著名机构初中数学培优讲义初中数学.一元二次方程的概念及解法.第05讲(B级).教师版

中考要求

知识点

基本要求 略高要求 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 较高要求 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方一元二次方程 程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义 理解配方法，会用直接能利用根的判别式说明含有字母系开平方法、配方法、公能选择恰当的方法解一数的一元二次方程根的情况及由方一元二次方程的式法、因式分解法解简元二次方程；会用方程程根的情况确定方程中待定系数的解法 单的数字系数的一元的根的判别式判别方程取值范围；会用配方法对代数式做二次方程，理解各种解根的情况 简单的变形；会应用一元二次方程法的依据 解决简单的实际问题

例题精讲

板块一 一元二次方程的概念

一元二次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的一般形式：

ax2bxc0(a0)，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．

一元二次方程的识别：

要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．

③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．

任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax2bxc0a0．

要特别注意对于关于x的方程ax2bxc0，当a0时，方程是一元二次方程；当a0且b0时，方程是一元一次方程．

☞一元二次方程的定义：

关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程

【例1】关于x的方程(a21)x22ax60是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）

A.a1 B.a0 C.a为任何实数 D.不存在 【解析】a21恒大于0 【答案】C

【巩固】已知关于x的方程(a2)x2axx21是一元二次方程，求a的取值范围． 【解析】整理方程得：(a3)x2ax10，当a3时，原方程是一元二次方程． 【答案】a3

【巩固】若一元二次方程(m2)x23(m215)xm240的常数项为零，则m的值为_________． 【解析】由题意可知，m240，m20，故m2． 【答案】2

【例2】若(m3)xn23nx30是关于x的一元二次方程，则m、n的取值范围是（ ）

A.m0、n3 B.m3、n4 C.m0，n4 D.m3、n0 【解析】关于一元二次方程的定义考查点有两个：①二次项系数不为0，②最高次项的次数为2 【答案】B

【巩固】m为何值时，关于x的方程(m2)xm(m3)x4m是一元二次方程． 【解析】由定义可知，m22，∴m2，且m20，∴m2． 【答案】2

【例3】若x2ab3xab10是关于x的一元二次方程，求a、b的值． 【解析】略

【答案】分以下几种情况考虑：

42⑴2ab2，ab2，此时a，b；

33⑵2ab2，ab1，此时a1，b0； ⑶2ab1，ab2，此时a1，b1

【巩固】已知方程2xabxabab0是关于x的一元二次方程，求a、b的值． 【解析】略

33aaab2ab2ab1a222【答案】本题有3种情况：；；；解得；；．

11ab2ab1ab2b0bb22

☞一元二次方程根的考察

2关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。 （将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件）

3【例4】若m是方程3x22x20的一个根，那么代数式m2m1的值为 23【解析】∵m是方程3x22x20的一个根， ∴3m22m20 即m2m1，

23∴代数式m2m12（像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练）

2【答案】2

【巩固】若两个方程x2axb0和x2bxa0只有一个公共根，则（ ）

A.ab B.ab0 C.ab1 D.ab1

【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即可得a、b满足的关系式 【答案】设两方程的公共根为m，则m2amb0①，m2bma0②，

①-②得，(ab)mba0，∴(ab)mab，解得m1 将m1代入①得ab10 ∴ab1 选D

☞“降次”思想

【例5】已知a是方程x23x10的一个根，则代数式a310a2的值为_________

【解析】本题难度对于现在学生来讲，稍微有一点大，但是还是建议学生能够学习和掌握。我们都知道解

一元二次方程最根本的思想就是“降次”，因此我们在处理高次代数式求值的时候的基本方法就是“降次”，通过“降次”将代数式转化为我们所熟知的内容，因此本题的主要考查点有二个：①根的考查；②恒等变形 【答案】∵a是方程x23x10的一个根

∴a23a10，即a213a

∴a3aa2a(13a)a3a2a3(13a)a39a10a3 ∴a310a2(10a3)10a21

【巩固】已知m是方程x22006x10的一个根，试求m22005m【解析】本题方法很多，但基本思路一样 【答案】∵m是方程x22006x10的一个根

∴m22006m10，则m22006m1

2006的值 m21∴原式(2006m1)2005m2006

(2006m1)1(2006m1)11m21 m1=11200612005

mmm

板块二 一元二次方程的解法

☞直接开平方法

对于形如x2m或(axn)2m（a0，m0）型的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解 如x2m（m0）的解为xm，即x1m，x2m 如(axn)2m（m0）转化为axnm，即转化为axnm或axnm进行求解 当m0时，方程x2m和(axn)2m均无解

【例6】解关于x的方程：2x33x2 【解析】略

【答案】x11，x21

222(3x1)2【巩固】解关于x的方程：8

5【解析】略

12515【答案】x1，x2

33

【巩固】解方程：x26x9(52x)2

【解析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相

反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．

8【答案】x12，x2

3 ☞配方法

通过配方的方法把一元二次方程转化为形如(axb)2m的形式，再运用直接开平方的方法求解，即用配方法解方程。

用配方法解一元二次方程的步骤如下：

⑴把方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边 ⑵根据等式的性质把二次项的系数化为“1”

