一类线性切换系统的鲁棒跟踪控制

一类线性切换系统的鲁棒跟踪控制

李 辉

（电子科技大学电子工程学院，四川 成都 611731）

【摘 要】文章研究了线性切换系统的鲁棒跟踪控制，并提出可解性的充分条件。设计切换控制规则使得切换线性系统满足加权H∞参考模型，并采用平均驻留时间法和Lyapunov函数来处理稳定性分析和控制器设计。通过使用线性矩阵不等式，控制器设计问题可以得到很好的解决。

【关键词】线性切换系统；鲁棒跟踪控制；加权H∞参考模型；平均驻留时间；Lyapunov函数

【中图分类号】TP273 【文献标识码】A 【文章编号】1008-1151(2012)02-0056-04

Robust tracking control for switched linear systems

Abstract: In this paper, we investigate robust tracking control for switched linear systems and developed sufficient conditions.

Switched linear systems satisfy the weighted H∞ model reference robust tracking performance with switching control laws. The problem of stability analysis and controller design is solved by using average dwell-time approach and Lyaponov functional methods. With linear matrix inequalities, we solve the controller design problem efficiently.

Key words: switched linear systems; robust tracking control; weighted H∞ model reference; average dwell-time; Lyaponov

functional methods

1 引言

作为混杂系统重要的一个分类，切换系统涉及到一系列连续或离散时间动态子系统以及其中的切换规则。由于理论研究以及实际应用的重要性，切换系统在最近十年已经引起了广泛的关注[1-6]。切换系统的两个关键问题是稳定性分析和控制器设计。对于选取特定切换规则，平均驻留时间法对于分析系统稳定性非常有效[2,7,8]。

本文研究了线性切换系统的鲁棒跟踪控制问题，并且提出了其可解性的充分条件。首先，给出了切换线性系统的加权H∞参考模型。其次，对于N0>0，采用平均时间驻留方法来设计一种切换法则，改善仅仅对于N0=0情况下的局限[9]。

λmin(P)则分别代表P的最大和最小特征值。I和O分别代

表块矩阵中的单位矩阵和零矩阵。上标'T'表示矩阵的转置；而矩阵的共轭则用*表示；󰀀

n

表示n维欧式空间，而

L2[0,∞)表示在[0,∞)上平方可积函数空间。对于给定的

τ>0，定义󰀀+=[0,+∞]和Cn=C1([−τ,0],󰀀n)是从([−τ,0],󰀀n)到

󰀀n连续微分映射的巴拿赫空间，并且具有一致收敛性的拓

定义xt(θ)=x(t+θ)，θ∈[−τ,0]。󰀀表扑关系。当xt∈Cn时，示2范数，而xt

&(t+θ)}。 =sup−τ<θ<0{x(t+θ),x

cl

考虑一个切换系统

&(t)=(Aσ(t)+ΔAσ(t))x(t) x

2 问题描述

在本文中，我们用P>0来表示一个正定矩阵。λmax(P)和【收稿日期】2011-12-01

+(Dσ(t)+ΔDσ(t))x(t−dσ(t)(t))

【作者简介】李辉（1988－），男，电子科技大学电子工程学院硕士，研究方向为切换系统的鲁棒控制。

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+(Bσ(t)+ΔBσ(t))u(t)+Πσ(t)ω(t)，

