控制工程基础参考资料

1-1 按照题图1-1 所示的电动机速度控制系统工作原理图，完成： (1) 将电路中a，b与c，d用导线连接成负反馈状态； (2) 画出系统的职能方框图。

题图1-1 速度控制系统原理图

解 （1）控制电路的负反馈连接方式为：ad，bc； （2）系统方框图如图解1-1 所示。

图解1-1 速度控制系统职能方框图

1-2 控制导弹发射架方位的电位器式随动系统原理图如题图1-2所示。图中电位器P1、

P2并联后跨接到同一电源E0的两头，其滑臂别离与输入轴和输出轴相联结，组成方位角的

给定元件和测量反馈元件。输入轴由手轮操纵；输出轴则由直流电动机经减速后带动，电动机采用电枢控制的方式工作。

试分析该系统的工作原理，指出系统的被控对象、被控量和给定量，并画出系统的职能方框图。

题图1-2 导弹发射架方位角控制系统原理图

解 当导弹发射架的方位角与输入轴方位角一致时，系统处于相对静止状态。 当摇动手轮使电位器P1的滑臂转过一个输入角i的刹时，由于输出轴的转角oi,于是出现一个误差角eio，该误差角通过电位器P1、P2转换成误差电压

ueuiuo，ue经放大后驱动电动机转动，在驱动导弹发射架转动的同时，通过输出轴带

动电位器P2的滑臂转过必然的角度o，直至oi时，uiuo，误差电压ue0，电动机停止转动。这时，导弹发射架停留在相应的方位角上。只要io，误差就会产生调节作用，控制的结果是消除误差e，使输出量o严格地跟从输入量i的转变而转变。系统中，导弹发射架是被控对象，发射架方位角o是被控量，通过手轮输入的角度i是给定量。系统方框图如图解1-4所示。

图解1-2 导弹发射架方位控制系统职能方框图 1-3 采用离心调速器的蒸汽机转速控制系统如题图1-3所示。其工作原理是：当蒸汽机带动负载转动的同时，通过圆锥齿轮带动一对飞锤作水平旋转。飞锤通过铰链可带动套筒上下滑动，套筒内装有平衡弹簧，套筒上下滑动时可拨动杠杆，杠杆另一端通过连杆调节供汽阀门的开度。在蒸汽机正常运行时，飞锤旋转所产生的离心力与弹簧的预设弹力相平衡，套筒维持某个高度，使阀门处于一个平衡位置。若是由于负载增大使蒸汽机转速下降，则飞锤因离心力减小而使套筒向下滑动，并通过杠杆增大供汽阀门的开度，从而使蒸汽机的转速回升。同理，若是由于负载减小使蒸汽机的转速增加，则飞锤因离心力增加而使套筒上滑，并通过杠杆减小供汽阀门的开度，迫使蒸汽机转速回落。如此，离心调速器就可以自动地抵制负载转变对转速的影响，使蒸汽机的转速维持在某个期望值周围。

1-4指出系统中的被控对象、被控量和给定量，画出系统的方框图。

弹簧预压力

负载

题图1-4 蒸汽机转速自动控制系统

解 在本系统中，蒸汽机是被控对象，蒸汽机的转速是被控量，给定量是设定的蒸汽机希望转速（通过调节平衡弹簧压紧螺帽）。离心调速器感受转速大小并转换成套筒的位移量，经杠杆传调节供汽阀门，控制蒸汽机的转速，从而组成闭环控制系统。

系统方框图如图解1-3所示。 弹簧力 e 弹簧变形 弹簧 — 离心力 图解1-4 蒸汽机速度控制系统职能方框图

1-5 摄像机角位置自动跟踪系统如图1-4所示。当光点显示器对准某个方向时，摄像机缘自动跟踪并对准那个方向。试分析系统的工作原理，指出被控对象、被控量及给定量，画出系统方框图。

杆杠 阀门 蒸汽机 ω 负载 旋转飞锤 齿轮机构

图1-5 摄像机角位置随动系统原理图

解 控制系统的任务是使摄像机自动跟踪光点显示器指示的方向。

当摄像机方向角与光点显示器指示的方向一致时，21，自整角机输出e0，交流放大器输出电压u0，电动机静止，摄像机维持原来的协调方向。当光点显示器转过一个角度，21时，自整角机输出与失谐角12成比例的电压信号（其大小、极性反映了失谐角的幅值和方向），经电位器后变成e，经放大器放大后驱动伺服电动机旋转，并通过减速器带动摄像机跟踪光点显示器的指向，使误差减小，直到摄像机与光点显示器指向从头达到一致时为止。测速发电机测量电动机转速，进行速度反馈，用以改善系统性能。系统中，摄像机是被控对象，摄像机的方向角2是被控量，给定量是光点显示器指示的方向角1。系统方框图如图解1-6所示。

图解1-5 摄像机位置随动系统职能方框图

1-6图1-5(a)，(b)所示的系统均为电压调节系统。 假设空载时两系统发电机端电压均为110V，试问带上负载后，图1-5(a)，(b)中哪个能维持110V不变，哪个电压会低于110V？ 为何?

