2014中考数学模拟试题(新考点必考题型) (15)

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上． 1．﹣的倒数是（ ） A． 考点： 倒数． 分析： 乘积是1的两数互为倒数，结合选项进行判断即可． 解答： 解：﹣的倒数为﹣． 故选D． 点评： 本题考查了倒数的定义，属于基础题，注意掌握乘积是1的两数互为倒数． 2．下列计算正确的是（ ） 235224 A．B． （a）=a a+a=a B． C． ﹣ D． ﹣ 527C． a•a=a D． 2a﹣a=2 22考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 分析： 根据合并同类项的法则，幂的乘方的性质，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答： 解：A、应为a+a=2a，故本选项错误，正确； 236B、应为（a）=a，故本选项错误； 527C、a•a=a，故本选项正确； 222D、应为2a﹣a=a，故本选项错误． 故选C． 点评： 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键． 3．已知一组数据10，8，9，2，5，那么这组数据的极差是（ ） 1 2 5 8 A．B． C． D． 考点： 极差． 分析： 根据极差的定答，即用10减去2即可． 解答： 解：数据10，8，9，2，5的极差是10﹣2=8． 故选D． 点评： 本题考查了极差的知识，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 4．下面与是同类二次根式的是（ ） A．B． C． D． 2﹣1 考点： 同类二次根式． 专题： 常规题型． 222分析： 根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可． 解答： 解：A、与被开方数相同，是同类二次根式； B、=2，与被开方数相同，是同类二次根式； C、=与不是同类二次根式； D、2﹣1不是最简二次根式，故本选项错误． 故选A和B． 点评： 此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同．这样的二次根式叫做同类二次根式． 5．化简 A． 的结果是（ ） B． ﹣ C． D． 考点： 分式的加减法． 分析： 先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了． 解答： 解：原式=， ==． ， ∴A答案正确． 故选A． 点评： 本题考查了数学整体思想的运用，分式的通分和分式的约分的运用，解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用． 6．如果相切两圆的半径分别为2cm和3cm，那么两圆的圆心距是（ ） 1cm 5cm 3cm A．B． C． D． 1cm或5cm 考点： 圆与圆的位置关系． 分析： 已知两圆的半径，分两种情况：①当两圆外切时；②当两圆内切时；即可求得两圆的圆心距． 解答： 解：∵两圆半径分别为2cm和3cm ∴当两圆外切时，圆心距为2+3=5cm； 当两圆内切时，圆心距为3﹣2=1cm． 故选D． 点评： 本题考查了两圆相切的性质，以及两圆的半径与圆心距的关系，注意有两种情况．

7．二次函数y=﹣x+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ） A．（﹣1，1） B． （1，﹣1） C． （﹣1，﹣1） D． （1，1） 考点： 二次函数图象与系数的关系． 分析： 分析解析式与方程可知：x=1时可得到b+c的形式，再根据x=1时y的值进行求解． 解答： 解：∵当x=1时， 2∴y=﹣x+bx+c =﹣1+b+c 即b+c=y+1， 又∵b+c=0， ∴x=1时y=﹣1， 故它的图象一定过点（1，﹣1）． 故选B． 点评： 解决此题的关键是根据b+c=0的形式巧妙整理方程，运用技巧不但可以提高速度，还能提高准确率． 8．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到吴江儿童福利院看望孤儿．如果分给每位儿童4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位儿童5盒牛奶，那么最后一位儿童分不到5盒，但至少能有2盒．则这个儿童福利院的儿童最少有（ ） A．28人 B． 29人 C． 30人 D． 31人 考点： 一元一次不等式组的应用． 专题： 应用题． 分析： 首先设这个儿童福利院的儿童有x人，则有牛奶（4x+28）盒，根据关键语句“如果分给每位儿童5盒牛奶，那么最后一位儿童分得的牛奶不足5盒，但至少2盒”可得不等式组，解出不等式组后再找出符合条件的整数． 解答： 解：设这个儿童福利院的儿童有x人，则有牛奶（4x+28）盒， 依题意得：， 2