x(t)=φ(t)，t∈[−τ,0]，x(0)=φ(0)=0 x(t)=φ(t),t∈[−τ,0],x(0)=φ(0)=0，

y(t)=Cσ(t)x(t),t∈[0,∞) （1）

其中x(t)∈󰀀n是系统状态量，u(t)∈󰀀p是控制输入量，

ω(t)∈󰀀n是外在干扰量，y(t)∈󰀀q是输出量，φ(t)是表示系统初始状态的连续向量值函数，di(t)是连续时变延迟。

函数σ(t):[0,∞)→N󰀀{1,2,K,N}是切换信号，相应地，切换序列

∑={x0;(i0,t0),(i1,t1),K,(ij,tj),K,|ij∈N}

意味着当t∈[t

j

,tj+1

)时，第j个子系统处于活跃状态。为

了方便问题的分析，我们规定ω(t)=0 ，di(t)=0。σ:=σ(t)，系数矩阵都是常矩阵。

给定参考模型和性能指标如下所示：

x

&r(t)=Arxr(t)+Mr(t)，xr(0)=0 （2） ∫

∞

T∞

0

e−αter(t)Qer(t)dt≤γ2∫ϖT(t)ϖ(t)dt （3）

0

其中xr(t)∈󰀀n是参考状态量，Ar是Hurwitz矩阵，M是常矩阵，r(t)是在L2[0,∞)空间的参考输入；er(t)=x(t)−xr(t)是真实状态和参考状态的误差，Q是正定加权矩阵，

ϖ(t)=(0,rT(t)MT(t))T，γ>0。

结合(1)和(2)可以得到一个增广的系统

⎡⎢x

&(t)⎤⎡Aσ(t)x(t)+Bσ(t)u(t)⎤⎡0⎤ （4） ⎣x&⎥=⎢⎥+⎢r(t)⎦⎣Arxr(t)⎦⎣

Mr(t)⎥⎦定义1：在控制输入u=u(t)和切换信号σ=σ(t)作用下，

如果切换系统(1)的状态x(t)在(t0,φ)∈󰀀+×Cn时，满足

x(t)≤κx(t−t0)t0

cl

e−λ,∀t≥t0

其中常数κ≥0，λ>0。

则切换系统(1)是鲁棒指数稳定的。

定义2：对于系统(4)，如果存在u=u(t)和σ=σ(t)使得系统(4)在ϖ≡0时鲁棒指数稳定，并且在(1)和(2)的初始条件状态下，当ϖ≠0时(3)成立，那么切换系统(1)就满足加

权H∞模型参数的鲁棒跟踪性能指标。

定义3：对于任何T2>T1≥0，用Nσ(T1,T2)表示σ(t)在(T1,T2)之间切换的次数。如果对于Tα>0和N−≥0，满足

Nσ(T1,T2)≤N0+((T2−T1)/Tα)

则Tα称为平均驻留时间。

- 57 -

引理1[10]：M和N是实矩阵，对于任意矩阵Q>0和实数γ>0，有以下不等式成立

MN+NTMT≤γ−1MQ−1MT+γNTQN

我们的目的是设计一个鲁棒跟踪控制器u(t)=Kσ(t)er(t)和一种切换规则σ(t)=i(i∈N)使得系统(1)满足加权H∞参考模型的鲁棒跟踪性能指标。

3 性能分析和控制器设计

在这个部分，我们着重研究如何对设计状态反馈增益Ki

和切换规则σ(t)=i(i∈N)，使得系统(1)满足加权H∞参考模型的鲁棒跟踪性能指标。

首先我们来看看切换系统(1)的实际形式

x

&(t)=Aσx(t)+Bσu(t)， x(t)=φ(t),t∈[−τ,0],x(0)=φ(0)=0，

y(t)=Cσx(t),t∈[0,∞)