图1-6 电压调节系统工作原理图

解： 带上负载后，开始由于负载的影响，图1-6(a)与(b)系统的端电压都要下降，但图(a)中所示系统能恢复到110伏而图(b)系统却不能。理由如下：

图(a)系统,当u低于给定电压时，其误差电压经放大器K放大后，驱动电机D转动，经减速器带动电刷，使发电机F的激磁电流Ij增大，发电机的输出电压会升高，从而使误差电压减小，直至误差电压为零时，电机才停止转动。因此，图(a)系统能维持110伏不变。 图(b)系统，当u低于给定电压时，其误差电压经放大器K后，直接使发电机激磁电流增大，提多发电机的端电压，使发电机G 的端电压回升，误差电压减小，但不可能等于零，因为当误差电压为 0时，if=0，发电机就不能工作。即图(b)所示系统的稳态电压会低于110伏。

1-7 许多机械，像车床、铣床和磨床，都配有跟从器，用来复现模板的外形。图1-23就是如此一种跟从系统的原理图。在此系统中，刀具能在原料上复制模板的外形。试说明其工作原理，画出系统方框图。

题图1-7 机床随动系统原理图

解 模板与原料同时固定在工作台上。X、Y轴直流伺服马达同意控制器的指令，按输入命令带动工作台做X、Y方向运动。模板随工作台移动时，触针会在模板表面滑动，跟从刀具中的位移传感器将触针感应到的反映模板表面形状的位移信号送到跟从控制器，控制器的输出驱动Z轴直流伺服马达带动切削刀具连同刀具架跟从触针运动，当刀具位置与触针位

置一致时，二者位置误差为零，Z轴伺服马达停止。系统中，刀具是被控对象，刀具位置是被控量，给定量是由模板肯定的触针位置。系统方框图如图解1-6所示。最终原料被切割加工成模板的形状。

图解1-7 刀具随动系统职能方框图

1-8 题图1-8 (a)，(b)所示均为调速系统。

(1) 别离画出图1-8 (a)、图(b)所示系统的方框图。给出图1-8-1 (a)所示系统正确的反馈连线方式。

(2)指出在恒值输入条件下，图1-8(a)、(b) 所示系统中哪个是有差系统，哪个是无差系统，说明其道理。

题图1-8 调速系统工作原理图

解 (1)系统方框图如图解1-7所示。

图解1-8-1电机调速系统方框图

题图1-8(a)正确的反馈连接方式如图1-8 (a)中虚线所示。

(2) 题图1-8 (a)的系统是有差系统，题图1-8 (b)的系统是无差系统。

题图1-8-1 (a)中，当给定恒值电压信号，系统运行达到稳态时，电动机转速的恒定是以发电机提供恒定电压为条件，对应发电机激磁绕组中电流必然是恒定值。这意味着放大器前端

电压是非零的常值。因此，常值误差电压存在是系统稳固工作的前提，故系统有差。

图1-8-1(b)中，给定恒定电压，电动机达到稳固转速时，对应发电机激磁绕组中的励磁电流恒定，这意味着执行电动机处于停转状态，放大器前端电压必然为0，故系统无差。 1-9 试成立题图1-9所示各系统的状态空间表达式方程。其中外力F(t)，位移x(t)和电压

ur(t)为输入量；位移y(t)和电压uc(t)为输出量；k(弹性系数)，f(阻尼系数)，R(电阻)，

C(电容)和m(质量)均为常数。

题图1-9（a）

题图1-9（b）

解（a）以平衡状态为基点（再也不考虑重力影响），对证块m进行受力分析，如图解1-8(a)所示。按照牛顿定理可写出

dyd2yF(t)ky(t)fm2

dtdt 整理得

(b) 应用复数阻抗概念可写出

d2y(t)fdy(t)k1y(t)F(t) 2mdtmmdt图解1-9(a)