解得：28＜x≤31， ∵x为整数， ∴x最少为29， 即这个儿童福利院的儿童最少有29人． 故选B． 点评： 此题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出不等式组，难度一般． 9．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

15 A． 25 B． 55 C． 1225 D． 考点： 规律型：图形的变化类． 专题： 压轴题． 分析： 图1中求出1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即2；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n．然后把下列数分别代入，若解出的n是正整数，则说明符合条件就是所求． 解答： 解：根据题意得：三角形数的第n个图中点的个数为正方形数第n个图中点的个数为n， A、令=15，解得n1=5，n2=﹣6（不合题意，舍去）；再令n=15，n=±22； （不合题意，都舍去）；不符合条件，错误； B、令=25，解得n1=（都不合题意，舍去）；再令n=25，n=±5；2不符合条件，错误； C、显然55不是平方数，不符合条件，错误； D、令=1225，解得n1=49，n2=﹣50（不合题意，舍去）；再令n=1225，2n1=35，n2=﹣35（不合题意，舍去），符合条件，正确． 故选D． 点评： 主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力． 10．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD=90°且AB=3AD，DC⊥l4，则四边形ABCD的面积是（ ）

9 A． 14 B． C． D． 考点： 相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理． 分析： 首先延长DC交l5于点F，延长CD交l1于点E，作点B作BH⊥l1于点H，连接BD，易证得△BAH∽△ADE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AH，AE的长，由勾股定理求得AD与AB的长，然后由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，即可求得答案． 解答： 解：延长DC交l5于点F，延长CD交l1于点E，作点B作BH⊥l1于点H，连接BD， ∵DC⊥l4，l1∥l2∥l3∥l4∥l5， ∴DC⊥l1，DC⊥l5， ∴∠BHA=∠DEA=90°， ∴∠ABH+∠BAH=90°， ∵∠BAD=90°， ∴∠BAH+∠DAE=90°， ∴∠ABH=∠DAE， ∴△BAH∽△ADE， ∴==， ∵AB=3AD，BH=4，DE=1， ∴AE=，AH=3， ∴BF=HE=AH+AE=3+=， 在Rt△ADE中，AD=∴AB=3AD=5， ==， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB•AD+CD•BF=×5×+×2×故选D． =． 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填在答题卡相对应的位置上 11．函数

中，自变量x的取值范围是 x≥3 ．

考点： 函数自变量的取值范围． 分析： 根据二次根式有意义的条件是a≥0，即可求解． 解答： 解：根据题意得：x﹣3≥0， 解得：x≥3． 故答案是：x≥3． 点评： 本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12． 的平方根是 ±2 ．

考点： 算术平方根；平方根． 分析： 首先根据算术平方根的定义求出的值，再根据平方根的定义即可求解． 解答： 解：∵=4，4的平方根是±2， ∴的平方根是±2． 故答案为：±2． 点评： 此题主要考查了算术平方根和平方根的定义．本题容易出现的错误是把的平方根认为是16的平方根而得出±4的错误结果． 13．因式分解：x﹣2xy+y= （x﹣y） ． 考点： 因式分解-运用公式法． 专题： 计算题． 分析： 根据完全平方公式直接解答即可． 2解答： 解：原式=（x﹣y）． 2故答案为（x﹣y）． 点评： 本题考查了因式分解﹣﹣运用公式法，熟悉因式分解是解题的关键． 14．一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为 10cm ． 考点： 圆锥的计算． 专题： 计算题． 分析： 求出扇形的弧长，此弧长即为圆锥底面圆的周长，据此即可求出圆锥底面半径． 解答： 解：扇形弧长为=20πcm； =10cm． 2

2

2

设圆锥的底面圆半径为r，则r=故答案为：10cm． 点评： 本题考查了圆锥的计算，要明确，扇形的弧长即为其围成圆锥的底面圆周长． 15． 3+的整数部分是a，3﹣的小数部分是b，则a+b等于 6﹣ ．

