2012高数学试题答案

1. 若集合A=｛ｘ｜｜2ｘ-1｜﹤3｝，B=｛ｘ｜

A.｛ｘ｜-1<ｘ<-

2x10｝，则A∩B是（D ）

3x12或2<ｘ<3｝

B.｛ｘ｜2<ｘ<3｝

1<ｘ<2｝ 21 D.｛ｘ｜-1<ｘ<-｝

2C.｛ｘ｜2.“ａ=1”是“对任意正数ｘ，2ｘ＋

a1”的 （ A ） xA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既充分又不必要条件 3.若函数

yfx1的图像与函数y㏑x＋1的图像关于直线ｙ=ｘ对称，则fx等于（ B）

B.ｅ

2x A.ｅ

2x1 C.ｅ

2X1 D. ｅ

2x2

4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选修得课程中至少有1门不相同的选法共有（ D ）种。

A.6 B.12 C.36 D.30 5.若

a2011的值为（ C ） 12x2011a0a1xa2011x2011，则a1a222011222 A.2 B.0 C.-1 D.-2 6.若过点A（4,0）的直线L与曲线

x22y21有公共点，则直线L的斜率的取值范围为（ C ）

A,［ B,33,3,3］

 C.［33,33］ D ,33 ,33xy17.若ｘ、ｙ满足约束条件

xy1，目标函数Z=ａｘ＋2ｙ仅在点（1,0）处取得最小值，则ａ的取2xy2值范围是（ B ）

A.（-1,2） B.（-4,2） C. 8.已知向量a=（2,1），ab4,0 D.（-2,4）

10,ab52则bC

A.5 B.10 C.5 D.25

4个粽子，则每种粽子都至少取到1个的概率为（ A ）

9. 锅中蒸有红豆粽子6个，蜜枣粽子5个，豆沙粽子4个，这三种粽子的外部特征完全相同。从中任意取

A.48860 B. C.919191 D.

2591

10.若正方形的棱长为

2，则以该正方形各个面的中心为顶点的凸多面体得体积为（B ）

23 C.

A.

26 B.

23 D.

33

二．填空题。（每小题5分，共25分） 11.设等差数

an前ｎ项和为Sn，若a55a3，则S9___9_____。

S512.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数

的数学期望=＿2＿＿。

313.若（1+

，则ａ+ｂ=70＿ 2）5ab2（ａ，ｂ为有理数）

14.3位男生和3位女生站成一排，若男生甲不站两端，3女生中有且只有2女生相邻，则不同排法的种数

＿288＿＿。

15.已知A、B、C、D在同一个球面上，AB⊥面BCD，BC⊥CD,若AB=6，AC=2 则B、C两点间的球面距离是＿＿三．简答题（共75分） 16.（本小题13分）

13，AD=8，

43＿

在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ，且cos2A=（Ⅰ）求A+B的值； （Ⅱ）若ａ--ｂ=

310,sinB=510.

21，求ａ、ｂ、ｃ的值。

3252cos2A1cosA55（∵A为锐角），sin答：（1）cos2AA55；∵

sinB=

1010.∴cosB3102AB。cosAB1024

（2）

abc5102kaksinAk;bk;ck

sinAsinBsinC5102510kk21k10a2,b1,c5 5100 由ab17. （本小题13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD,AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60，PA=AB=BC，

E是PC的中点。

（1）证明：CD⊥AERT; （2）证明：PD⊥面ABE；（PDAB,PDAE）

（3）求二面角A-PD-C的大小。 （arcsin14） 4 证明：由（2）知AE⊥面PCD，故过A作AM⊥PD,连EM，由三垂线定理知：∠AME是二面角A-PD-C

0的平面角。由已知得∠CAD=30，设AC=1，AE=

22,AD=

232127,PD=,AM=337

在RT△AEM中，sin∠AME=

AEAM=

144

18. （本小题13分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成

活率分别为

23和

12，且各株大树是否成活互不影响，求移栽的4株大树中:

（1）两种大树各成活1株的概率； （2）成活的株数答：设

的发布列与期望。

Ak表示甲种大树成活ｋ株，ｋ=0,1,2

Bn表示乙种大树成活ｎ株，ｎ =0,1,2 且Ak、Bn相互独立。 （1）

两

种

大

树

各

成

12活1株

2的概率

21211PA1B1PA1pB1CC2 3392（2）的可能取值为0,1,2,3，4，且 P4113 P1， P2

6360PA0B0=119136

131P49p3综上知从而

的发布列为：

11131171+2234 36636393的期望为=0×

19. （本小题12分）如图，直三棱柱ABC-AAB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥面BCC1。 1B1C1中，

（1）证明：AB=AC；

（2）设二面角A-BD-C为60，求B1C与面BCD所成的角的大小。（30） 证明：（1）取BC中点F，连EF,AF,易证四边形ADEF为平行四边形是线段BC的中垂线AB=AC=

（2）作AG⊥BD于G，连CG,则∠AGC为二面角A-BD-C为60的平面角，故∠AGC=60，AC=2，

0000AF∥DEAF⊥BC,即AF

AG=

22,又AB=2，BC=22，得AF=2，由AB·AD=BD·AC得2AD=33AD222AD=2

故AD=AF，又AD⊥AF得四边形ADEF为正方形，易证BC⊥面DEF面BCD⊥面DEFEH⊥面BCD，连CH则∠ECH为B1C与面BCD所成的角，∵ADEF是正方形，AD=∴∠ECH=30.

012，故EH=1，又EC=B1C=2

2x2y220. （本小题12分）已知直线ｙ＝-ｘ＋1与椭圆221ab0相当于A、B两点，且

ab线段AB的中点在直线L：ｘ－2ｙ＝0上。 （1）求此椭圆的离心率；

（2）若椭圆的右焦点关于直线L的对称点在圆x21. （本小题12分）已知数列

Sn=a12y24上，求此椭圆的方程。

，对任意的正整数ｎ， an，有a1a,a2p（常数ｐ＞0）

a2+an且Snnana1。

2 （1） 求ａ的值； （2）试确定数列

an是否是等差数列,若是，求出其通项公式;若不是，说明理由。

，证明：2n（3）令

pnSn2Sn1Sn1Sn2p1p2pn2n3。