1Uc(s)csI(s)I(s)Uc(s) Ur(s)

1R2R1csR1 联立上面两式，可解得：

Uc(s)R2(1R1Cs)

Ur(s)R1R2R1R2CsducR1R2dur1ucur dtCR1R2dtCR1 电网络系统的微分方程为:

1-9 求图1-10所示各有源网络的传递函数

Uc(s)。 Ur(s)

题图1-10 有源网络

解

(a) 按照运算放大器 “虚地”概念，可写出

Uc(s)R2

Ur(s)R11 (b) Uc(s)C2s(1R1C1s)(1R2C2s)

1Ur(s)R1C1C2s2R1C1s1R1C1sR21Cs1R2U(s)R2Cs (c) c Ur(s)R1R1(1R2Cs)R21-11 一种测定直流电机传递函数的方式是给电枢加必然的电压，维持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度升为稳态值的50%或%所需的时刻，利用转速时刻曲线（见图1-11）和所测数据，并假设传递函数为

G(s)可求得K和a的值。

(s)K V(s)s(sa)若实测结果是：加10V电压可得1200 r/min的稳态转速，而达到该值50%的时刻为 s，试求电机传递函数。

题图1-11 电机转速的时间响应曲线

提示：注意

(s)K=，其中(t)d，单位是rad/s V(s)sadt解 依题意有： v(t)10 （伏） ()1200240 （弧度/秒） （1）

60(s)K V(s)sas0 (1.2)0.5()20 （弧度/秒） （2） 设系统传递函数 G0(s)应有 ()limsG0(s)V(s)limss010K10K40 （3） ssaa (t)L1G0(s)V(s)L1由式（2），（3） (1.2)10K10K11110KL1eat aassas(sa)10K1e1.2a401e1.2a20 a得 1e解出 a1.2a0.5

ln0.50.5776 （4） 1.2将式（4）代入式（3）得 K4a7.2586

1-12 给定典型二阶系统的设计指标：超调量%5%，调节时刻 ts3s，峰值时刻

tp1s，试肯定系统极点配置的区域，以取得预期的响应特性。

解 依题意

%5%，  0.707(45)；

ts3.5n3， n1.17；

tp

12n1， 12n3.14

综合以上条件，可画出满足要求的特征根区域 图解1-12

1-13 设一阶非线性系统的微分方程为

xxx3

试肯定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳固性，并画出系统的相轨迹。

0 得 解 令xxx3x(x21)x(x1)(x1)0

系统平衡状态：xe0,1,1

其中： xe0 ： 稳固的平衡状态；

xe1,1 ：不稳固平衡状态。

1-14 已知差分方程为

c(k)4c(k1)c(k2)0 初始条件：c(0)=0,c(1)=1。试求输出序列c(k),k=0，1，2，3，4。

解 依题意有

c(k2)4c(k1)c(k)c(0)0,c(1)1c(2)4104c(3)44115c(4)415456

现代控制部份(习题及答案) 概念

1. 古典控制理论和经典控制理论 古典控制理论：以单输入－单输出的线性定常系统为主要研究对象，以传递函数作为系统的大体描述，以频率法和根轨迹法来分析和设计控制系统的理论。

现代控制理论：以状态空间描述作为系统的数学模型，以状态变量法为基础，历时域

的方式来分析和设计控制系统，它分析和设计的目标是在揭露系统内在规律的基础上，实现系统在必然意义下的最优化。它的组成带有更高的仿生特点，控制方式已不限于单纯的闭环控制，扩展到适应环、学习环等。 2. 现代控制理论研究的主要内容

（1）线性多变量系统理论 它是现代控制理论的基础，主要研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性和实施方式；成立和分析系统结构、参数、行为和性能之间的关系，包括系统的能控性、能观测性、稳固性分析，和系统的极点配置、状态观测器设计和抗干扰问题的一般理论。

（2）最优控制理论 所谓最优控制，就是在给定的条件和性能指标（即目标函数）的情形下，寻求一个最优控制规律（或最优控制函数），使系统从一个初态抵达终态并取得在必然意义下的最优控制性能。寻求最优控制规律也就是设计最优控制器。在解决最优控制问题时，庞特里雅金的极大值原理和贝尔曼的动态计划法是最重要的两种方式，它们以不同的形式给出了最优控制所必需知足的条件，并可推出许多定性的性质。