考点： 估算无理数的大小． 分析： 先对估算出大小，从而求出3+的整数部分a，设3﹣的整数部分为m，则3﹣的小数部分b=3﹣﹣m，再将a、b的值代入，计算即可． 解答： 解：∵1＜＜2， ∴4＜3+＜5， ∴3+的整数部分a=4； ∵1＜＜2， ∴﹣2＜﹣＜﹣1， ∴1＜3﹣＜2， 设3﹣的整数部分为m，则m=1， ∴3﹣的小数部分b=3﹣﹣m=2﹣， ∴a+b=4+2﹣=6﹣． 故答案为6﹣． 点评： 本题主要考查了无理数大小的估算，能够正确估算出3﹣的大小是解决此题的关键． 16．如图，已知二次函数y1=ax+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A（﹣1，2）、B

2

（4，1）两点，则关于x的不等式ax+bx+c＞kx+m的解集是 x＜﹣1或x＞4 ．

2

考点： 二次函数与不等式（组）． 分析： 根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 解答： 解：∵两函数图象相交于A（﹣1，2）、B（4，1）两点， 2∴不等式ax+bx+c＞kx+m的解集是x＜﹣1或x＞4． 故答案为：x＜﹣1或x＞4． 点评： 本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想． 17．如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 4 km/h．

考点： 一次函数的应用． 专题： 压轴题． 分析： 根据图中信息找出甲，乙两人行驶的路程和时间，进而求出速度即可． 解答： 解：根据图象可得： ∵甲行驶距离为100千米时，行驶时间为5小时，乙行驶距离为80千米时，行驶时间为5小时， ∴甲的速度是：100÷5=20（千米/时）；乙的速度是：80÷5=16（千米/时）； 故这两人骑自行车的速度相差：20﹣16=4（千米/时）； 故答案为：4． 点评： 此题主要考查了一次函数的应用，根据已知得出甲乙行驶的路程与时间是解题关键． 18．如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴相交于点B（﹣3，0），C（1，0），与y轴相交于点4（0，﹣3），O为坐标原点．点M为y轴上的动点，当点M运动到使∠OMC+∠OAC=∠ABC时，AM的长度为 1或5 ．

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题． 分析： 在OA上截取ON=OC=1，分类讨论，①M在y轴上半轴上，②M在y轴下半轴上，利用外角的知识及∠OMC+∠OAC=∠ABC，证明△CAN∽△M1AC，△CNA∽△M2AC，继而可分别求出AM的长度． 解答： 解： 连接AB，AC， ∵OB=OA=3， ∴∠ABO=∠BAO=45°， 在OA上截取ON=OC=1，则∠ONC=∠OCN=45°， 在Rt△OAC中，AC==，在Rt△ONC中，NC==， ①当M在y轴上半轴上时，∠ONC=∠OAC+∠NAC=45°， ∵∠ABC=∠OMC+∠OAC=45°， ∴∠OMC=∠NAC， 又∵∠CAN=∠M1AC（同一个角）， ∴△CAN∽△M1AC， ∴=，即=， 解得：AM1=5． ②当M在y轴下半轴上时，∠ONC=∠OM2C+∠NCM2=45°， ∵∠ABC=∠OM2C+∠OAC=45°， ∴∠OAC=∠NCM2， 又∵∠CNA=∠M2NC（同一个角）， ∴△CNA∽△M2AC， ∴=，即=， 解得：NM2=1， 故AM2=OA﹣ON﹣NM2=1． 综上可得AM的长度为1或5． 故答案为：1或5． 点评： 本题考查了二次函数的综合，解答本题的关键是分类讨论点M的位置，利用相似三角形的性质：对应边成比例求出有关线段的长度，有一定难度． 三、解答题：本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔 19．计算：|﹣2|﹣（﹣2）﹣ 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 专题： 计算题． 分析： 预案技能书第一项利用负数的绝对值等于它的相反数计算，第二项利用负指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果． 解答： 解：原式=2﹣﹣1=． 点评： 此题考查了实数的运算，涉及的知识有：绝对值的代数意义，零指数、负指数幂法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 20．解方程： 考点： 换元法解分式方程． 专题： 计算题． 分析： 将看做一个整体，左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，求出方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． ﹣

