小升初冲刺第 2 讲
牛吃草问题
基本公式 :
1) 设定一头牛一天吃草量为“ 1”
2）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的许多天数－相应的牛头数×吃的较少
天数）÷（吃的许多天数－吃的较少天数） ；
3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
`
4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度） ；
5) 牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
例 1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，可供 15
头牛吃 10 天。问：这片牧草可供 25 头牛吃多少天？
解：假定 1 头牛 1 天吃的草的数目是 1 份 草每天的生长量：（ 200-150）÷（ 20-10 ）
=5 份
10×20=200份 原草量 +20 天的生长量 × 5=100份
原草量： 200-20 ×5=100 或 150-10
15×10=150份 原草量 +10 天的生长量 [ 自主训练 ]
100 ÷（ 25-5 ）=5 天
牧场上长满了青草，并且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可
供 9 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天，假如要供 18 头牛吃，可吃几日？
解：假定 1 头牛 1 天吃的草的数目是 1 份 草每天的生长量：（ 180-150）÷（ 20-10 ） =3 份
9×20=180 份 原草量 +20 天的生长量 × 3=120份
原草量：180-20 × 3=120份 或 150-10
15×10=150份 原草量 +10 天的生长量 120 ÷（ 18-3 ）=8 天
例 2、因为天气渐渐冷起来，牧场上的草不单不长大，反而以固定速度在减少。已知某块
草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算，可供多少头牛吃 10 天？
解：假定 1 头牛 1 天吃的草的数目是 1 份
草每天的减少许：（ 100-90 ）÷（6-5 ）
行测牛吃草问题(含例题、答案、解说)
=10 份
20×5=100 份 原草量
-5 天的减少许
原草量： 100+5×10=150 或 90+6×
10=150 份
15×6=90 份 原草量 -6 天的减少许
（ 150-10× 10）÷ 10=5 头
[ 自主训练 ]
因为天气渐渐严寒，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经
测算，牧场上的草可供 30 头牛吃 8 天，可供 25 头牛吃 9 天，那么可供 21 头牛吃几日？
解：假定 1 头牛 1 天吃的草的数目是 1 份
草每天的减少许：（240-225 ）÷（9-8 ）
=15 份
30×8=240 份 原草量
-8 天的减少许
原草量： 240+8×15=360 份或 220+9×
15=360 份
25×9=225 份 原草量
-9 天的减少许 360 ÷（ 21+15）=10 天
例 3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每
分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟抵达楼上， 女孩用了 6 分钟抵达楼上。问：该扶梯共有多少级？
男孩： 20×5 =100 （级） 女孩 ;15 ×6=90（级）
自动扶梯的级数 -5 分钟减少的级数 自动扶梯的级数 -6 分钟减少的级数
每分钟减少的级数 = (20 ×5-15 ×6) ÷ (6-5)=10( 级) 自动扶梯的级数 = 20 ×5+5× 10=150（级） [ 自主训练 ]
两个调皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3 100
级阶梯，女孩每秒可走 2 级阶梯，结果从扶梯的一端抵达另一端男孩走了 秒，女孩走了 300 秒。问该扶梯共有多少级？ 3×100=300自动扶梯级数 +100 秒新增的级数 2×300=600自动扶梯级数 +300 秒新增的级数
每秒新增的级数：（2×300-3 ×100）÷（ 300-100 ）=1.5 （级） 自动扶梯级数 = 3 ×100-100 ×1.5=150 （级）
1. 有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增添量相等），假如放牧 24 头牛，则 6 天吃完草，假如放牧 21 头牛，则 8 天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永久吃不完，最多只好放牧几头牛？ 假定 1头1天吃 1个单位
行测牛吃草问题(含例题、答案、解说)
24*6=144 21*8=168 168-144=24
每天长的草可供 24/2=12 头牛吃 最多只好放 12 头牛
2，有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供 5 头牛吃 40 天，或 6 供头牛吃 30 天。假如 4 头牛吃了 30 天后，又增添 2 头牛一同吃， 这片草地还能够再吃几日？
假定 1头1天吃 1个单位 5*40=200；6*30=180 200-180=20
每天长的草 :20/(40-30)=2 原有草： 200-2*40=120