（5）

在此前提下，系统(4)简化成：

⎡⎢x&(t)⎤⎡Aσx(t)+Bσu(t)⎤⎡0⎤ （6）⎣x&⎥=⎢+⎢ r(t)⎦⎣At)⎥⎦⎣Mr(t)⎥rxr(⎦

注意到第i个子系统的状态反馈控制器为u(t)=Kier(t)，系统(6)可以重新写成

x&(t)=Aix(t)+ϖ(t) （7） 其中

x(t)=⎡x(t)⎢⎤，⎡A+BiKi−BiKi⎤ ⎣x(t)⎥

⎦Ai=r⎢i⎣0A⎥r⎦

ϖ(t)=⎡0⎤，Q=⎡Q−Q⎤⎢ （8）

⎣Mr(t)⎥

⎦⎢⎣−QQ⎥⎦

对于闭环切换线性系统

x&(t)=Aσx(t)+ϖ(t) （9） 我们有以下结果。

定理1[9,10]：在系统(9)中，对于给定的正常数α和

γ，如果存在正定矩阵Pi和Si，矩阵Ki使得矩阵不等式

⎡ϕi+QATiPi⎤

Θ⎢Si

i:=⎢∗−τ−1Si

0⎥

<0，i∈N （10） ⎢⎥⎣

∗∗−γ2I⎥⎦

成立，那么系统(6)的反馈控制器u(t)=Kσer(t) 就能够保

证系统(1)满足加权H无穷参考模型的鲁棒跟踪性能指标。

Tα>T∗lnμα=

α （11）

其中μ≥1并且满足

Pi≤μPj，Si≤μSj，∀i,j∈N

ϕi=ATiPi+PiAi+αPi （12） 定义Lyapunov函数

V(x(t))=VTσ(t)(xt)=x(t)Pσ(t)x(t)

+∫

0t

α(t−s)

−τ∫

t+θx&T(s)e−x&(s)dsdθ （13） 如果P和S都是正定函数，那么它就会趋向于正无穷。 3.1 当ϖ≡0时

首先证明系统(9)在ϖ≡0时是指数稳定的。

当t∈[tk,tk+1)时，

假设第i个子系统是活跃的，也就是说，σ(t)=i。对(13)进行微分，我们可以得到：

V&i(xt)≤2xT(t)PiAix(t)+τx&T(t)Six&(t) −α∫

0

−τ∫

t

t+θx&T(s)e−α(t−s)x&(s)dsdθ （14） 注意到

τx&T(t)STTix&(t)=τx(t)Ai

SiAix(t) （15） 将(15)代入(14)得到：

V&i(xt)+αVi(xt)≤xT(t)(ATiPi+PiAi

+τATiSiA+αPi)x(t) （16）

根据Shur补定理，(10)等价于

Ωi+γ−2PPii+Q<0

（17） 其中Ωi=ϕi+τATiSiA。(17)等价于

Ωi

<−γ−2

PPii−Q （18） 注意到γ>0,Pi>0,Q>0，则

ATPTii+PiAi+τAi

SiA+αP<0 （19）

所以得出

V&i(xt)+αVi(xt

)<0 （20） 当t∈[tk,tk+1)时，从tk到t进行积分，得到

V(xt)=Vσ(t)(x−tk)t)≤e−α(tVσ(tk)(xtk) （21）

根据(12)和(13)，在切换时刻ti，可以得到

Vσ(ti)(xti)≤μVσ(t−)(xt−)，i=1,2,K （22）

i

i

注意到k=Nσ(t0,t)≤N0+(t−t0)/Tα，结合(21)和(22)得到

V(xt)≤μN0⋅e−(α−lnμ/Tα)(t−t0)Vσ(t0)(xt0) （23）

而对于(13)，我们可以得到

ax(t)2

≤V(xt)，Vσ(t0)(xt0)≤bx2t （24）

0

cl

其中

a=mini∈Nλmin(Pi)

b=maxi∈Nλmax(Pi)+τ2maxi∈N

λmax(Si)

结合(23)和(24)，得到

x(t)2

≤1V(xbt)≤μN02aa

⋅e−λ(t−t0)xt （25）

0

cl

其中λ=1/2(α−lnμ/Tα)。(25)等价于

N0x(t)≤b2

aμ⋅e−λ(t−t0)xt （26）

0

cl

也就是说当ϖ≡0时，系统(9)是指数稳定的。 3.2 当ϖ≠0时

接着证明当ϖ≠0时，在零初始条件下，(3)成立。此

时得到

V&i(xt)+αVi(xt)≤xT(t)Ωix(t)+2xT(t)Pi

ϖ(t) （27） 根据引理1，得到

2xT(t)Pt)≤−γ2xT(t)PPx2T

iϖ(ii(t)+γϖ(t)ϖ(t)

