深圳市南山区进育学校中学部必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(包含答案解析)

一、选择题

1．2017年5月，世界排名第一的围棋选手柯洁0：3败给了人工智能“阿法狗”.为什么人类的顶尖智慧战胜不了电脑呢？这是因为围棋本身也是一个数学游戏，而且复杂度非常高.围棋棋盘横竖各有19条线，共有1919361个落子点.每个落子点都有落白子､落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限M3361.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数N1080.则下列各数中与A．1033

2M最接近的是（ ）(参考数据：lg30.48) NC．1073

D．1093

B．1053

2f(x)logx2x3单调减区间为（ ） 12．函数

A．(,1] B．(3,1]

C．1,1 ， D．13．定义：若函数yfx的图像上有不同的两点A,B，且A,B两点关于原点对称，则称点对A,B是函数yfx的一对“镜像”，点对A,B与B,A看作同一对“镜像点

x3,x0对”，已知函数fx2，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.

x2x,x0A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知函数f(x)log2x，在[A．[1,2] A．3x>4y>6z C．4y>6z>3x

B．[0,2]

1，m]上的值域为[0，4]，16C．[1,3] B．3x>6z>4y D．6z>4y>3x

mf的取值范围是（ ） 2D．[0,3]

5．若x，y，z是正实数，满足2x=3y=5z，试比较3x，4y，6z大小（ ）

6．设logam和logbm是方程x24x20的两个根，则A．2 B．logam的值为（ ）

b2 2C． 2 D．2 22x2,x17．已知函数f(x)，则

log2(x1),x1A．5ff（ ） 2C．-5

D．

1 2B．-1

1 28．函数

f(x)ax11恒过定点（ ）

B．(1,1)

C．(1,0)

D．(1,1)

A．(1,1)

9．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例

x2，x∈[1，2]与函数.y 如函数y x2，x2,1即为同族函数，下面函数解析式

中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A．y=x

xB．y 1 xC． y 2x2x x D．y＝log0.5 10．已知对数函数f(x)logax是增函数，则函数f(|x|1)的图象大致是

A． B．

C． D．

11．如果函数yax(a0,a1)的反函数是增函数，那么函数yloga(x1)的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

12．已知函数fx22xax的图象关于直线x1对称，若gxlogax,0x4,6x,4x6且x1x2x3，gx1gx2gx3，则x1x2x3的取值范围为（ ） A．0,2

B．0,4

C．4,6

D．4,6

二、填空题

13．已知log182a，试用a的式子表示log23________． 14．已知a、b、c是不为1的正数，且lgalgblgc0，则 的值为_____

a11lgblgcb11lgclgac11lgalgb15．函数fxlog1ax2x4aR，若fx的值域为,1，则a的值为

22______. 16．若幂函数

f(x)m25m7xm在R上为增函数则

logm12logm272lg5lg4m_____．

17．函数ylog12x5x3的单调递增区间为_______.

3218．设函数f(x)的定义域为D，若存在x0D，使得f(x01)f(x0)f(1)，则称x0为函数f(x)的“可拆点”.若函数f(x)log2取值范围为____________. 19．已知2m3n36，则

a在(0,)上存在“可拆点”，则正实数a的1x211______． mn20．已知函数yloga2x11a0,a1的图象过定点A，若点A也在函数

fx2xb的图象上，则flog23________. 三、解答题

21．已知指数函数fx的图象经过点1,3，g(x)f上的最小值是ha. （1）求函数fx的解析式；

（2）若a3时，求函数gx的最小值ha的表达式；

（3）是否存在m、nR同时满足以下条件：①mn3；②当ha的定义域为

22n,mn,m时，值域为；若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由.