4*30=120 ，30*2=60 60/4=15 天
3，假定地球上新增添资源的增添速度是必定的，照此计算，地球上的资源可供 110 亿人生活 90 年，或可供 90 亿人生活 210 年，为了人类不停繁衍，那么地球最多能够养活多少亿人？ 假定 1亿人头 1天吃1个单位 110*90=9900；90*210=18900 18900-9900=9000 9000/(210-90)=75
4，一游玩场在开门前有 100 人排队等待，开门后每分钟来的游客是相同的，一
个进口处每分钟能够放入 10 名游客，假如开放 2 个进口处 20 分钟就没人排队，
现开放 4 个进口处，那么开门后多少分钟后没人排队？
2*20*10=400 400-100=300 300/20=15 100+15*4=160 160/(4*10)=4
（ 1）因为草量 =原有草量 +新长出的草量，并且草量是均匀增添的。 所以“对应的牛头数×吃的许多天数”就代表了第一次状况下的总草量，即 为：吃的许多天数时的总草量 =草地原有草量 +草的生长速度 * 许多天数时的时间。
同理“相应的牛头数×吃的较少天数”代表了第二次状况下的总草量， 即为：吃的较少天数时的总草量 =草地原有草量 +草的生长速度 * 较少天数时的时间。
两个一做差，式子中的“原有草量”就被减掉了， 等号的左侧就是两次状况之下总草量的差，右侧等于草的生长速度 * 两次状况下的时间差，所以直接把时间差除到左侧去，就获得了草的生长速度了。
行测牛吃草问题(含例题、答案、解说)
（ 2）牛吃的草的总量包含两个方面，一是本来草地上的草，而是新增添出来的 草。所以“牛头数×吃的天数”表示的就是牛一共吃了多少草， 牛在这段时间把草吃洁净了，所以牛一共吃了多少草就也表示草的总量。 自然草的总量减去新增添出来的草的数目，就剩下本来草地上边草的数目了。
牛吃草问题观点及公式
问题又称为消长问题或牛顿牧场，是
17 世纪英国伟大的科学家牛顿提
出来的。典型牛吃草问题的条件是假定草的生长速度固定不变，不一样头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地能够吃多少天。因为吃的天数不一样，草又是每日在生长的，所以草的存量随
牛吃的天数不停地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
1) 设定一头牛一天吃草量为 “1”
1）草的生长速度＝（对应的牛头数 ×吃的许多天数－相应的牛头数 ×吃的较少天数） ÷（吃的许多天数－吃的较少天数）；
2）原有草量＝牛头数 4）牛头数＝原有草量
×吃的天数－草的生长速度
÷吃的天数＋草的生长速度。
×吃的天数； `
3）吃的天数＝原有草量 ÷（牛头数－草的生长速度）；
这四个公式是解决消长问题的基础。
因为牛在吃草的过程中，草是不停生长的，所以解决消长问题的要点是要想方法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草固然在变化，但因为是匀速生长，所以每天新长出的草量应当是不变的。正是因为这个不变量，才能够导出上边的四个基本公式。
牛吃草问题常常给出不一样头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。因为吃草的牛头数不一样，求若干头牛吃的这片地的草能够吃多少天。
解题要点是弄清楚已知条件，进行对照剖析，从而求出每天新长草的数目，再求出草地里原有草的数目，从而解答题总所求的问题。
这种问题的基本数目关系是：
1.( 牛的头数 ×吃草许多的天数 -牛头数 ×吃草较少的天数 ) ÷（吃的许多的天数 - 吃的较少的天数 )= 草地每天新长草的量。
2. 牛的头数 ×吃草天数 -每天新长量 ×吃草天数 =草地原有的草。解多块草地的方法
多块草地的 “牛吃草 ”问题，一般状况下找多块草地的最小公倍数，这样
能够减少运算难度，但假如数据较大时，我们一般把面积一致为
“1相”对简
单些。
“牛吃草 ”问题剖析
华图公事员考试研究中心数目关系资料剖析教研室研究员 【华图名师姚璐例
1】有一块牧场，可供
10 天，则它可供 25 头牛吃多少天？
姚璐
10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃
行测牛吃草问题(含例题、答案、解说)
A.3 B.4 C.5 D.6 【华图名师姚璐答案】
片草场可供 25 头牛吃 Y 天
依据中心公式 代入 (200-150)/(20-10)=5
C
【华图名师姚璐分析】设该牧场每天长草量恰可供
X 头牛吃一天，这
10*20-5*20=100
100/(25-5)=5( 天）
璐例 2 】有一块牧场，可供可供多少头牛吃 4 天？
A.20 B.25 C.30 D.35
10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃 10 天，则它
【华图名师姚璐答案】 依据中心公式代入
C
X 头牛吃一天，
【华图名师姚璐分析】设该牧场每天长草量恰可供
(20 ×10-15 ×10)=5 10×20-5 ×20=100 100÷4+5=30( 头） 【华图名师姚璐例
3】假如 22 头牛吃 33 公亩牧场的草，
54 天后能够 24 天内吃尽
吃尽， 17 头牛吃 28 公亩牧场的草， 84 天能够吃尽，那么要在 40 公亩牧场的草，需要多少头牛？
A.50 B.46 C.38 D.35 【华图名师姚璐答案】 【华图名师姚璐分析】
1 天，每公亩草场原有牧草量为
依据中心公式： ，代入
D
Y ，
设每公亩牧场每天新长出来的草可供
X 头牛吃