⑶把方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式。

用配方法解一元二次方程比较麻烦，建议优先考虑其他的方法

【例7】用配方法解下列方程

⑴2x24x90 ⑵3x26x8 【解析】参照配方法的基本过程即可 【答案】⑴移项得：2x24x9

系数化为1得：x22x∴x22x19 29111 即(x1)2 222222∴x1或x1 222222∴x11，x21

22⑵移项得：3x26x8

8系数化为1得：x22x

3811∴x22x11，即(x1)2

33333333∴x1 ∴x11，x21

333

【巩固】用配方法解下列方程

11⑴x26x40 ⑵(y1)(y3)50 ⑶x2x0

63⑷2y24y1 ⑸2x23x546x

【解析】略

【答案】⑴x1133，x2133；⑵y14，y22；

2222213⑶x1，x2；⑷y1，y2；⑸x13，x2

22322 ☞公式法

一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来

【例8】用配方法解方程：ax2bxc0（a、b、c为常数且a0） bc【解析】因为a0，方程两边同除以a，得x2x0

aa2bb4acbc移项，得x2x，配方(x)2

2a4a2aa因为a0，所以4a20，当b24ac0时，直接开平方得：

bb24acb24acx， 2a4a22|a|b24ac又因为式子前面已有符号“”，所以无论a0还是a0，最终结果总是

2a

bb24ac即x；当b24ac0时，原方程无解．

2abb24ac【答案】当b4ac0时，x；当b24ac0时，原方程无解

2a

2【例9】用公式法解下列方程

1⑴2x23x10 ⑵3x26x2 ⑶x(6x1)4x32(2x)

2⑷3x22x20 ⑸9n25n2 ⑹(x5)(x7)1

【解析】略 【答案】⑴x13173173333，x2． ⑵x1，x 4343197197226226⑶x1，x2 ⑷x1，x2

612126⑸无实数根 ⑹x162，x262

☞因式分解法（也称降次法）

因式分解法的根据：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，反过来，如果两个因式中有一个因式为0，那么它们之积为0，即ab0，则a0或b0或ab0 例如：(2x1)(3x)0，则2x10或3x0

☞因式分解法解一元二次方程的方法及步骤

解一元二次方程的思想方法：降次

因式分解法的一般步骤：

⑴将方程化为一元二次方程的一般形式 ⑵把方程的左边分解为两个一次因式的积 ⑶令每个因式为0，得到两个一元一次方程 ⑷解这两个一元一次方程得原方程的解

【例10】用因式分解法解下列方程

⑴(2x1)23(12x)0； ⑵(13x)216(2x3)2； ⑶x26x70；

【解析】略

【答案】⑴原方程变形为：(2x1)23(2x1)0，即(2x1)[(2x1)3]0

整理得(2x1)(2x4)0

1∴2x10或2x40，∴x1，x22

2⑵原方程变形为(13x)2[4(2x3)]20

∴[(13x)4(2x3)][(13x)4(2x3)]0

整理得(5x13)(11x11)0，∴5x130或11x110，∴x⑶原方程可化为(x7)(x1)0 ∴x70或x10 ∴x17，x21

13或x1 5【例11】解关于x的方程：(4x1)23(14x)40 【解析】换元法

【答案】设4x1a，则原方程可变形为a23a40

整理得(a4)(a1)0 ∴a40或a10 ∴a4或a1

3当a4时，4x14，∴x

41当a1时，4x11，∴x

231∴x1，x2

42

板块三 可转化为一元二次方程的分式方程

☞解分式方程

3x21【例12】解方程25

2xx【解析】把分式方程化为一元二次方程，然后解答

【答案】等式两边同时乘以2x2得：x3x2210x2 整理得：7x22x20

115解得：x

7115经检验：x是原方程的解

7115115∴原方程的解为x或x

27【巩固】解下列分式方程

⑴

x52314x2＋＝4x；⑵4；⑶21

x2x42x2x332xx1x1

【解析】注意检验根

5【答案】⑴整理得：8x213x50，解得x11，x2

85经检验：x11，x2是原方程的解

85∴原方程的解为x11，x2

851055105⑵整理得：4x25x50，解得x1，x2 8851055105经检验得：x1，x2是原方程的解

8851055105∴原方程的解为x1，x2 88⑶整理得：x23x20，解得x11，x22

经检验得： x22不是原方程的解，舍 ∴原方程的解为x1

☞换元法

2(x21)6(x1)【例13】解分式方程：27

x1x1【解析】换元法

x216【答案】设a，则原方程可变形为2a7

x1a3整理得：2a27a60，解得a或a2

236经检验得a或a2均为方程2a7的解

a22x133当a时，则，整理得：2x23x10

x122317317解得x1，x2

44317317经检验，x1，x2均为原方程的解

44x21当a2时，则2，整理得：x22x10

x1解得：x312，x412 经检验，x312，x412均为原方程的解 ∴原方程的解为x1

317317，x2，x312，x412 44x43x2【巩固】220

x2x1x1【解析】略

x22x2【答案】解：原方程可整理为()320

x1x1x2令a，则原方程变形为a23a20 x1解得a1或a2

x2当a2时，则2，整理得x22x20

x1解得x113，x213 经检验x113，x213是原方程的解

x2当a1时，则1，整理得x2x10

x11515解得x3，x4 221515经检验：x3，x4是原方程的解

221515∴原方程的解为x113，x213，x3，x4 22

板块四 简单的无理方程

1.无理方程的定义：根号内含有未知数的方程

2.有理方程和无理方程统称为代数方程，整式方程与分式方程又统称为有理方程，我们在初中阶段常见的整式方程有：一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程。