2x2afx3在区间1,122．（1）已知函数gxa1x21a0的图像恒过定点A，且点A又在函数

fxlog3xa的图像上，求不等式gx3的解集；

21log1x1，求函数

（2）已知

1y4x1142的最大值和最小值. 2x23．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有

f(x)M成立，则称f(x)是D上的“有上界函数”，其中M称为函数f(x)的上界．已知

11函数f(x)1a． 39xx1时，求函数f(x)在(,0)上的值域，并判断函数f(x)在(,0)上是否2为“有上界函数”，请说明理由；

（1）当a（2）若函数f(x)在[0,)上是以4为上界的“有上界函数”，求实数a的取值范围． 24．求下列各式的值.

4（1）log327lg25lg47log72. 3（2）232362243164491204280.252012.

4x25．已知函数fxx；

42（1）若0a1，求faf1a的值；

1f（2）求20212f2021x3f20212020f的值． 202126．若函数fxk3a3ba1是指数函数 （1）求k，b的值；

（2）求解不等式f2x7f4x3

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【分析】

MM3361. 设x80，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出NN10【详解】

M3361解：设x80，两边取对数

N103361lgxlg80lg3361lg1080361lg38093.28，所以x1093.28，

10故选：D. 【点睛】 关键点睛:

3361本题考查了对数的运算，关键是结合方程的思想令x80，两边取对数后进行化简整理.

102．B

解析：B 【分析】

2fxlogx2x3的单调减区间为1根据复合函数的单调性可知，

2tx22x3在定义域上的单调增区间.再根据一元二次函数的单调性求单调增区间即

可. 【详解】

2fxlogx2x3的定义域为3,1 1解：函数

2令tx22x3，则gtlog1t为单调递减函数，由复合函数的单调性可知：fx2的单调递减区间为tx22x3在3,1上的单调增区间.

tx22x3x14，对称轴为x1，开口向下，所以tx22x3的

单调增区间为3,1. 故选：B. 【点睛】

本题考查复合函数的单调性，属于中档题. 方法点睛：（1）先求出函数的定义域； （2）判断外层函数的单调性；

（3）根据复合函数同增异减的原则，判断要求的内层函数的单调性； （4）求出单调区间.

23．C

解析：C 【分析】

由新定义可知探究y轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】

由题意可知，函数yfx的图像上有不同的两点A,B，且A,B两点关于原点对称，则

x3,x0称点对A,B是函数yfx的一对“镜像”，因为fx2，由y轴左侧

x2x,x0xx部分y3,x0图像关于原点中心对称的图像y3，即y3，x0，作

xx函数y3，x0和yx2x,x0的图象如下：

2

由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】

本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.

4．D

解析：D 【分析】

由对数函数的单调性可得m1,16，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】

由题意，函数f(x)log2x在0,1上单调递减，在1,上单调递增， 且f1f164，f10， 161,m上的值域为[0,4]可得m1,16， 16mmflog20,3.

22结合该函数在所以

m1,8，22故选：D. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定m1,16，即可得解.

5．B

解析：B 【分析】

令235t，则t1，xxyzlgtlgtlgtzy，，，利用作差法能求出结果.

lg2lg5lg3【详解】

∵x、y、z均为正数，且2x3y5z， 令2x3y5zt，则t1， 故xlog2tlgtlgtlgt，ylog3t，zlog5t， lg2lg3lg5lgt2lgt3lgtlg5lg43x6z30，即3x6z； ∴lg2lg5lg2lg53lgt2lgt2lgtlg27lg256z4y20，即6z4y， lg3lg5lg5lg3即3x6z4y成立，

故选：B. 【点睛】 关键点点睛：

（1）将指数式转化为对数式； （2）利用作差法比较大小.

6．D

解析：D 【分析】

利用换底公式先求解出logma+logmb、logmalogmb的结果，然后利用换底公式将

logam变形为

b1，根据logma+logmb、logmalogmb的结果求解出

logmalogmbblogmalogmb的结果，则logam的值可求.

