2MF1ey0a左焦： MF2ey0a右焦：(F1MF2) 第 - 3 - 页 共 21 页

通径 b2过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HH a图形

7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

8、设是双曲线上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则F1F2e。

d1d29、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．

10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p． 11、焦半径公式： 若点若点

x0,y0在抛物线

y2pxp02上，焦点为F，则

Fx0p2；、

p2；

x0,y0x0,y0x0,y0在抛物线

y22pxp0上，焦点为F，则上，焦点为F，则上，焦点为F，则

Fx0若点若点

在抛物线在抛物线

x2pyp02Fy0Fy0p2；

p2．

x2pyp0212、抛物线的几何性质：

第 - 4 - 页 共 21 页

y22px 标准方程 y22px x22py x22py p0 定义 顶点 离心率 对称轴 范围 p0 p0 p0 与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上) 0,0 e1 x轴 x0 x0 y轴 y0 y0 焦点 pF,0 2xp 2pF,0 2xp 2pF0, 2yp 2pF0, 2yp 2准线方程 焦半径 M(x0,y0) 通径 焦点弦长 公式 参数p的几何意义

MFx0p 2MFx0p 2MFy0p 2MFy0p 2过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH2p ABx1x2p 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔 关于抛物线焦点弦的几个结论： 设AB为过抛物线y22px(p0)焦点的弦，A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线AB的倾斜角为，则

2pp2; ,y1y2p2; ⑵ AB⑴ x1x22sin4⑶ 以AB为直径的圆与准线相切；

B在准线上射影的张角为⑷ 焦点F对A、⑸

； 2112. |FA||FB|P第三章：

空间向量知识点：

1、空间向量的概念：

（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

（2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．

第 - 5 - 页 共 21 页

（3）向量的大小称为向量的模（或长度），记作．

（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． （5）与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a． （6）方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2、空间向量的加法和减法：

（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作a，

b，则ab．

3、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方向相同；当的长度的

0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是a倍．

4、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律． 分配律：abab；结合律：aa．

5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线． 6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实数，使a7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

8、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使或对空间任一定点，xyC；有xyC；或若四点，，，C共面，则xyzCxyz1．

9、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作a,b．两个向量夹角的取值范围是：a,b0,．

10、对于两个非零向量a和b，若a,b，则向量a，b互相垂直，记作ab．

2b．

11、已知两个非零向量a和b，则abcosa,b称为a，b的数量积，记作ab．即ababcosa,b．零向量与任何向量的数量积为0． 12、ab等于a的长度

a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积．

13若a，b为非零向量，e为单位向量，则有

1eaaeacosa,e；2abab0；

aba与b同向，aaa3ababa与b反向2，

aaa；4cosa,bab；5abab．

ab第 - 6 - 页 共 21 页

14量数乘积的运算律：

1abba； 2ababab； 3abcacbc．

15、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量

p，存在实数组x,y,z，使得pxaybzc．

16、三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是ppxaybzc,x,y,zR．这个集合可看作是由向量a，

b，c生成的，a,b,c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

17、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，

y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz．则对于空间任意一个向量p，一定可以把

y，z称作

它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p．存在有序实数组x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，向量

p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作px,y,z．此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标

x,y,z．

18、设ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，则

（1）abx1x2,y1y2,z1z2． （2）abx1x2,y1y2,z1z2． （3）ax1,y1,z1． （4）abx1x2y1y2z1z2．

ab0x1x2y1y2z1z20．

（5）若a、b为非零向量，则ab（6）若b（7）a0，则a//babx1x2,y1y2,z1z2．

aax12y12z12．

x1x2y1y2z1z2xyzxyz212121222222（8）cosa,bab．

ab（9）x1,y1,z1，x2,y2,z2，则dx2x1y2y1z2z1222．

19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示．向量称为点的位置向量． 20、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定．点是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点．

第 - 7 - 页 共 21 页

21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a，b．为平面上任意一点，存在有序实数对

x,y，使得xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置．

22、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量． 23、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，

