奥数公式

已知条件 公式适用范围 和差问题 几个数的和与差 和倍问题 差倍问题 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数 已知两个数的和，差，倍数关系 ①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数 和÷(倍数＋1)=小数 差÷(倍数-1)=小数 和－较小数=较大数 公式 ②(和＋差)÷2=较大数 和－小数=大数 较大数－差=较小数 小数＋差=大数 小数×倍数=大数 小数×倍数=大数 和－较大数=较小数 求出同一条件下的 关键问题 和与差 和与倍数 差与倍数

2 鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。

3 盈亏问题

基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于

分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．

基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．

基本题型：

①一次有余数，另一次不足；

基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

②当两次都有余数；

基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

③当两次都不足；

基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：确定对象总量和总的组数。

4 牛吃草问题

基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量。

基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

5 抽屉原理

抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1

观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:

①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=n/m个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算

6 数列求和

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；

项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．

基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；

通项＝首项＋（项数一1) ×公差；

数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；

数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；

项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1；

项数=（末项-首项）÷公差＋1；

公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；

公差=（末项－首项）÷（项数－1）；

关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

7 经济问题

利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；

卖价=成本×（1+利润的百分数）；

成本=卖价÷（1+利润的百分数）；

商品的定价按照期望的利润来确定；

定价=成本×（1+期望利润的百分数）；

本金：储蓄的金额；

利率：利息和本金的比；

利息=本金×利率×期数；

含税价格=不含税价格×（1+税率）；

8 浓度与配比

经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。

溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。

溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。

基本公式：溶液重量=溶质重量+溶剂重量；

溶质重量=溶液重量×浓度；

浓度=溶质/溶液 ×100%=溶质/（溶剂+溶质）×100%

理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。

经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

9 行程问题

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速-水速）×逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

主要方法：画线段图法

基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。

10 比和比例

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。

比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。

比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。

比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或a/b=c/d

比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。

正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。

反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。

比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。

11 完全平方数

完全平方数特征：

1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2. 除以3余0或余1；反之不成立。

3. 除以4余0或余1；反之不成立。

4. 约数个数为奇数；反之成立。

5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

12 数列求和

等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；

项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．

基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d；

通项＝首项＋（项数一1) ×公差；

数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；

数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；

项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1；

项数=（末项-首项）÷公差＋1；

公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；

公差=（末项－首项）÷（项数－1）；

关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；

13 植树问题

在直线或者不封在直线或者不封在直线或者不封闭闭的曲线上植封闭曲线基本类型 闭的曲线上植树，的曲线上植树，只有树，两端都不植上植树 两端都植树 一端植树 树 棵数=段数＋1 基本公式 棵距×段数=总长 棵距×段数=总长 棵距×段数=总长 关键问题 棵数=段数－1 棵数=段数 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系