﹣3=0．

﹣2

．

解答： 解：分解因式得：（可得：+1=0或+1）（+3=0， +3）=0， 解得：x=1或x=3， 经检验都是分式方程的解． 点评： 此题考查了换元法解分式方程，解题的关键是将 21．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b），其中a= 考点： 整式的混合运算—化简求值． 2

看做一个整体． ，b=．

专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 解答： 解：原式=a﹣b﹣a+2ab﹣b=2ab﹣2b， 2当a=，b=时，原式=2××﹣2×（）=2﹣4． 点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 22．关于x的一元二次方程（k﹣2）x﹣2（k﹣1）x+k+1=0有两个不同的实数根是xl和x2． （1）求k的取值范围；

（2）当k=﹣2时，求4x1+6x2的值． 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义；根与系数的关系． 专题： 计算题． 2分析： （1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣2≠0且△=4（k﹣1）﹣4（k﹣2）（k+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可； （2）先把k=﹣2代入原方程得到4x﹣6x+1=0，根据根与系数的关系得xl+x2=，xl•x2=，由于xl是原方程的解，则4x1﹣6x1+1=0，即4x1=6x1﹣1，所以4x1+6x2=6x1﹣1+6x2=6（x1+x2）﹣1，然后利用整体思想计算即可． 2解答： 解：（1）根据题意得k﹣2≠0且△=4（k﹣1）﹣4（k﹣2）（k+1）＞0， 解得k＜3且k≠0； （2）当k=﹣2时，方程变形为4x﹣6x+1=0，则xl+x2=，xl•x2=， ∵xl是原方程的解， 2∴4x1﹣6x1+1=0， 2∴4x1=6x1﹣1， ∴4x1+6x2=6x1﹣1+6x2=6（x1+x2）﹣1=6×﹣1=8． 22点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有2222222

2

22222实数根．也考查了一元二次方程的定义和根与系数的关系． 23．如图，△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥BC交AC于E，若AD：DB=4：5，AC=9．

（1）求DE的长．

（2）若∠ADE=∠EDC，求AD的长．

考点： 相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例． 分析： （1）根据平行线分线段成比例的知识求出AE，EC，然后判断ED=EC，即可得出答案； （2）证明△AED∽△ADC，利用对应边成比例的知识，可求出AD． 解答： 解：（1）∵DE∥BC， ∴==， 又∵AC=9， ∴AE=4，EC=5， ∵CD平分∠ACB交AB于D， ∴∠ACD=∠DCB， 又∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠DCB， ∴∠ACD=∠EDC， ∴DE=EC=5． （2）∵∠ADE=∠EDC，∠EDC=∠ACD， ∴∠ADE=∠ACD， ∴△AED∽△ADC， ∴=，即AD=AE×AC=4×9=36， 2∴AD=6． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质及相似三角形的性质：对应边成比例，难度一般． 24．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标． （1）写出点M坐标的所有可能的结果； （2）求点M在直线y=x上的概率．

考点： 列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征． 分析： （1）首先根据题意列出表格，然后根据表格即可求得点M坐标的所有可能的结果； （2）由点M在直线y=x上的有3种情况，利用概率公式求解，即可求得答案． 解答： 解：（1）列表得： 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3） 2 3 （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3） 则点M坐标的所有可能的结果有九个：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）． （2）∵点M在直线y=x上的有：（1，1）、（2，2）、（3，3）， ∴P（点M在直线y=x上）==． 点评： 此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．此题难度不大，注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 25．冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．吴江某居民小区有一

朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高为5米的小区超市，超市以上是居民住房，现计划在该楼前面24米处盖一栋新楼，已知吴江地区冬至正午的阳光与水平线夹角大约为30°．（参考数据在≈1.414，≈1.732）