则a//ba//babR，ababab0．

24、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，

则a//a//anan0，aaa//nan．

25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则//a//bab，abab0． 26、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有

coscosab． ab27、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为，则有

sincosln． ln28、设n1，n2是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为，则cosn1n2n1n2．

29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

30、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为dcos,n31、点

nn．

是平面外一点，是平面

内的一定点，

n为平面

的一个法向量，则点

到平面的距离为

dcosn,nn．

数学选修2-2

导数及其应用

一.导数概念的引入

1. 导数的物理意义：

瞬时速率。一般的，函数yf(x)在x我们称它为函数2.

x0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)，

x0xyf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)=limf(x0x)f(x0)

x0x导数的几何意义：

曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点P直线PT与曲线相切。容易知道，割线PPn的斜率是kf(xn)f(x0)，n趋近于P时，nxnx0当点Pn趋近于P时，函数

yf(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即klimf(xn)f(x0)f(x0)

x0xnx0第 - 8 - 页 共 21 页

3. 导函数：当x变化时，

f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数.

yf(x)的导函数有时也记作

y,即

f(x)limx0f(xx)f(x)

x二.导数的计算

基本初等函数的导数公式:

1若f(x)c(c为常数)，则f(x)0； 2 若f(x)x,则3 若f(x)sinx,则5 若7 若

f(x)x1;

f(x)cosx 4 若f(x)cosx,则f(x)sinx;

f(x)ax,则f(x)axlna 6 若f(x)ex,则f(x)ex

x,则f(x)f(x)loga11 8 若f(x)lnx,则f(x)

xlnax导数的运算法则

1. [f(x)g(x)]f(x)g(x) 2. [f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)3. [ ]2g(x)[g(x)]复合函数求导 yf(u)和ug(x),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x))为一个复合函数yf(g(x))g(x) 三.导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(a,b)内

(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.

求函数yf(x)的极值的方法是:（1）如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值（2）如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数

求函数yf(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数yf(x)在(a,b)内的极值；

（2） 将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

推理与证明

考点一 合情推理与类比推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤:

(1) 找出两类事物的相似性或一致性;

(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);

(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一

写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.

(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠. 考点二 演绎推理(俗称三段论)

由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法

1. 它是一个递推的数学论证方法.

第 - 9 - 页 共 21 页

2. 步骤:A.命题在n=1（或n0）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=n0,且nN)结论都成立。 考点三 证明

1. 反证法: 2、分析法: 3、综合法:

数系的扩充和复数的概念 复数的概念

(1) 复数:形如abi(aR,bR)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数abi(aR,bR)中,当b0,就是实数; b0,叫做虚数;当a0,b0时,叫做纯虚数.

(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.

(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

复数的运算

1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)则

z1(acbd)(adbc)i(z0) (acbd)(adbc)i （3）222（1）z1z2(ac)(bd)i （2）z1z22,几个重要的结论

z2cd(1) |z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2) (2) zz|z|2|z|2 (3)若z为虚数,则|z|2z2 3.运算律 (1)

zmznzmn;(2) (zm)nzmn;(3)(z1z2)nz1nz2n(m,nR)

4.关于虚数单位i的一些固定结论： （1）i21 （2）i3i （3）i41 （2）inin2in3in40

数学选修2－3

第一章 计数原理

知识点：

1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。 3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 ．．．．．．4、排列数： Amn(n1)(nm1)n!(mn,n,mN)

(nm)!5、组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

Amn(nn11))mm1)mmn!n!(n((nn1)mnAn6、组合数：CmCCnCnmnnm!m(nmm!(n!m)!m)!AmAmm

nmCmnCn;m

1mCmnCmnCn1

第 - 10 - 页 共 21 页

n0n1n12n22rnrrnn (ab)CaCabCab…Cab…Cbnnnnn7、二项式定理：

rnrr8、二项式通项公式 展开式的通项公式：TCab(r0，1……n)r1n第二章 随机变量及其分布

1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn

X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

4、分布列性质① pi≥0, i =1，2， … ； ② p1 + p2 +…+pn= 1． 5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：

