平面向量的数乘运算

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平面向量的数乘运算

知识点一：向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a． ①

aa；

②当0时，a的方向与a的方向一样；当0时，a的方向与a的方向相反；当

0时，a0．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab． ⑶坐标运算：设ax,y，那么ax,yx,y． 知识点二：向量共线定理：向量

aa0与b共线，

当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，那么当且仅当x1y2x2y10时，向量a、

bb0共线．

知识点三：平面向量根本定理：如果e1、e2是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．〔不共线的向量e1、e2作为这一平面所有向量的一组基底〕

知识点四：分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，

x2,y2，当12时，点的坐标是x1x2y1y2,．〔当111时，就为中点公式。）

知识点五：平面向量的数量积：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a和b都是非零向量，那么①abab0．②当a与b同向时，

abab；当a与b反向时，abab；aaa2a或aaa．③abab．

⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc． ⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，那么abx1x2y1y2．

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2.

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假设ax,y，那么a2x2y2，或ax2y2． 设ax1,y1，bx2,y2，

那么abx1x2y1y20．

设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，那么

cosababx1x2y1y2xy2121xy2222．

数学 平面向量数量积的坐标表示同步达纲

【同步达纲练习】 一、选择题.

1.以下各向量中，与a=(3,2)垂直的向量是( )

A.b=(3,-2) B.b=(2,3) C.b=(-4,6) D.b =(-3,2) 2.假设a=(2,3),b=(-4,7),那么a在b方向上的投影为( ) A.3B.

1365 C.D.65 553.向量a=(3,-2),b=(m+1,1-m)，假设a⊥b，那么m的值为( ) A.

11 B.- C.-1D.1 5.向量｜a｜=5,且a=(3,x-1),x∈N,与向量a垂直的单位向量是( ) A.(

334334434443，-)B.(-，) C.(-，)或(，-)D.(，-)或(-，)

5555555555555.假设a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)，那么( )

A.a⊥bB.a∥b C.(a+b)⊥(a-b)D.(a+b)∥(a-b) 6.a=(1,3),b=(3+1,3-1),那么a与b的夹角为( ) A.

3B.C.D.

44327.以A(2，5)，B(5，2)，C(10，7)为顶点的三角形的形状是( )

A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 8.a=(-2,-1),b=(λ,1).假设a与b的夹角为钝角，那么λ的取值围是( ) A.(-

111，+∞)B.(2，+∞) C.(-，+∞)D.(-∞,-) 222. .word.zl.

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9.a=(x1,y1),b=(x2,y2)，那么在以下各结论中为a·b=0的充要条件的是( ) ①a=0或b=0或a⊥b②a⊥b③x1y1+x2y2=0 ④x1x2+y1y2=0 A.①③ B.②③C.③④D.①④ 10.a与b的夹角的余弦为-

63，那么a，b的坐标可以为( ) 65A.(4，3)，(-12，5)B.(3，4)，(5，12) C.(-3，4)，(5，-12)D.(-3，4)，(-5，12)

二、填空题

1.a=(4,3),b =(-1,2)，那么a与b的夹角为. 2.a=(3,-5),b =(-4,-2),那么a·b=.

3.顺次连接A(3，-1)，B(1，2)，C(-1，1)，D(3，-5)的四边形是.

4.以原点和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，那么向量AB为. 5.向量a=(1,2),b =(x,1),分别求出当a+2b与2a-b平行和垂直时实数x的值. 6.a=(2,1),b=(-1,-1),c=a+kb,d=a+b,c与d的夹角是三、解答题 1.a=(1,-2),b=(4,3)

求(1)a2 (2)b2 (3)a·b

(4)(3a+2b)·(a-3b) (5)a与b的夹角 (6)a在b上的投影

2.：点A(0，3)，B(6，3)，AD⊥OB，垂足为D，求点D的坐标.

3.A(-2，3)，正方形OABC，求点C、点B的坐标.

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，那么实数k的值. 4.

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【素质优化训练】

1.a=(-1,0),b=(1,1),c=λa+μb(λ、μ∈R)，假设c⊥a，且｜c｜=2,试求λ、μ的值及向量c的坐标.

2.假设a=(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ)，用｜ka+b｜=3｜a-kb｜(k∈R，k≠0),试用k表示a·b.

3.a=(-3,-2),b =(-4,k),假设(5a-b)·(b-3a)=-55,数k的值.

4.求与向量a=(3,-1)和b=(1,3)的夹角相等，且模为2的向量c的坐标.

5.矩形ABCD的相对顶点A(0，-1)，C(2，5)，且顶点B到两坐标轴的距离相等，求顶点D的坐标.

【生活实际运用】

如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量法证明

(1)PA=EF (2)PA⊥EF

证明：建立如下图坐标系，设正方形边长为1，｜OP｜=λ,那么A(0，1)，P(

22λ，22. .word.zl.

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λ)，E(1，

22λ)，F(λ，0) 222222λ,1-λ),EF=(λ-1,-λ)

222222222

λ)+(1-λ)=λ-2λ+1

22∴PA=(-

(1)｜PA｜2=(-

｜EF｜2=(

2222λ-1)2+(-λ)=λ-2λ+1

22∴｜PA｜2=｜EF｜2,故PA=EF (2)PA·EF=(-

2222λ)(λ-1)+(1-λ)(-λ)=0 2222∴PA⊥EF∴PA⊥EF.

【知识探究学习】

A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出最大值. 解，设C(x,0)(x＞0) 那么CA=(-x,a),CB=(-x,b) 那么CA·CB=x2+ab. cos∠ACB=CA•CBCA•CB =

x2abxa22xb22

令t=x2+ab 故cos∠ACB=

1ab(ab)2112(ab)•1tt2

当=

1t12ab即t=2ab时，cos∠ACB最大值为. 2abab当C的坐标为(ab,0)时，∠ACB最大值为arccos【同步达纲练习】

2ab. ab. .word.zl.

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一、1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.A 9.D 10.C 二、1.arccos 5.

733725 2.-2 3.梯形 4.(-，)或(-，-)

222225173，或-2 6. 222225 (6)-

525三、1.(1)a2=5 (2)a2=25 (3)a·b=-2 (4)-121 (5)π-arccos2.D(2，1) 3.C(3，2)或(-3，-2)，B(1，5)或(-5，1)

【素质优化训练】

1.λ=μ=2,C(0,2)或λ=μ=-2,C(0,-2)

k2131312.a·b= 3.k=-10或k=6 4.c=(,)

4k225.D的坐标为(

119519119519511711，)，(，)，(，)，222222(

511711，) 22. .word.zl.