（3）最优估量（或最佳滤波）理论 最优估量理论研究的问题是在系统中有随机干扰时，如何从被噪声污染的观测数据中肯定系统的状态，并使这种估量在必然意义下是最优的。由于噪声是随机的，而且是非平稳随机进程，卡尔曼的滤波理论用状态空间法设计最佳滤波器，保证状态估量为线性无偏最小估量误差的估量，克服了维纳滤波理论的局限性，实用性强，是滤波理论的一大冲破，也是现代控制理论的一个重要分支。

（4）系统辨识 要研究系统的状态，第一要成立系统在状态空间的数学模型。对于复杂的控制系统，往往不能通过解析的方式直接成立其数学模型，而主要通过实验或运行的数据来估量出控制对象的数学模型及参数，这就是系统辨识问题。

（5）自适应控制理论 自适应控制是在被控对象内部的结构、参数和外部的环境干扰存在不肯定性时，控制器既能适应内部参数变换，又能适应外部环境转变而自动调整控制作用，使系统仍达到必然意义下最优的控制方式。自适应控制系统能随时辨识系统的数学模型并按此模型实时调整最优控制规律，它有两种大体类型，即模型参考自适应控制和自校正控制。自适应控制理论的进一步进展就是自学习、自组织系统理论。

3. 状态空间表达式

对系统固有特性的一种内部描述，考虑了被古典控制理论的输入—输出模型所忽略的“状态”，较深刻地揭露了问题的本质，反映了控制系统“输入—状态—输出”的动态进程，即输入引发状态的转变，而状态决定了输出。

4. 特征值不变性

对系统的状态方程作非奇异线性变换，其特征值不会改变，这就是所谓的特征值不变性。

5. 持续状态方程的离散化

数字运算机只能处置离散并已量化的数字量，因此，当采用数字运算机对持续时刻状态方程求解时，必需先将其化为离散时刻状态方程。咱们把将系统的矩阵微分方程转化为矩阵差分方程的这种转化，就称之为持续状态方程的离散化。

6. 稳固和一致稳固

设xe为系统xf(x,t)的一个孤立的平衡状态。若是对球域S（ε）或任意选定的正实

数ε>0，都对应存在另一个正实数(,t0)0或球域S（δ），使适当x0xe时，从任意初态x0动身的X的运动轨迹恒有

(t;x0,t0)xe(tt0)

则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳固。一般来讲，决定球域S()的实数与ε有关，通常也与t0有关。若是与t0无关，则称这种状态为一致稳固。

7. 渐近稳固

若是平衡状态xe是稳固的，而且当t无穷增加时，轨迹不仅不超出球域S（ε），最终还会收敛于xe，即有 lim(t;x0,t0)xe （任意小量），则称这种平衡状态xe渐近

t稳固。（实际上，李雅普诺夫意义下的渐近稳固才是在古典控制理论中所说的稳固。工程应

用系统都要求是李雅普诺夫意义下渐近稳固的。）

8. 线性系统的能控性与能观测性（Controllability and Observability）

（1）可否选择适合的控制作用，使系统在有限的时刻内从目前状态（初态）X(t0)转移到所希望的状态X(t)？

（2）可否通过对系统在一段时刻内输出量y(t)的测定值来肯定系统的初始状态X(t0)？ 前面一个问题是指控制作用对状态变量的支配能力，即状态的能控性问题；后面一个是指系统的输出量可否反映状态变量，即状态的能观测性问题。

能控性和能观测性从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭露了控制系统的属性，具有重要意义。在多变量最优控制系统中，这是两个超级重要的概念。基于这两个概念，能够得出最优控制问题存在完整解的条件。

若是所研究的系统是不能控的，那么最优控制问题的解就不存在。若是系统不具有能观测性，就不能利用测得的系统输出来估量状态。因此，弄清楚控制系统的能控性和能观测性条件，具有重要的工程意义。 9. 对偶原理

系统∑1状态完全能控（或完全能观测）的充要条件是其对偶系统∑2状态完全能观测（或完全能控）；或说，只有当对偶系统∑2状态完全能观测（或完全能控制）时，系统∑1才是状态完全能控（或完全能观测）的。据此原理，一个系统的能控性（能观测性），能够借助其对偶系统的能观测性（能控性）来研究，反之亦然。对偶原理一样适用于线性定常离散系统。

