摘要：曲而坐标系中散度与旋度在物理学中有着广泛的应用。特别在流体力学、电磁学、电 动力学等学科，它们主要是解决矢量场相关问题有力的数学工具，对我们学好物理学有很大 帮助。本文应用了散度、旋度的一般左义，导岀了三维曲面标系柱面及球而坐标系中散度与 旋度的解析式，并分别分析了英各自的物理意义。最后对柱而及球而坐标系中的散度、旋度 在电场、磁场等矢量场中的应用进行了举例讨论。这对学习场论中的散度与旋度更易于能加 深理解。 关键词：散度 旋度 物理应用 矢量场 0引言：
场论不仅仅是数学分析领域中的基础理论，而且在其他学科中都有广泛的应用。在物理 学中，自从法拉第引入了场以来，它即成为一个基本概念.从经典的引力场、电磁场发展到规范 场、量子场与意念场等各种场，甚至被应用到了经济、军事、社会等方方而而.
梯度、散度、旋度是矢量场中的精髓,这三个“度”从不同角度对于场的局部特征进行 了深刻描述，弄清楚描述场的各个量及其彼此的相互关系，对分析任何物理场，都有极其重要 的意义。
矢量场的散度和旋度是两个重要数学概念，它们通过表示场源与场的关系，因此能够确 龙所研究的矢量场，因此散度与旋度是研究矢量场的重要的数学工具，必须深刻理解其泄义 的内涵，才能对电磁场理论有深刻认识。研究柱而坐标系和球面坐标系中散度、旋度的表达 式在电磁场理论中的应用有着非常重要的现实意义⑴5】。
1散度、旋度的精确定义及意义 1.1散度divergence的迫义及物理意义 1.1.1散度divergence的定义
矢量场2通过曲而£的通量仇可用下列的面积分得出⑹：
04 = JJ* A •
(S)
(S)
= || ACOSGLIS
,
式中&为2与而元亦的法线五之间夹角，dS = nds o
令f为一闭合曲而，它的体积记为AV,当£面逐渐缩小到空间一点P.用仇代表矢量 场2在闭合而〈上的通量：
0A
即
<5)
W
当△WTO时，加趋于0.假如两者之比表示为一个极限，则这极限值为矢量场瓜在P 点的散度，记作div A或
(^AdS
V A= lim 血=lim -------------- --------
矢量场的散度divergenc是个标量场。 1.1.2散度divergenc的物理意义
研究对象以不可压缩流体为例，当流速为兀的不可压缩流体，经过封闭曲而£的流量 是
胪•廳。
3
利用散度的左义表明（M°）是流量对体积V的变化率，记它为広在点M（）的流 量密度。若▽•彳（MJ〉0,说明在每一单位时间内一左数屋的流体从这一点流出，则称 这一点为源。相反，若（M。）<0,说明流体在这一点被流入，则称这一点为汇。若 在向量场2中每一点全有▽•彳二0,记2为无源场。 1.2旋度的泄义及物理意义 1.2.1 旋度 cylindrical 的定义
矢量场2沿闭合回路的线积分叫做环量，用r\\表示环量，则有⑺：
jA-dT 习 ”=lim 冥= Iim 七厂 A* AO Av->0 iAo 矢量场的旋度cylindrical也是个矢呈:场。 1.2.2旋度cylindrical的物理意义 一刚体以角速度帀绕某轴旋转，角速度用的方向沿着旋转轴，英指向与旋转方向的关 系符合右手法则，即右手拇指指向角速度矗的方向，英他四指指向旋转方向。若取;g旋转 轴上一点O作为原点，刚体上任意一点P的线速度v能表示为v = wxr，其中r = op是P 的径向呈:。设P的坐标为（兀沙,乙），便有7 = （x,y,z），又设0=（“；.,、叫」亿）。于是 v =（忖 一 wzy,wzx-wxz,wxy-wyx）t 所以 rotv =（2vvv,2wv,2w.）= 2w 或 w= \\/2rotv 该式表明线速度向量0的旋度除去一个常数因子1/2外，就是旋转的角速度向量可见。 的旋度与证成正比，这同时道岀了旋度这个名称的来源。 2曲面坐标系-一-柱面及球而坐标系中的散度和旋度的推导 柱而及球面坐标系中的散度与族度的推导有方法颇多，采用传统方法就是通过它的积分 形式，利用微元法或高斯公式计算积分而导岀的2儿此方法的优点是比较直观。本文应用 哈密顿算子的若干性质给出散度及旋度更严密的数学推导。 2.1哈密顿算子的几个公式 VxVF=0 V-(F^)= VF J + FV-ii (1) (2) (3) (4) \\7x(Fa) = VF xa + FVxa V(^x^)=(Vx^) ^-(Vx^).« 2.2柱而及球面坐标系中的梯度 设正交曲线坐标为W1，W2,W3,垂直于坐标而=常数的弧元为 dsx = h}du^ds2 = h2du2,ds3 = h3clu^其中九是u{ulyu3的函数，称为拉梅系数。 