型！ ：！ 学术论坛 Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｌｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ 三角函数图像的应用① 张久霞 （河北武邑中学河北衡水０５３４００） 摘 要：三角函数是高中数学中的一种很重要的常用函数，与其他常用函数一样，我们要研究他的定义域、值域，单调性以及奇偶性。而三角函 数的一个特殊性质——周期性使得三角函数变得与众．Ｔ－，－Ｐ］，尤其使其图像具有了周而复始的规律性和数学美感。 关键词：三角函数规律性特殊性 文献标识码：Ａ 文章编号１６７４－－０９８Ｘ（２０１４）Ｏ６（ｂ）－－０２１１－－０１ 中图分类号：Ｇ６３３．６４ 三角函数是高中数学中的一种很重要的 角函数值的大小是一种常见题型，这种题 常用函数，与其他常用函数一样，我们要研究 往往采取界值法或把几个三角函数值化同 ２２ｓ１ｎｒｃ２ ｃＩ）ｘ＋丁ｒ４＋１２。 由于（Ｊ）＞０，依题意得２Ⅱ２∞＝丁ｒ，所以∞ 一他的定义域、值域、单调性以及奇偶性。而三 名，进而再转化到同一段单调区间上，结合 角函数的一个特殊性质——周期性使得三 １。 图像的特征得出函数值的大小关系。实例分 （２）由（１）知ｆ（ｘ）＝２２ｓｉｎｒｃ２ｘ＋ ４＋１２， 所以ｇ（ｘ）＝ｆ（２ｘ）＝２２ｓｉｎｒｃ４ｘ＋ ４＋１２． 当０≤ｘ≤丌１６时，丌４≤４ｘ＋丌４≤丌２， 角函数变得与众不同，尤其使其图像具有了 析： 周而复始的规律性和数学美感。以下是正弦 函数图象、余弦函数图像、正切函数图象的 例１．已知：ａ＝ｓｉｎ１７。ＣＯＳ４５。＋ＣＯＳ１７。 简图，让我们先来欣赏一下如图１～３。 而随着新一轮教材改革的实施，高中数 ｓｉｎ４５％ｂ：２ｃｏｓ １３。一１．ｃ： ２ ，比较ａ、 所以２２≤ｓｉｎｒｃ４ｘ＋ ４≤１．因此ｌ≤ｇ（ｘ）≤１ ＋２２。 ｂ、Ｃ的大小。 故ｇ（ｘ）在区间０， １６上的最小值为１． 学教材三角函数这一章的教学重点已由以 前的三角函数式的恒等变形转变为三角函 数的图像与性质，而三角函数的作图和图像 的平移、求值和最值、求周期与判断函数的 在数学教学中我们更看重三角函数的图像 在解题中的应用。三角函数图像主要由以下 几方面的应用。 解析：根据两角和的正弦公式，以 ＝ｓｉｎ（１７。＋４５。、＝ｓｉｎ６２。 由二倍角公式ｂ＝ＣＯＳ２６。：ｓｉｎ６４。， Ｃ：ｓｉｎ６０。又结合图像知正弦函数在区间 又０。＿＜６０。 ６２。 ６４。＿＜９０。， ３求三角函数的表达式 题目一般给定图象的一部分，由图象中 ｏｏ．９０￣１上单调递增， 单调性是三角函数性质中的重点内容，因而 『所以ｓｉｎ６０。 ｓｉｎ６２０．＜ｓｉｎ６４０，即 Ｃ ａ＿＜ｂ ｏ 表达出的各种信息，得出解析式中的待求参 数，进而可求出函数的解析式。 例３．已知函数ｆ（ｘ）＝Ａｔａｎ（０２Ｘ４－ （∞ ＞０，Ｉ中Ｉ＜＿＝－），Ｙ＝ｆ（ｘ）的部分图象如图所 １比较三角函数值的大小 在三角函数一章中比较两个或多个三 ２求三角函数在某个区间的值域、最 示，求ｆ（ｘ）的解析式，并求ｆ【解析】由图象可知，此正切函数的半 值 用整体代换法，比如求ｓｉｎ（２ｘ＋６）在某 个区间的值域，把２ｘ＋６看做一个整体ｔ，再 周期等于三 一 Ｙ＝Ｓｉｌｌ ＝ＣＯＳ ＝三 ＝ ８ ４ ，即周期 求ｓｉｎｔ的值域。实例分析如图４。 例２：已知函数ｆ（ｘ）：Ｓｉｎ（ 一∞ｘ）ｃｏｓ 【Ｉ）ｘ＋ＣＯＳ ∞Ｘ（０３＞０）的最小正周期为丁ｒ．（１） 求０３的值。 （２）将函数Ｙ—ｆ（ｘ）的图象上各点的横坐 ８ ８ 为一１ ，・’・（｜） ２。 由自 ２×昙川 ｋ由 ｋ＝ｋ ｒｒ， ∈Ｚ，Ｉ＇＜号，Ｉ，Ｉ＜詈，知 中 。 ， 标缩短到原来的１２，纵坐标不变，得到函数 ｙ＝ｇ（ｘ）的图象，求函数ｇ（ｘ）在区间【０， １６】 上的最小值。 由ｆ（ｏ）一１，知Ａ＝１。 ㈥－ｔｒａｎ｝ ．｛ 。 ．／２ｘ＋４） ㈡ 解析： （１）因为ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（Ⅱ一∞Ｘ）Ｃ０Ｓ ∞ｘ＋ＣＯＳ ０３Ｘ，所以ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ ０３ＸＣＯＳ ０３ｘ ＋１＋ＣＯＳ ２【Ｉ）ｘ２。 ＝ｆ ０ 图２ （２×争４／ 詈： 。 ｌ２ ｓｉｎ ２（Ｉ）ｘ十１２ＣＯ Ｓ ２∞ｘ ４－ｌ２＝ １ ／、 ０ 一ｊ， ／ ｊ ’， ＼警／２＼／ 丌 ’ 图３ ｌ ｆｆ ①作者简介：张久霞（１９７９．６一），女，汉族，河北省武邑县人，毕业于河北师范大学本科学历，中学一级教师，现任河北省武邑中学高一数学 老师，研究方向 ：数学教育。 科技创新导报Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ ＴｅｃｈｎｏｌｏｇＹ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ ２１ １