2019届陕西省宝鸡中学高三第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)

2019届陕西省宝鸡中学高三第一次模拟考试数学（文）试题

一、单选题 1．已知集合A．【答案】A

【解析】先化简集合，直接利用交集定义求解即可． 【详解】 集合集合

是小于5的自然数

， ，故选A．

【点睛】

研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.

2．已知i为虚数单位，复数z满足zi22i，则z = A．22i B．22i C．2i D．2i 【答案】A

【解析】复数z满足zi22i， z故答案为：A。 3．设

是定义在R上的奇函数，且当

时，

，则

，

是小于5的自然数，集合

B．

C．

D．

，则

22i22ii22i ii2A．1 B．【答案】B

C． D．

【解析】试题分析：由奇函数可得【考点】函数的奇偶性.

，故选A.

4．我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题意为：“有一个人要走378里路，

第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地“那么，此人第4天和第5天共走路程是 A．24里 B．36里 C．48里 D．60里 【答案】B

【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由

．

，利

用等比数列求和公式解得，利用等比数列的通项公式可得【详解】

记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，

由，得，解得：，

．

所以此人第4天和第5天共走了【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考属于中档题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量通过列方程组所求问题可以迎刃而解.

，一般可以“知二求三”，

里，故选B．

5．若实数A．【答案】B

满足 B．

则 C．

的取值范围为（ ）

D．

【解析】作出不等式表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部：

其中

，

，

，设

为区域内的点，定点

，可得

表示

两点连线的斜率，由图象可知，的最小值是1， 即故选B

，所以的取值范围是

6．现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是

A．求两个正数B．判断两个正数

的最小公倍数 是否相等

C．判断其中一个正数是否能被另个正数整除 D．求两个正数【答案】D

【解析】根据程序框图知该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题． 【详解】

根据题意执行如图所示的程序框图知，

该算法的功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数问题，故选D． 【点睛】

的最大公约数

本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．解决算法的交汇性问题的方法：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可. 7．△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c，已知b7， c4，

cosB3，则△ABC的面积等于 4379 C．9 D． 22A．37 B．【答案】B

【解析】由余弦定理得： b2c2a22ca?cosB，即716a26a∴S，解得： a3

ABC11737casinB43 2242故选：B

8．已知点在抛物线

上，则当点到点

的距离与点到抛物线焦点距离之和

取得最小值时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

的距离，所以到点

的距

因为点到抛物线焦点距离等于点到抛物线的准线离与点到抛物线焦点距离之和取得最小等价于到点距离之和取得最小，如图，由几何性质可得，从

的距离与点到抛物线准线向准线作垂线，其与抛物线交点

就是所求点，将代入，可得，点到点的距离与点到抛物线焦点距

离之和取得最小值时，点的坐标为，故选D.

【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的. 9．等差数列A．

的前项和为，若公差

C．

， D．

，则

B．

【答案】D 【解析】由公差

可得

，由

，可得

，可得，从而可得结论．

，

，由等差数列的性质可得

【详解】 公差

，

，

，，

，

，

， ，故选D．

【点睛】

,

，

，

本题考查了等差数列的通项公式与性质以及单调性、不等式的性质，属于中档题．解答等差数列问题要注意应用等差数列的性质10．已知正三棱柱（ ）

，

，则异面直线

（与

）.

所成角的余弦值为

A． B．【答案】C

C． D．

【解析】分析：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小．

详解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长为2， 则A（0，0，0），B1（=（

），

，1，2），A1（0，0，2），C（0，2，0）， =（0，2，﹣2），

设异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值为θ，

则cosθ===．

∴异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小为． 故选：A．

点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.

11．若双曲线

（，）的一条渐近线被圆所截

得的弦长为2，则的离心率为 （ ）

A．2 B．【答案】A

C． D．

【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为

，则点

到直线

，

的距离为

圆心到渐近线距离为

，

即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．

点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值

范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关

于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

12．函数在点

处的切线斜率为，则的最小值是（ ）

A．10 B．9 C．8 D．【答案】B 【解析】 由函数 由函数

的图象在点

，所以

，

，

处的切线斜率为，所以

所以 （当

且仅当，即时等号成立）

所以的最小值为，故选B.

二、填空题

13．已知a2,1,a2b1,1,则a•b____________． 【答案】1

【解析】∵a2,1,a2b1,1， ∴2b2,11,11,0， ∴b1,0， 2∴ab101． 答案：1

14．中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为a2b2c2a,b,cN*，我们把a,b,c叫做勾股数.下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第5组股数的三个数依次是__________． 【答案】11,60,61

【解析】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，第二，三个数为相邻的两个整数，可设为x,x1,x1112x2x60,所以第5组股数的三个数依次是11,60,61. 15．已知三棱柱体积为

，

，

，

的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的

，则此球的表面积等于______．

2【答案】

【解析】试题分析：由已知条件得：∵

，∴

，

，∴，

设的外接圆的半径为，则，∴，

.

∴外接球的半径为，∴球的表面积等于

【考点】1.棱柱的体积公式；2.余弦定理；3.球的表面积.