【详解】

11logma+logmb44logalogblogmlogm4amlogmalogmbmb ，所以因为，所以，所以

11logmlogm2balogalogb12mm2logmalogmblogma+logmb21， logalogbmm2又因为

logamb1logm2ab1logmalogmb，

2且logmalogmb=logma+logmb4logmalogmb2，所以

logmalogmb2，

所以logamb12，

22故选：D. 【点睛】

logam变形为

关键点点睛：解答本题的关键是在于换底公式的运用，将

b1，

logmalogmb再根据方程根之间的关系求解出结果.

7．A

解析：A 【分析】

55flog1，根据分段函数解析式，依次计算222【详解】

3flog2，即可得选项.

22x2,x1因为函数f(x)，所以

log2(x1),x1ff3log23152222. 22235flog2log221，

22故选：A. 【点睛】

本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.

8．C

解析：C 【分析】

根据指数函数性质求定点. 【详解】

因为a01,所以f1a1=0,因此过定点1,0,选C.

0【点睛】

本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.

9．B

解析：B 【分析】

由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可. 【详解】

对A：yx在定义域R上单调递增，不能构造“同族函数”，故A选项不正确；

1在,1递增，在1,0递减，在0,1递减，在1,递增，能构造x“同族函数”，故B选项正确； x对B：y 对C：y22在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C选项不正确； 对D：ylog0.5x在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D选项不正确. 故选：B. 【点睛】

本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题.

xx10．B

解析：B 【分析】

利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案. 【详解】

由题意，由函数f(x)logax是增函数知，a1， 当x0时，函数yf(x1)loga(x1)，

将函数f(x)logax,(a1)的图象向左平移1个单位，得到函数yloga(x1)的图象， 又由函数yf(x1)满足f(x1)f(x1)，所以函数yf(x1)为偶函数， 且图象关于y轴对称， 故选B. 【点睛】

本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

11．C

解析：C 【分析】

由题意求得a1，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】

因为函数ya(a0,a1)的反函数是增函数，可得函数ya为增函数，所以a1， 所以函数yloga(x1)为减函数，可排除B、D； 又由当x0时，yloga(01)0，排除A. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能

xx力.

12．C

解析：C 【分析】

根据函数fx22xax的图象关于直线x1对称，求得a，进而求得 gx，利用数

形结合法求解. 【详解】 因为fax2axaax22ax2xfx，

所以函数关于直线xxa对称， 2nx因为函数fx22所以

的图象关于直线x1对称，

a1， 2解得a2，

log2x,0x4,gx所以，其图象如下图所示：

6x,4x6,

因为x1x2x3，gx1gx2gx3， 所以log2x1log2x2，

log2x1log2x2， log21log2x2， x1所以x1x21，

所以x1x2x3x34,6． 故选：C． 【点睛】

本题主要考查函数的对称性和对数函数的图象和性质还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

二、填空题

13．【分析】根据换底公式和对数运算性质得运算化简即可得答案【详解】

解：根据换底公式和对数的运算性质得：故答案为：【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得再结合对数运算性质化简即可得答案 解析：

1a 2a【分析】

18根据换底公式和对数运算性质得log31log112运算化简即可得答案.

22log1822log182log18【详解】

解：根据换底公式和对数的运算性质得：

18log18312log1831log11211log18211a1alog23log1822log1822log1822log1822log1822a2a.

1a. 故答案为：2a【点睛】

log18解本题的关键在于根据换底公式得log2312log183，再结合对数运算性质化简2log182181log912即可得答案. log23182log1822log182log1814．【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为：【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题 解析：

1 1000【分析】

根据对数运算公式，可以将lgalgblgc0转化，得到a，b，c的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决． 【详解】

由lgalgblgc0， 可得bca11lgblgc111ab，，ac，

bac11lgclgablogac11lgalgb(ac)(bc)1lgb1lga(ab)1lgc．

blogb110a11logc1010c1111 1010101000故答案为：【点睛】

1 1000本题考查对数的运算，对数恒等式，属于基础题．

15．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析：

【分析】

根据对数的性质可知yax2x40，且最小值为1，即可求得a的值.