其中06、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数

knkCCMNMX是一个离散型随机变量，则它取值为k时的概率为P(Xk)(k0,1,2,nCN,m)，

其中mminM,n,且n≤N,M≤N,n,M,NN*

7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率

P(B|A)8、公式：

P(AB),P(A)0.P(A)

9、相互事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互事件。

P(AB)P(A)P(B)

10、n次重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互的一种试验

11、二项分布： 设在n次重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生

kknkCpq（其中 k=0,1, ……,n，q=1-p ） P(k)n的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次重复试验中

于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数 12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。 13、方差:D(ξ)=(x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2 +......+（xn-Eξ)2·Pn 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。 14、集中分布的期望与方差一览：

第 - 11 - 页 共 21 页

两点分布 二项分布，ξ ～ B（n,p） 15、正态分布：

若概率密度曲线就是或近似地是函数

期望 Eξ=p Eξ=np 方差 Dξ=pq，q=1-p Dξ=qEξ=npq，（q=1-p） f(x)

1e2(x)222,x(,)

（的图像，其中解析式中的实数、16、基本性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差．

则其分布叫正态分布记作：N(,)，f( x )的图象称为正态曲线。

②曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点.

x，曲线上升；当时x，曲线下降．并且当曲线向左、右两边

③当时

无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

④当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． ⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于1. 17、 3原则：

从上表看到,正态总体在 (2,2) 以外取值的概率 只有4.6%,在 (3,3)以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

第三章 统计案例

性检验

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为： x1 x2 总计

y1 a c a+c

y2 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方） K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样本容量，K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。

K2≤3.841时，X与Y无关； K2>3.841时，X与Y有95%可能性有关；K2>6.635时X与Y有99%可能性有关

回归分析

回归直线方程

ˆabx y1

xyxySPaybx (xx)(yy), n 其中b1SS(xx)xn(x)222x高中数学选修4-1知识点总结

平行线等分线段定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

第 - 12 - 页 共 21 页

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定：

定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法： （1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似； （2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比；

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。 直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。 圆周定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的性质与判定定理

定理1：圆的内接四边形的对角互补。

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 圆的切线的性质及判定定理

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

第 - 13 - 页 共 21 页

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 弦切角的性质

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 与圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 选修4-4数学知识点

一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系：

① 理解坐标系的作用.

② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.

② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结：

xx,(0),:P(x,y)yy,(0).的作用下，1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换点P(x,y)对应到点P(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为

M(,).

极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R).

4.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称，即(,)与(,)表示同一点。 如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：

2x2y2,ysin,xcos,ytan(x0)x 第 - 14 - 页 共 21 页

6。圆的极坐标方程：

在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是

r；

在极坐标系中，以 C(a,0)(a0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 2acos；

C(a,)2(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2asin； 在极坐标系中，以

7.在极坐标系中，(0)表示以极点为起点的一条射线；(R)表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是cosa.

xf(t),yg(t), 并x,yt8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

xarcos,(为参数)222ybrsin.(xa)(yb)r9．圆的参数方程可表示为. xacos,x2y2(为参数)212(ab0)的参数方程可表示为ybsin.b 椭圆a.

x2px2,(t为参数)2y2pt. 抛物线y2px的参数方程可表示为.

xxotcos,yyotsin.tM(x,y) 经过点Ooo，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为（为参数）.

10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.

高中数学选修4--5知识点 1、不等式的基本性质 ①（对称性）abba ②（传递性）ab,bcac ③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd

第 - 15 - 页 共 21 页

（异向可减性）ab,cdacbd ④（可积性）ab,c0acbc ab,c0acbc

⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd

（异向正数可除性）

ab0,0cdabcd

nn⑥（平方法则）ab0ab(nN,且n1)

nn⑦（开方法则）ab0ab(nN,且n1)

ab0⑧（倒数法则）2、几个重要不等式

1111;ab0abab

a2b2ab.a2b22aba，bRab2①,（当且仅当时取\"\"号）. 变形公式： ababa，bR②（基本不等式） 2 ,（当且仅当ab时取到等号）.