16．已知函数则不等式的解集为______．

【答案】【解析】当

时, ;

当 时, ;

综上解集为

三、解答题 17．已知函数求函数

．

的单调减区间；

将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来

的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．

【答案】（1）【解析】

；（2）

利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将

函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间；

利用函数的图象变换规律，求得的解析式，由可得

结合正弦函数的单调性，求得

【详解】

的值域．

函数，

当

时,解得：，

因此，函数的单调减区间为．

将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，

再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数

的图象，

，，

的值域为

【点睛】

．

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数正弦函数的值域，属于中档题．函数

的图象变换规律，

,

的单调区间的求法：若

把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，

求得增区间.

18．如图，在棱长均为1的直三棱柱

中，D是BC的中点．

求证：

平面

； 的距离．

求点C到平面

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】试题分析：（1）根据条件可得

，

，进而得到线面垂直；（2）由

等体积的方法得到解析： (1)证明：

（2）由(1)知

，可求得距离。

设

19．已知椭圆 1求椭圆的方程； 2若斜率为的直线经过点

．

的两个焦点和短轴的两个端点都圆上．

，且与椭圆相交于两点，试探讨为何值时，

【答案】（1）；（2）

，短轴的端点为，

，直线

，可得

，可求得，，代入椭圆方程，

，化简计算即

【解析】1由题意可得焦点为进而得到椭圆方程；

设

的方程为

消去，可得的方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为可得到所求的值． 【详解】

依题意椭圆的两个焦点和短轴的两个端点都圆可得

，

所以

，

上，

所以椭圆C的方程设

，

；

，直线AB的方程为

，

由消去y得：，

所以，

因为而

，所以，即，所以

，

，

所以，

解得：【点睛】

，此时，所以．

本题主要考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于

的方程组，解出

从而写出椭

圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.

20．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为绩分布在取

，分数在

以上（含

，且成

）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽

人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.

（1）求的值，并计算所抽取样本的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）填写下面的

列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有

关”？ 获奖 不获奖 合计

文科生 理科生 合计

附表及公式：

，其中

【答案】（1）【解析】（1）

，；（2）表见解析，有把握．

， ．

（2）补充完整的 获奖 不获奖 合计

列联表如下： 文科生 5 45 50 理科生 35 115 150 合计 40 160 200 计算得的观测值为，

所以有超过95%的把握认为“是否获奖与学生的文理科有关”．

21．已知函数（Ⅰ）若（Ⅱ）若函数

，当

． 时，求

的单调递减区间；

有唯一的零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）和（2）

【解析】试题分析：（1）对求导，利用导数与单调性的知识可求得减区间；（2）问

题等价于有唯一实根.当时，根据对数函数和幂函数的图像可知，此时

有唯一实根，当时，无解，当时，，利用导数求得的极小值为，

故需

试题解析：（1）

，综上，定义域为

，

.

，

∴的单调递减区间是和.

（2）问题等价于

有唯一的实根，

显然，则关于的方程

，则，得时，时，的极小值为

，，

，

有唯一的实根， ，

构造函数由当当所以

单调递减； 单调递增，

，

如图，作出函数的大致图象，则要使方程的唯一的实根，

只需直线与曲线有唯一的交点，则.

或，解得或.故实数

的取值范围是

点睛：本题主要考查函数导数与单调性，考查数形结合的数学思想方法，考查函数零点问题转化的方法.利用导数求单调性的过程是：求定义域、求导通分，令导数等于零，通过函数的单调性，画原函数的图像.其中定义域是最容易漏掉的.第二问研究一个函数的零点，转化为两个函数的图像的交点来求. 22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

为参数，在以原点为

极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．

求C的普通方程和l的倾斜角； 设点

，l和C交于A，B两点，求

．

【答案】(1) 直线的倾斜角为;(2).

【解析】（1）消参写出曲线C的普通方程，利用极坐标公式写出直线l的普通方程和直线的倾斜角.(2)先写出直线的参数方程，代入曲线C的普通方程，再利用韦达定理和参数方程t的几何意义解答. 【详解】

解：(1)由消去参数α，得，

即C的普通方程为.

由ρsin将

＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，()

代入()，化简得y＝x＋2，

所以直线l的倾斜角为.

(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为 (t为参数)，

即 (t为参数)，

代入Δ＝(18

并化简，得5t2＋18)2－4×5×27＝108>0，

t＋27＝0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0，所以t1<0，t2<0，

所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝【点睛】

.

(1)本题主要考查参数方程、极坐标和普通方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 过定点

、倾斜角为

的

直线的参数方程时,

23．已知函数（1）求不等式（2）设【答案】(1)

，证明：

或

（为参数）.当动点下方时,

在定点

.

上方

. 当动点在定点

的解集

.

；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明

，再两边平方，因式分解转化为证明确定

试题解析：（1）∵当

时，不等式可化为

成立. ，∴

，解得

. ，∴

；

，最后根据条件

当,不等式可化为，解得， 无解；

当时，不等式可化为

或

.

，解得，∴.

综上所述，（2）∵要证即证由（1）知，

，

成立，只需证，即证

或

，∵

， ,即证，∴

， .

∴成立.

都有

成立.

综上所述，对于任意的

点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.

(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.