10. 状态反馈、输出反馈和采用状态观测器的状态反馈

状态反馈、输出反馈和采用状态观测器的状态反馈现代控制工程中的三种大体的反馈形式。

（1）状态反馈：是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数后，反馈到输入端与参考输入相较较形成控制律，以实现闭环控制的。 （2）输出反馈：是利用输出量Y(t)组成线性反馈律，使系统成为闭环控制的一种控制方式。按照输出量是反馈至状态微分处，仍是参考输入处有所谓内输出反馈和外输出反馈两种形式。（由于系统的状态常常不能全数量测到，因此组成状态反馈就受到了。在这种情形

下，能够采用输出反馈方式。）

（3）采用状态观测器的状态反馈：当状态变量不可直接检测时，则设法由输出向量Y(t)与

ˆ(t)，并利用控制向量U(t)对系统状态向量进行估算，即采用观测器来取得状态的观测值X它实现状态反馈。

11. 极点配置

在古典控制理论中咱们就明白，系统的动力学特性和各类品质指标专门大程度上是由极点在S平面上的位置决定的。因此所采用的系统综合法，无论是根轨迹法，仍是频率响应法，本质上就是极点配置问题。在现代控制理论中，系统的极点实际上就是其状态方程中系统矩阵所对应的特征根。若是通过状态反馈矩阵F或输出反馈矩阵H或K的选择，使闭环系统的极点即系统矩阵的特征值恰好为一组所期望的极点，以取得良好的综合性能。

简答题

Q. 状态变量和空间模型什么关系？

A. 对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择致使不同的状态空间模型。

Q. 状态转移矩阵的解法有几种?

A. 线性定常系统状态转移矩阵的计算方式主要有以下4种： (1) 按照概念直接计算 (2) 通过线性变换计算（化系统矩阵A为规范形） (3) 通过拉普拉斯变换计算 (4) 待定系数计算法（凯莱—哈密顿法）

Q. 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们别离具有什么特点？

A. 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数肯定，其余部份具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除最后一个元素是1外，其余全为0。 能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。

Q. 状态转移矩阵是什么意思？

A. 状态转移矩阵的意义是：它决定了系统状态从初始状态转移到下一个状态的规律，即初始状态x0在状态转移矩阵的作用下，t0时刻的初始状态x0通过时刻t-t0后转移到了t时刻的状态xt。

Q. 何为输出能控性？状态能控性和输出能控性有何区别？

A. 对于一个系统，若对任意的初始输出y0，存在有限时刻T和在时刻段[0,T]上概念的控制信号u (t)，使得在该控制作用下，系统的输出从初始输出y0转移到任意给定的输出y (T)，

则称系统是输出能控的。状态能控性是讨论通过控制来改变系统状态行为的问题，输出能控性则是通过控制输入来改变系统输出行为的问题。二者之间没有必然的因果关系。

Q. 能观性在系统设计中的作用？

A. 状态能观性反映的是从系统输出观测系统状态的能力。在系统的设计中，需要引入适当的状态反馈，而系统的某些状态变量是无法实际取得的。在系统能观的条件下，能够利用系统中可直接测量的输出向量和输入向量来重构系统的状态。也可用于一些难以直接测量的信号的软测量

Q. 一个系统离散化后是状态能控的，原持续系统状态能控吗？一个系统离散化后是状态能观的，原持续系统是状态能观吗？

A. 系统离散化后是状态能控的，则原持续系统必是状态能控的。一样，系统离散化后是状态能观，则原持续系统必是状态能观的。

Q. 对于一个传递函数它的状态空间实现不唯一，那由状态空间模型导出的传递函数是不是惟一？

A. 一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数则是惟一的。

Q. 持续时刻状态空间模型离散化时需要注意哪些问题？

A. 需要注意的问题有 (1) 采样脉冲宽度要比采样周期小很多，如此才能够不考虑脉冲宽度的影响； (2) 采样周期应该知足香农采样定理，以使得采样信号包括持续信号尽可能多的信息，从而能够从采样取得的离散信号序列中完全复现原持续信号；。。。

Q. 古典控制理论中的系统稳固性与李雅普诺夫意义下的稳固性有什么区别？

A. （1）古典控制理论中的稳固指的是指输入输出稳固性，与系统状态无关；而李雅普诺夫意义下的稳固性是指系统的内部稳固性，反映了系统状态在偏离平衡状态后，是不是仍能维持在平衡状态周围、乃至回到平衡状态的系统能力。 （2） 对于古典控制理论中的稳固性是利用系统的传递函数概念的，因此必需要假定系统的初始条件为零。对象是线性时不变单输入单输出系统，采用的方式是判断系统的极点位置等，仅适用于系统稳固性分析。 （3） 李雅普诺夫意义稳固性理论适合于线性和非线性系统，时变和时不变系统，多变量系统；通过度析系统能量的转变来判断系统的稳固性；方式不仅适合于分析，而且更重要的是可用于控制系统的设计。

