立体几何解析几何1

1.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、

PC的中点，OP⊥底面ABC． （Ⅰ）求证：OD∥平面PAB

1(Ⅱ) 当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

2 (Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ P

D

ACO

解：方法一：

BPDFAOBEC(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点， OD∥PA

又PA平面PAB，  OD∥平面PAB

(Ⅱ) ABBC，OAOC，  OAOBOC，

又 OP平面ABC， PAPBPC. 取BC中点E，连结PE，则BC平面POE

作OFPE于F，连结DF，则OF平面PBC  ODF是OD与平面PBC所成的角. 又OD∥PA，

PA与平面PBC所成的角的大小等于ODF，

在RtODF中，sinODFOF210, OD30210. 30 PA与平面PBC所成的角为arcsin（Ⅲ）由(Ⅱ)知，OF平面PBC，∴F是O在平面PBC内的射影 ∵D是PC的中点，

若点F是PBC的重心，则B，F，D三点共线，

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，

OBPC,PCBD,PBPC，即k1 反之，当k1时，三棱锥OPBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为PBC的重心 方法二：

OP平面ABC，OAOC,ABBC，

OAOB,OAOP,OBOP.

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如图） 设ABa,则A222a,0,0,B0,,0,C,0,0222， 设OPh，则P0,0,h (Ⅰ)D为PC的中点，

zPD21ODa,0,h，

4221又PA2a,0,h,OD2PA,OD//PA，

 OD∥平面PAB

xAOBCy2177a,PAa,0,a(Ⅱ)k，即PA2a,h，

22221可求得平面PBC的法向量n1,1,， 7PAn210， cosPA,n30|PA||n|设PA与平面PBC所成的角为，则

210sin|cosPA,n|，

30（Ⅲ）PBC的重心G221a,a,h，

663221OG6a,6a,3h，

OG平面PBC,OGPB，

121222a,h,OGPBah0,ha， 又PB0,2632PAOA2h2a，即k1，

反之，当k1时，三棱锥OPBC为正三棱锥， ∴O在平面PBC内的射影为PBC的重心 2. 如图6，在棱长ABAD2，AA13的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上的点，点F是CD的中点．

（1）试求平面AB1F的法向量；

（2）试确定E的位置，使D1E 平面AB1F。 如图，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B1

（2，0，3），F（1，2，0），∴AB1(2,0,3)，AF（1，2，0）。

B B1 A1 CA C

D1

D

F

图6

AB1n,AB1n0,（1）设平面AB1F的一个法向量为n(x,y,z)，由得即

AFn,AFn0,2xz,2x3z0,3∴，∴可取平面AB1F的一个法向量为n(6,3,4)． x2y0,xy,2（2）∵D1（0，2，3），设E（2，y，z），则D1E(2,y2,z3)，由（1）知，平面AB1F的一个法向量为n(6,3,4)，∴要使D1E平面AB1F，只须使D1E//n，∴令nkD1E，

k3,62k,5即3(y2)k,∴y1,∴当E点坐标为（2，1，)时，D1E平面AB1F．

34(z3)k,5z.35.如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，

已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

D(2)设P是曲线C上任意一点，过原点的直线l与曲线C交

于MN两点，直线PM,PN的斜率都存在，并分别记为k1,k2，证明：k1×k2 为定值，并求出这个定值.

解 (1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，

QAOB∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2221225＞|AB|=4

∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=5,c=2,b=1

x22

∴曲线C的方程为+y=1

5(2) 过原点的直线l与椭圆相交于两点M,N关于坐标原点对称设

M(x0,y0)N(x0y0),P(x,y)，

x02y02x2y2M,N,P在椭圆上,应满足椭圆方程,得2+21,2+21

ababk2yy0y+y0 (10分) 　k2xx0x+x0yy0y+y0y2y02b21 (12分) k1k2222xx0x+x0xx0a5故k1k2的值与点P的位置无关,同时也与直线l无关 (13分) 6.如图所示，已知一次函数ykxb(b0)与二次函数

1yx2相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，两点，其中

2x20，且x1x21,F(0,b),AFtFB：

y A F B 0 X ①求OAOB的值

②求t关于k的函数关系式 ③当t3时，求以原点为中心，F为一个焦点且过点B的椭圆方程。 2ykxb2x12x213OAOBxxyyxx112 解：（1）由  121212yx44422（2）AFtFBx1tx2,tx1

又由x22kx10得x1kk21,tx12(kk21)2

332211x,x,B(,),F(0,) 时，12223332（3）当ty2x21且过点B 设椭圆的方程为21aa241214222136a37a10,a，即或a1 29a3(a21)3642又a

140，故a21，所以所求为y2x21。 43