（1）中午时，若要使得超市采光不受影响，则新楼的高度不能超过多少米？（结果保留整数）

（2）若新建的大楼高18米，则中午时，超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？

考点： 解直角三角形的应用． 分析： （1）连接AC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数表示出线段AB的长，然后保留整数即可求得楼高的范围． （2）首先过点E作BC平行线角AB与点F．在Rt△AFG中，利用正切函数求得GF的长，即为使得超市采光不受影响，两楼应至少相距的米数． 解答： 解：（1）连接AC，在Rt△ABC中， ∵tan30°=∴AB=24× =8=8×1.732=13.856 当楼高AB超过13.856时，光线照到C点的上方，超市采光受影响，又结果需要保留整数，所以楼高不超过13米； （2）设居民楼底与超市顶端交界点为E，过点E作BC平行线角AB与点F，设过新楼顶的光线交直线EF与点G，则AF=18﹣15=13， 在Rt△AFG中，FG==22.517， ∵FG＜FE=24 ∴超市以上的居民住房采光不受影响． 点评： 此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 26．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．

（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；

（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．

考点： 圆周角定理；勾股定理；垂径定理． 分析： （1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到． （2）求△ABC外接圆的面积，只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积． 解答： （1）证明：如图，设F为AD延长线上一点， ∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDF=∠ABC， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ADB=∠ACB， ∴∠ADB=∠CDF， ∵∠ADB=∠EDF（对顶角相等）， ∴∠EDF=∠CDF， 即AD的延长线平分∠CDE． （2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC， ∵AB=AC， ∴=， ∴AH⊥BC， ∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°， ∴∠COH=2∠OAC=30°， 设圆半径为r， 则OH=OC•cos30°=r， ∵△ABC中BC边上的高为1， ∴AH=OA+OH=r+r=1， 解得：r=2（2﹣）， ∴△ABC的外接圆的面积为：4π（2﹣）． 点评： 此题主要考查圆内接多边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的外接圆的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． 27．某班级到毕业时共结余经费1350元，班委会决定拿出不少于285元但不超过300元的资金布置毕业晚会会场，其余资金用于在毕业晚会上给43位同学每人购买一件纪念品，纪念品为文化衫或相册．已知每件文化衫比每本相册贵6元，用202元恰好可以买到3件文化衫和5本相册．

（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元；

（2）有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于布置毕业晚会会场的资金更充足？ 考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用． 分析： （1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即每件文化衫比每本相册贵6元，用202元恰好可以买到2件文件衫和5本相册．根据这两个等量关系可列出方程组． （2）本题存在两个不等量关系，即设购买文化衫a件，购买相册（43﹣a）本，则1050≤29a+23（43﹣a）≤1065，根据a为正整数，解出不等式再进行比较即可． 解答： 解：（1）设每件文化衫和每本相册的价格分别为x元和y元， 则， 解得：． 答：每件文化衫和每本相册的价格分别为29元和23元． （2）设购买文化衫a件，购买相册（43﹣a）本，且某班级到毕业时共结余经费1350元，班委会决定拿出不少于285元但不超过300元的资金布置毕业晚会会场， 则：1050≤29a+23（43﹣a）≤1065， 解得≤a≤， 因为t为正整数，所以a=11，12，即有2种方案： 第一种方案：购买文化衫11件，相册32本； 第二种方案：购买文化衫12件，相册31本； 因为文化衫比相册贵， 所以第一种方案布置毕业晚会会场的资金更充足． 点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，利用不等式解决，另外要注意，同实际相联系的题目，需考虑字母的实际意义，从而确定具体的取值．再进行比较即可知道方案用于布置毕业晚会会场的资金更充足． 28．如图所示，点B坐标为（18，0），点A坐标为（18，6），动点P从点O开始沿OB以每秒3个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒1个单位长度的速度向点A移动．如果P、Q分别从O、B同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0＜t≤6），那么，

（1）当t= 3或5.4 时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似；

（2）若设四边形OPQA的面积为y，试写出y与t的函数关系式，并求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小？