Q. 李雅普诺夫函数确实不存在，是不是能判定此系统稳固性？为何？

A. 若是一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，咱们也不能判定此系统不稳固，因为李雅普诺夫稳固性定理给出的稳固性条件仅仅是充分的，而非必要。当系统是线性的，其条件就是充分必要的。

Q. 李雅普诺夫稳固性定理有什么物理意义?

A. 李雅普诺夫稳固性定理的物理意义是：针对系统引入一个虚拟的能量函数（即李雅普诺夫函数），其本身要求是正定的。该能量函数沿系统轨线关于时刻的导数是负定的表明了：当系统运动时，其能量随时刻的推移而持续地减少，直至消耗殆尽，则系统的状态就回到平衡状态，从而系统是渐近稳固的。

计算题

1.抑制系统的传递函数为 W(s)=Y(s)43 2U(s)s7s16s12试用画结构模拟图方式求其状态空间表达式的能控标准型、能观标准型和约旦标准型。

解：按照公式可画出图a和图b。

U(S)+_____ 1Sx3____ 1Sx21x1___S Y(S)4716++1x2___S+_ 12 ++1S U(s)4____ +_12x1+_161___S7 X3Y(S)

W（s）能够展成部份式

W(s)Y(s)444 2U(s)s2(s2)s3能够画出模拟结构图，如图c表示：

U(S)++-21__X2S++1__X14-2S+-4Y(S)1__X+3++-3S4按图a状态空间表达式（能控标准型）为

x110x10 0001x20ux212167x31x3y001X按图b写出能观标准型的状态空间表达式

x10012x1010160uxx2201x3

y001X

按图c写出约旦标准型的状态空间表达式

x1210x10x 020x21u2003x31x3y444X

2。设系统微分方程为

y1ay1a2y1b1u1b2u1b3u2

1y2a3ya4y1b4u2

2求其状态空间表达式。

解：积分每一个方程，得：

y(t)2b1u1a1y11(b2u1b3u2a2y)1213222211dta1ybubuaydtbudt y2(t)b4u2a3y2a4y1dt 画出结构模拟图

b1U1(s)b2+x12+x+-1/s+1/sY1(s)-a2ba13a4U2(s)b4+1/s-x3Y2(s)a3

7x31一样，选取每一个积分器输出作为状态变量，写出状态方程和输出方程为

x1a1x2x2b1u1 x2a2x3b2u1b3u2x3a3x3a4x1b4u2yx 11

y2x3

3。已知A=01，用拉氏变换法求

23eAt。

解：sIAs001s1

0s232s3sIA112s311s1s22s(s3)22s2s1s2t2tt2t2eee et2tt2t22eeee11s1s2 12s1s2eAt=

L1sIA14。化下列系统为能控标准型I和II。

X1010 010X1u1001Y110X

解：①计算能控性矩阵

BWcAB011，Rank

111AB1012Wc=3

②计算A的特征多项式

1s10 32sIA0s10s2s10s1因此，a12,a20,a31

③计算变换后的C阵。当变换为能控标准型II时

C2CWc122 所以标准型II为

0011Z100Z0u0120 Y122Z要求变换为标准型I时

011021110

P1WcT111210111101100121110 C110111201C1P1121因此能控标准型I为

Z0100

001Z0u1021Y201Z

5.判定

x1x2x1(x1x2),

2222x2xx(x1x2)的稳固性。

2212解：由给定方程可知，（0,0）是唯一的平衡状态，设正定的标量函数为

V(x)x1x2

vdx1vdx22x1x12x2x2V(x)dtdtx1x2

2x1x2x12(22x1x2x2x1x2222 x1x2222x1x2)<0

且当

x1,V(x)，故系统在座标原点处为大范围渐近稳固。

x121x10x01x1u226．有系统 ， 试（1）画出系统的模拟结构图；（2）系统可

xy101x2否任意配置极点；（3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。

解： （1）系统的模拟结构图

（2）系统完全能控，故能够任意配置极点。 （3）取状态反馈控制 uKxvk0xk11v x2fkssI(ABK)s23k1s2k02k1

fk*ss3s26s9

比较上面两式的系数，得：

2k01,k13即：K13