24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要
Z 头牛
，所以 ，选择 D
草量不再是常量。
【华图名师姚璐说明】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的
下边我们来看一下上述 【华图名师姚璐例
注水，一段时间后，用 相同的抽水机排水，则用 需要多少台抽水机？【广东
【华图名师姚璐答案】
量，共需 Y 台抽水机
有恒等式：
“牛吃草问题 ”解题方法，在真题中的应用。
40 分钟能排完；假如用
4 台
4 】有一个浇灌用的中转水池，向来开着进水管往里 2 台抽水机排水，则用
2006 上】 B
16 分钟排完。问假如计划用
10 分钟将水排完，
A.5 台 B.6 台 C.7 台 D.8 台
【华图名师姚璐分析】设每分钟流入的水量相当于
X 台抽水机的排水
解 ，得 ，代入恒等式
行测牛吃草问题(含例题、答案、解说)
【华图名师姚璐例 5】有一水池，池底有泉水不停涌出，要想把水池的
8 小时， 8 台抽水机需抽
2006 】
12 小时，假如用 6 台抽
水抽干， 10 台抽水机需抽
水机，那么需抽多少小时？【北京社招
A.16 B.20 C.24 D.28
【华图名师姚璐答案】
量，共需 Y 小时
有恒等式：
C
X 台抽水机的排水
【华图名师姚璐分析】设每分钟流入的水量相当于
解 ，得 ，代入恒等式
【华图名师姚璐例 6】林子里有猴子喜爱吃的野果，
周内吃光， 21 只猴子可在 12 周内吃光，问假如有 要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江
A.2 周 B.3 周 C.4 周 D.5 周 【华图名师姚璐答案】
子共需 Y 周吃完
有恒等式：
解 ，得 ，代入恒等式 【华图名师姚璐例
7】物美商场的收银台均匀每小时有
C
【华图名师姚璐分析】设每天重生长的野果足够
23 只猴子可在 9
33 只猴子一同吃，则需 2007 】
X 只猴子吃， 33 只猴
60 名顾客前来
排队付款，每一个收银台每小时能对付 假如只开设一个收银台，付款开始
80 名顾客付款。某天某时辰，商场
4 小时就没有顾客排队了，问假如当时
2006 】
开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江
A.2 小时 B.1.8 小时 C.1.6 小时 D.0.8 小时
【华图名师姚璐答案】
D
【华图名师姚璐分析】设共需
X 小时就无人排队了。
例题：
1 、游客在车站候车室等车
度也必定 ,当车站放一个检票口 的人数
设一个检票口一分钟一个人 1 个检票口 30 分钟 30 个人 2 个检票口 10 分钟 20 个人 (30-20) ÷(30-10)=0.5 个人 原有 1×30-30 ×0.5=15 人 或 2×10-10 ×0.5=15 人
,并且排队的乘客按必定速度增添 ,检查速 ,当开放 2
,需用半小时把全部乘客解决完成
个检票口时 , 只需 10 分钟就把全部乘客 OK 了 求增添人数的速度还有本来
行测牛吃草问题(含例题、答案、解说)
2、有三块草地，面积分别是
长得相同快。 第一块草地可供 45 天，问第三块地可供多少头牛吃
把每头牛每天吃的草看作
00 份
5 ，15 ， 24 亩。草地上的草相同厚，并且
28 头牛吃
10 头牛吃 30 天，第二块草地可供
80 天？
这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。
1 份。
因为第一块草地 5 亩面积原有草量＋
5 亩面积 30 天长的草＝ 10×30 ＝ 3
所以每亩面积原有草量和每亩面积
＝ 1260 份
30 天长的草是
15 亩面积
300÷5 ＝ 60 份
45 天长的草＝ 28×45
因为第二块草地 15 亩面积原有草量＋
所以每亩面积原有草量和每亩面积 所以 45 － 30 ＝ 15 天，每亩面积长 所以，每亩面积每天长 所以，每亩原有草量
4×12 ＝ 288 份
45 天长的草是 84－60＝24 份
1260÷15 ＝ 84 份
24÷15 ＝ 1.6 份 60 － 30×1.6 ＝ 12 份
第三块地面积是 24 亩，所以每天要长
1.6 ×24 ＝ 38.4 份，原有草就有 2
重生长的每天就要用 38.4 头牛去吃，其他的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃 80 天，所以 288÷80 ＝ 3.6 头牛
所以，一共需要 两种解法： 解法一：
设每头牛每天的吃草量为
/(45-30)=1.6 每亩原有草量为 =288 ， 24 亩 80 天新长草量为
解法二：
38.4 ＋ 3.6 ＝ 42 头牛来吃。
1 ，则每亩 30 天的总草量为： 10*30/5=60 ；
(84-60) 12*24
60-1.6*30=12 ，那么 24 亩原有草量为
24*1.6*80=3072 ， 24
每亩 45 天的总草量为： 28*45/15=84 那么每亩每天的重生长草量为
亩 80 天共有草量 307
2+288=3360 ，全部 3360/80=42( 头 )
10 头牛 30 天吃 5 亩可推出
30 头牛 30 天吃 15 亩，依据 28 头牛 45
天吃 15 亩，能够推出 15 亩每天新长草量 亩原有草量： 1260-24× 45=180 ；15 亩 80
(28 ×45-30 ×30)/(45-30)=24 ；15 天所需牛 180/80+24( 头 )24 亩需
牛： (180/80+24)*(24/15)=42
头
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