227【详解】

因为fxlog1ax2x4aR的值域为,1，所以ax22x40，

22a0122函数yax2x4的最小值为，即44a221，解得a，

274a22故答案为：

7【点睛】

本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.

16．3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去）故答案为：3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键

解析：3 【分析】

利用幂函数的定义与性质求得m3，将m3代入，利用对数的运算法则化简得解. 【详解】

fxm25m7xm在R上为增函数，

m25m71，解得m3,m2(舍去）， m0logm272lg5lg4m故答案为：3. 【点睛】

正确理解幂函数的定义求得m的值和熟练运用对数恒等式是关键.

logm12log3273log312lg1003

17．【分析】先由求得函数的定义域然后令由复合函数的单调性求解【详解】由解得或所以函数的定义域为或因为在上递减在递减所以函数的单调递增区间为故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数的单调性的求法：对于复合函数

1解析：,

2【分析】

先由2x25x30，求得函数的定义域，然后令t2x25x3，由复合函数的单调性求解. 【详解】

由2x25x30，解得 x1或 x3， 221所以函数ylog12x5x3的定义域为x|x或 x3，

23因为t2x25x3在,1ylog1t在0,递减， 上递减，322ylog2x5x3的单调递增区间为,1. 1所以函数23故答案为：,【点睛】

1 2方法点睛：复合函数的单调性的求法： 对于复合函数y＝f[g(x)]，先求定义域，

若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数； 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．

18．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题 解析：[35,2)

【分析】

首先根据定义，列出fx01fx0f1的等式，转化为a分离常数和换元法，求a的取值范围. 【详解】 函数fxlog2221x01x021，再根据

a为“可分拆函数”，存在实数x00，使得21xaaaa2log2log22log2且a0，，222x121x12x1001x010a222x02x024x022x024x02a2， 2222x2x2x2x2x2x21x01000000221x0设4x02t2，x0t2 ， 4a216t162 ， 20t24t20t4tt202042t4454 ，当t25时等号成立， tt即35a2. 故答案为：35,2 【点睛】

思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示a221x01x021，利用x01，转化为求函数的值域，即求a的取值范围.

19．【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解【详解】由可得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用考查了学生的计算能力属于中档题 解析：

1 2【分析】

根据对数的定义和运算法则即可求解． 【详解】

由2m3n36可得mlog236,nlog336 所以所以

11log362，log363， mn111log362log363log366， mn2故答案为：【点睛】

1 2本题主要考查对数的运算法则的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．

20．2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图

象恒过定点将代入得所以所以则故答案为：【点睛】该题考查的是有关函

解析：2 【分析】

先利用函数yloga(2x1)1(a0,a1)的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数f(x)2xb中求出b，最后即可求出相应的函数值f(log23)，得到结果. 【详解】

因为函数yloga(2x1)1(a0,a1)的图象恒过定点(1,1)， 将x1,y1代入f(x)2b，得21b1，所以b1，

x所以f(x)21， 则f(log23)2故答案为：2. 【点睛】

该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目.

log23x1312，

三、解答题

121．（1）f(x)；（2）h(a)126a；（3）不存在，理由见解析. 3【分析】

（1）设fxc（c0且c1），由题意可得f13，可求得c的值，进而可求

xx得函数fx的解析式；

211（2）令t,3，设ktt2at3，分析当a3时，函数kt的单调

33x性，进而可得出haktmin，即可得解；

126nm2（3）分析出函数ha在区间n,m上单调递减，可得出，将两个等式作差2126mn可得出mn6，结合mn3判断可得出结论. 【详解】

（1）设fxc（c0且c1），

x因为指数函数fx的图象经过点1,3，f1c113，即c，

31因此，fx； 3xx11（2）令tfx，x1,1，t,3， 33所以，设ktt2at3，对称轴为ta.