变形公式： ab2abab.ab2

2用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

abc3abc(a、b、cR)（当且仅当abc时取到等号）. 3③（三个正数的算术—几何平均不等式）

④

a2b2c2abbccaa，bR

（当且仅当abc时取到等号）.

333abc3abc(a0,b0,c0) ⑤

（当且仅当abc时取到等号）.

ba若ab0,则2ab⑥（当仅当a=b时取等号） ba若ab0,则2ab（当仅当a=b时取等号）

bbmana1bnb，⑦aam（其中ab0，m0，n0)

第 - 16 - 页 共 21 页

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧

当a0时，xax2a2xa或xa;

xax2a2axa.⑨绝对值三角不等式

3、几个著名不等式

ababab.2aba2b2ab11（a,bRab22①平均不等式：，，当且仅当ab时取\"\"号）.

（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

变形公式：

222abab(ab)22ab;ab.222

2②幂平均不等式：

a12a22...an21(a1a2...an)2.n

③二维形式的三角不等式：

x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2(x1,y1,x2,y2R).④二维形式的柯西不等式：

22222(ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.

⑥一般形式的柯西不等式：

(a12a22...an2)(b12b22...bn2)(a1b1a2b2...anbn)2.

⑦向量形式的柯西不等式： 设,是两个向量，则

,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）： 设

a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则

a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和乱序和顺序和）

，当且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)).22则称f(x)为凸（或凹）函数.

第 - 17 - 页 共 21 页

4、不等式证明的几种常用方法

常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：

131(a)2(a)2;242 ①舍去或加上一些项，如

②将分子或分母放大（缩小），

11112212,,,22k(k1) kk(k1) 2kkkkkk1 如k12(kN*,k1)kkk1等.

5、一元二次不等式的解法

2axbxc0(或0) 求一元二次不等式

(a0,b24ac0)解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)“或”g(x)0 （时同理）

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解

⑴

f(x)0f(x)a(a0)2f(x)a f(x)0f(x)a(a0)2f(x)a

f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或f(x)[g(x)]2g(x)0

第 - 18 - 页 共 21 页

⑵

⑶

⑷

f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2 f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)

⑸

规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.

9、指数不等式的解法： ⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)

f(x)g(x)aaf(x)g(x) 0a1⑵当时,

规律：根据指数函数的性质转化.

10、对数不等式的解法

⑴当a1时,

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0f(x)g(x)

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)0a1⑵当时,

规律：根据对数函数的性质转化.

11、含绝对值不等式的解法：

a(a0)a.a(a0)⑴定义法：

⑵平方法：

f(x)g(x)f2(x)g2(x).

⑶同解变形法，其同解定理有： ①②③

xaaxa(a0);

xaxa或xa(a0);f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.

12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法

解形如axbxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a与0的大小；

第 - 19 - 页 共 21 页

2⑵讨论与0的大小； ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题

⑴不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当a0时 b0,c0;

2a00. ②当a0时

⑵不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当a0时b0,c0;

2a00. ②当a0时

f(x)maxa;

⑶f(x)a恒成立

f(x)a恒成立f(x)maxa;

f(x)mina;

⑷f(x)a恒成立

f(x)a恒成立f(x)mina.

15、线性规划问题

⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 法一：取点定域法：

由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点

(x0,y0)（如原点）Ax0By0C的正负即可判断出

，由

AxByC0(或0)表示直线哪一侧的平面区域.

即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据AxByC0(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，AxByC0(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数）的最值： 法一：角点法：

x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共

如果目标函数zAxBy （

区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最

第 - 20 - 页 共 21 页

大值，最小的那个数为目标函数z的最小值 法二：画——移——定——求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线

l0:AxBy0 ，平移直线l0（据可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x,y)；第四步，将最优解(x,y)代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值 .

第二步中最优解的确定方法：

利用z的几何意义：

yAzzxBB,B为直线的纵截距.

①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；

②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.

⑷常见的目标函数的类型： ①“截距”型：zAxBy;

z②“斜率”型：

yybz;x或xa

22zx2y2;zxy③“距离”型：或 22z(xa)2(yb)2或z(xa)(yb).

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

第 - 21 - 页 共 21 页