（3）在y轴上是否存在点E，使点P、Q在移动过程中，以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积是一个常数，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 相似形综合题． 分析： （1）讨论：当∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，由相似三角形：Rt△QPB∽Rt△AOB，的对应边成比例求得t=3；当∠BPQ=∠A，则Rt△BPQ∽Rt△BAO，由相似三角形的对应边成比例知=，即=，即可得到t=5.4； （2）利用y=S△OAB﹣S△BPQ=×18×6﹣×（18﹣3t）t，然后利用配方法求得该二次函数的最值，即求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小； （3）当点E在y轴正半轴时，利用以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积=梯形BQEO的面积﹣△OPE的面积，用t与m表示出来为（t+m）×18﹣×3t×m=（9﹣m）t+9m，当t的系数为0时即可得到m的值； 当点E在y轴负半轴时，S=S△EPB+S△PBQ=（18﹣3t）（﹣m）﹣（18﹣3t）t=﹣t+mt+9t﹣9m．此时不存在m的值，使S的值为常数． 解答： 解：∵点B坐标为（18，0），点A坐标为（18，6）， ∴BO=18，AB=6，AB⊥0B． （1）当∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，Rt△QPB∽Rt△AOB， 则=，即=， 2解得t=3； 当∠BPQ=∠A，则Rt△BPQ∽Rt△BAO， ∴=，即=， ∴t=5.4． 所以当t=3秒或5.4秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB相似． （2）y=S△OAB﹣S△BPQ=×18×6﹣×（18﹣3t）t=（t﹣3）+则当t=3，四边形OPQA的面积最小； （3）存在．理由如下： 设以B、Q、E、P为顶点的四边形面积是S，E（0，m）． ①如图1，当E在y轴的正半轴上时，则 S=S梯形BQEO﹣S△OPE=（t+m）×18﹣×3t×m=（9﹣m）t+9m． 故当9﹣m=0，即m=6时，S=是一个定值； ②如图2，当点E在y轴的正半轴上时，则S=S△EPB+S△PBQ=（18﹣3t）（﹣m）﹣（18﹣3t）t=﹣t+mt+9t﹣9m． 此时不存在m的值，使S的值为常数． 综上所述，点E的坐标（0，6）使点P、Q在移动过程中，以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积是一个常数． 故答案为：3或5.4． 22，即y=（t﹣3）+2． 点评： 本题考查了三角形相似的判定与性质：两组对应角相等的三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了分类讨论思想的运用以及三角形的面积公式． 29．如图，直线y=kx+b交x轴于点A（﹣1，0），交y轴于点B（0，4），过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C．

（1）直线的解析式为 y=4x+4 ；

（2）在该抛物线的对称轴上有一点动P，连接PA、PB，若测得PA+PB的最小值为5，求此抛物线的解析式及点P的坐标；

（3）在（2）条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）将点A、B的坐标代入直线解析式，求出k、b的值，继而得出直线的解析式； （2）连接BC，则BC与对称轴的交点即是P点的位置，根据PA+PB的最小值为5，可求出OC，利用待定系数法可求出抛物线解析式，直线BC解析式，也可得出点P的坐标； （3）设存在这样的点Q，其坐标为（1，y），然后分三种情况讨论，①QA=QB，②BA=BQ，③AB=AQ，分别求出y的值后即可得出点Q坐标． 解答： 解：（1）将点A（﹣1，0），点B（0，4）代入直线y=kx+b得：， 解得：， 故直线解析式为y=4x+4． （2）∵点A、点C关于抛物线的对称轴对称，故PA+PB的最小值为线段BC的长， ∴BC=5， 在Rt△BOC中，BC=5，BO=4， ∴OC==3，即点C的坐标为（3，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 将点B（0，4）代入得：a=﹣， ∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x+x+4． 设直线BC的解析式为y=mx+n， 将点B（0，4），点C（3，0）代入可得：， 2解得：， 故直线BC的解析式为：y=﹣x+4， 又∵抛物线的对称轴为x=1， ∴点P的坐标为（1，）． （3）存在这样的点Q，使△ABQ为等腰三角形． 设Q（1，y）， 2222①当QA=QB时，则有1+（y﹣4）=（﹣1﹣1）+y， 解得：y=，即Q（1，）； ②当BA=BQ时，易知Q（1，0），Q（1，8）（不合题意，舍去）； ③当AB=AQ时，Q（1，）或Q（1，﹣）． 所以满足条件的Q有四个：Q（1，），Q（1，0），Q（1，）或Q（1，﹣）． 点评： 本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求一次函数解析式、轴对称求最短路径及等腰三角形的知识，难点在第三问，解答本题的关键是分类讨论，不要漏解．