3.无理方程的解法思路与步骤：

①去根号；②解有理方程；③检验根；④写出原方程的根

【例14】解下列无理方程：会用平方法去根号解无理方程并会验根

⑴2x3x0; ⑵4x24x24; ⑶2x27x2x;

【解析】略 【答案】⑴整理得：2x3x

两边平方得：2x3x2

整理得：x22x30，解得x11，x23 经检验x11不是原方程的解，舍 ∴原方程的解为x3 ⑵整理得4x244x2 两边平方，整理得：24x23 两边平方得4(4x2)9，解得x17 1617是原方程的解 1617∴原方程的解为x

16经检验：x⑶整理得：2x27xx2

两边平方得：2x27xx24x4 整理得：x23x40 解得：x14，x21 经检验x14不是原方程的解 ∴原方程的解为x1

☞换元法解无理方程

【例15】解无理方程（换元法） 2x23x52x23x930

【解析】略

【答案】令2x23x9a，则2x23x9a2，∴2x23xa29

则原方程变形为a295a30，整理得a25a60 解得a11，a26

∵2x23x9a0 ∴a6

9则2x23x96，整理得2x23x270，解得x13，x2

29经检验x13，x2均为原方程的解

29∴原方程的解为x13，x2

2

【巩固】解无理方程：2x26x15x23x14 【解析】略

【答案】设x23x1a，则x23x1a2，∴x23xa21

∴原方程可变形为2(a21)15a4，整理得，2a25a30

1解得a或a3

2∵x23x1a0

∴a3，则x23x13，平方得x23x19，整理得x23x100 解得x2或x5

经检验x2或x5均是原方程的解 ∴原方程的解为x2或x5

板块五 含字母参数方程的解法

解含字母参数方程的时候，最主要的是分类讨论的基本思想的应用。

【例16】解方程mx2(3m22)x6m0

【解析】因为题目并没有明确说明该方程一定是一元二次方程，所以需要讨论二次项系数是否为0 【答案】若m0，则2x0x0；

2若m0，则mx2(3m22)x6m0(mx2)(x3m)0，故x1，x23m

m【例17】已知关于x的方程a1x22xa10的根都是整数，那么符合条件的整数a有几个？ 【解析】对二次项系数进行分类讨论

【答案】当a10时，a1，解得x1，符合题意要求。

当a10时，则a1，整理得[(a1)xa1](x1)0

a1解得x1，x21，因为原方程的两个根均为整数

a1a12∴x11也为整数，因此a11或a12

a1a1∴a0或2或3或1

综上所述，整数a的值有5个，分别为1，0，1，2，3

课堂检测

1. 关于x的方程(m3)xm【解析】略

【答案】m3

2

7x30是一元二次方程，则m______

2. 对于方程(axb)2c下列叙述正确的是（ ）

cb abC.当c0时，方程可化为：axbc或axbc D.当c0时，x

a【解析】略 【答案】C

3. 选择恰当的方法解下列方程

1211⑴9(x)24；⑵x2x60；⑶y23y10；⑷x2x0

3362222⑸(5x4)(4x3)0；⑹2x5x30；⑺x(2x7)5(2x7)；⑻(x1)(x3)12 【解析】略

A.不论c为何值，方程均有实数根 B.方程根是x

353513【答案】⑴x或x1；⑵x3或x2；⑶x或x；⑷x1或x

2234717⑸x或x1；⑹x3或x；⑺x或x5；⑻x3或x5

292

4. 解方程：2x26x12x 【解析】略 【答案】x3

5. 解方程x22x54x22x0 【解析】略

【答案】x126或x126

课后作业

1. 当 时，(m2)x2mx30是关于x的一元二次方程 【解析】略 【答案】m2

2. 如果(2a2b1)(2a2b1)63，则ab的值是 【解析】略 【答案】4 3. 若x2mx【解析】略 【答案】1

4. 阅读材料解答下列问题

为解方程(x21)25(x21)40，我们可以将x21视为一个整体，设x21y，则(x21)2y2，原方程化为y25y40①，解得y14，y21 当y4时，x214，∴x5 当y1时，x211，∴x2 ∴原方程的解为x15，x25，x32，x42 解答问题：

⑴填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 方法达到降次的目的，体现了 的数学思想

1是一个完全平方式，则m的值是 4⑵解方程：x4x260 【解析】略

【答案】⑴换元、转化。⑵x13，x23

5. 解方程：x218x302x218x45．

【解析】令yx218x45，则原方程化为y22y150．解之得y3（舍去）或y5．于是得到

原方程的解为x961或x961．

【答案】x961或x961