21a3，可知kt在,3上单调递减，

3当t3时，kt取最小值，即gx取最小值hak3126a； （3）由（2）知mn3时，ha126a在[n,m]上单调递减，

126nm2若此时ha的值域为n,m，则126mn2，

22即6mnmnmn，

mn，则mn0，mn6，

又mn3，则mn6，故不存在满足条件的m、n的值. 【点睛】

方法点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴动区间定，不论哪种类型，解决的关键就是考查对称轴于区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；

（2）二次函数的单调性主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解. 22．（1）3,；（2）ymin1，ymax【分析】

（1）结合指数函数性质首先求a的值，再解指数不等式；

x5. 41（2）通过换元，设t，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最2大值和最小值. 【详解】

（1）由题意知定点A的坐标为2,2， ∴2log32a解得a1.

x2∴gx21.

∴由gx3得，2x213. ∴2x22. ∴x21. ∴x3.

∴不等式gx3的解集为3,.

21log1x1得1x2令1，则1（2）由， tt22422x1y4t4t24t1.

22x111∴当t，即，x1时，ymin1， 22225111当t，即，x2时，ymax. 4442【点睛】

本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解． 23．（1）值域为【分析】

x1112（1）把a代入函数的表达式，令t，可得t1，可求出y1tt的值

223x3,，不是“有上界函数”；理由见解析；（2）(,2] 2域，即为f(x)在(,0)的值域，结合“有上界函数”的定义进行判断即可；

1（2）由题意知，f(x)4对x[0,)恒成立，令t，可得t(0,1]，整理得

333at对t(0,1]恒成立，只需at即可.

tmint【详解】

x1111（1）当a时，f(x)1，

22391令t，

3xxx1x0，t1，y1tt2，

2113y1tt2在(1,)上单调递增，y11，

222即f(x)在(,0)的值域为3,， 2故不存在常数M0，使f(x)M成立． ∴函数f(x)在(,0)上不是“有上界函数” （2）由题意知，f(x)4对x[0,)恒成立，

1令t，

3xx0，t(0,1]，

1att4对t(0,1]恒成立，即a23t对t(0,1]恒成立， t3t，易知g(t)在t(0,1]上递减， tg(t)在t(0,1]上的最小值为g(1)2．

设g(t)∴ag(t)min2，

∴实数a的取值范围为(,2] 【点睛】

本题考查新定义，考查函数的值域与最值，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 24．（1）【分析】

（1）根据对数的运算法则运算求值即可（2）根据指数的运算法则化简求值. 【详解】

415；（2）210 4（1）log327lg25lg47log72 3log3314lg1002

122

415 4（2）2232362243164491204280.252012

137223(2)424241

4334432162721

210

【点睛】

本题主要考查了对数的运算，指数的运算，属于中档题. 25．（1）1；（2）1010． 【分析】

4x（1）根据f(x)x的表达式，求出fa,f1a的表达式，再进行分式通分运

42算，可得faf1a1．

（2）设Sf120212f20213f20212020f，再把S的表达式运用加20211f，把两式相加利20212020Sf法交换律改写成2021【详解】 （1）

3f20212f2021用f(x)f(1x)1求出S的值．

4x，xR． f(x)x42a1aa4a4444a24faf1aa1aaa1，

424242424224a4a（2）设Sf120212f20213f20212020f，则 20212020Sf2021两式相加得：

3f20212f20211f， 20212019f]20212020[f20211f] 202112S[f2021由（1）得：

20202f][f202120212f20211f2021【点睛】

2020f1,20212019f1,20212020,f20211f1， 2021∴2S2020S1010.

本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力. 26．（1）k2,b3；（2）xx2. 【分析】

（1）根据指数函数的定义列出方程，求解即可； （2）根据指数函数的单调性解不等式即可； 【详解】

解：（1）∵函数fxk3a3ba1是指数函数

x∴k31,3b0 ∴k2,b3 （2）由（1）得fxaxa1，则函数fx在R上单调递增

f2x7f4x3

2x74x3，解得x2

即不等式解集为xx2； 【点睛】

本题主要考查了根据函数为指数函数求参数的值以及根据指数函数的单调性解不等式，属于中档题.