（28） 将(17)和(27)代入(28)，得到

V&i(xt)+αVi(xt)<−xT(t)Qx(t)+γ2ϖT(t)ϖ(t) （29） 注意到

x(t)=⎡−Q⎤⎢x(t)⎤和Q=⎡Q⎣⎥

⎢⎣−Q⎥，则

xr(t)⎦

Q⎦

V&i(xt)+αVi(xt)<−eTr(t)Qer

(t)+γ2ϖT(t)ϖ(t) （30） 令Γ(t)=eT

r(t)Qer(t)−γ2ϖT(t)ϖ(t)，对于任意的

t∈[tk,tk+1)，(30)积分之后得到

V(xα(t−t)Vt

t)≤e−kσ(tk)(xtk)−∫te−α(t−s)Γ(s)ds （31）

k

在切换时刻ti，有

Vσ(ti)(xti)≤μVσ(t−)(xt−)，i=1,2,K （32）

i

i

由于t0=0，根据(31)和(32)得到

V(x−α(t−tk)t

t)≤μVσ(t−k

)(xt−)ek

−∫te−α(t−s)Γ(s)ds

k

≤μkV1

−α(t−s)σ(t0)(x0)e−αt−μk

∫

t0

eΓ(s)ds

−μk−1

∫

t2

−α(t−s)teΓ(s)ds−L−∫t

e−α(t−s)Γ(s)ds （33）

1

tk

不等式右边等于

e−αt+Nσ(0,t)lnμV(xt

−α(t−s)+Nσ(s,t)lnμ0)−∫0

eΓ(s)ds （34）

因此可以得到

V(xαt+Nσ(0,t)lnμt

α(t−s)+Nσ(s,t)lnμt)≤e−V(x0)−∫0

e−Γ(s)ds

- 58 -

（35）

在零初始条件V(x0)=0的情况下，(34)等价于

0≤−∫t

e

−α(t−s)+Nσ(s,t)lnμ0

Γ(s)ds （36）

对(34)两边都乘以e

−Nσ(0,t)lnμ，得到

∫t

−α(t−s)−Nσ(0,s)lnμ0

e

eT

r

(s)Qer(s)ds

≤∫t

0

e−α(t−s)−Nσ(0,s)lnμγ2ϖT(s)ϖ(s)ds （37）

注意到Nσ(0,s)≤N0+s/Tα，N0>0并且Tα>lnμ/α，得到

Nσ(0,s)lnμ≤N0lnμ+αs （38）

因此由(37)和(38)可以得到

∫t

−αtt

−α(t−s)

0

e

eT

r

(s)Qer(s)ds<∫0

e

γ2

ϖT

(s)ϖ(s)ds

（39）

从0到∞对(39)两边进行积分，分别得到

∫∞t

−αt0

∫0

e

eT

r(s)Qer(s)dsdt

=∫

∞

0

∫

∞

s

e−αteT

r(s)Qer(s)dtds

=1

∞

e−αseT

α∫

0

r

(s)Qer(s)ds （40） 以及

∫∞∫t

−α(t−s)

0

0

e

γ2ϖT(s)ϖ(s)dsdt

=∫

∞

α(t−s)20

∫

∞

se−γϖT(s)ϖ(s)dtds

=

1

∞

α∫

0

γ2ϖT(s)ϖ(s)ds （41）

由(40)和(41)可以得到

∫

∞

s∞

0

e−αeT

r(s)Qer(s)ds≤∫γ2ϖT(s)ϖ(s)ds （42）

0

因此当ϖ≠0时，在零初始条件下，(3)成立。 (26)和(42)表明系统满足定义2，因此设计合理的跟踪控制器u(t)=Kσ(t)er(t)和切换规则σ(t)=i(i∈N)，我们就可

- 59 -

以实现对线性切换系统的鲁棒跟踪控制。 3.3 对比

当μ=1时，即T∗α=0，此时意味着切换信号可以任意选择。注意到当N0=0时，系统在任意小于Tα的时间间隔内都不会发生切换。如果不考虑N0=0的情况，那么系统连续切换的平均时间都将至少是Tα[1,2]。因此在选择切换规则时令N0>0能使系统适应更为普遍的情况。

4 总结

本文研究了线性切换系统的鲁棒跟踪控制问题，提出了其可解性的充分条件；采用平均驻留时间法，给出了跟踪控制指标的H∞参数模型并且优化了跟踪控制。

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