给楚数量场戶（绚 “2,\"3 ），则它的梯度为 —- OF — 6F — OF t Vr = W] -------------- €2 丘3 hAduA h2du2 hyduy 其中:为三族正交世面上的单位切矢量。 在梯度公式中，令尸（绚上2山3）= %，即得推论： 2.3主要引理 引理1 —=vx(vW1)=o 证：应用推论及公式（1）,有 Vx 引理2 hjj 证：应用公式（4）及引理1,有 Z —> \\ C —> =V・ e 2 /z2 e 3 =▽ x ©2 < y &3 “3 —▽ X 住3 、 兀3 c —> “2 =6_6=0 tf 2.4柱而犁而睜系中卫勺散度 设方=绚：+ “2；2 + ©：3,为了利用上述一些结果，我们将&改写为 ——> —> ——> N = （/22/?3^1）7V- + （力彳也色）7^— + （力冲/佝）产- h2h3 /?3/?I /?j /?2 于是利用哈密顿算子的线性、公式（2）.引理2及梯度公式，得 \"• ■ —> f (hJh© ) J + ▽• Mi + ▽• T T T =▽(/丛“ )• ~rr+▽(钉也2 )•占-+卡 h2h3 hJhhAh2d(hAh2a3)e3 e3 duy h3 h}h2 -二_L. + du} h} + hh^d(h,h}a2)e2 du^ 23 -•-—— +・・・ 0(/啟口)* 6(側心)| 弟”W3) 砧小3 L 6U\\ Oil2 Oily 直角坐标系中，hx = h2 = /?3 = 1 ： (Is、= dxy ds2 = dy, ds3 = d乙, —一 da. 6a、 g 所以 = — + ——+ —; dx dy dz 柱面坐标系中,hr = \\,hd = r,/?. = 1 ： dsr = dr.dse = rdds, = dz , ▽沽=丄 迷心+丄些+匹 所以 r dr r dO dz ； 球面坐标系中，hr = \\Ji0=rJi 1 6(sin 矶) dr rs\\nO dO 所以 2.5 柱而犁而睜系中』勺旋度 设ci = a} e\\ + a2 e2 + a3 ,为了汁算它的旋度，把&改写为 =（恥1）才+ （力2“2 ）才+ （尽 他）才 于是利用公式（3）,引理1及梯度公式，得 Vxfl =Vx +Vx (/hajil + Vx (h3a3 )— 十 --- rsin^ d(p o 云 h\\ …力2 抵 卫心严（T严（T# • —F ------------------- : --------- -- + 処Q空+迤述色X£L dit2 h2 du3 h3 d(b2a2) e3 e2 ------------ x — dUh2 3 fh 8（〃心）勺| 6（念如） 02 dux 力］ du2 h2 0（%3） 6(心2) T 1 3（也） 6（也） e+ 1 6（也） ■ 咖勺） du2 6# 3 勺+ ---- 如 du{ du2 肩凉业3 1 d o d hjijb ou{ du2 6ig hg /i2a2 h3a3 直角坐标系中:Aj =h2 = /i3 = 1 ： 所以 ds、= dx, ds= = dy, ds、= dz.: 柱面坐标系中：hr = \\.hd =r.hz =1 ； dsr = dr,ds0 = rdd.dsz = dz.: 所以 4 d d(p 球面坐标系中: hr = lJs = rJ° = rsine； Vxa = 所以 r2sin^ 1 J d dr Cldsr = dr.dse = rd0. dsp = rsin Od(p: rsin Ge (? d_ d(p rsin Oct. 0 3散度和旋度在物理上的应用 r 物理上散度和旋度应用相当广泛|2国，而以球坐标系和柱坐标系中的散度和旋度应用 的地方最多，由以下几例说明这一点。 例1 均匀分布于半径为。的无穷长直导线，电流为/,求空间各点的磁场强度，并由此计 算磁场的旋度。⑻ 解：作一半径为，•的圆，使其垂直于导线，且圆心在导线轴上。由对称性可知，任圆 周上的各点的磁感应强度的数值相等，并且沿着圆周的环绕方向， 当r>a时，通过圆内的总电流为/,由安培环路定律得 • dl = 2m'B = p(J 因而B = //0Z/2^-,在柱坐标系中写成矢 量式为 B = ^-e(r>ci) 2 岔八 7 式中吊为圆周环绕方向单位矢量。 若r<«,则通过圆内的总电流为 7 1 i TrrJ = 7D\"―=— 加-a 应用安培环路怎律得 7 j 彳”・ d： = 2mB = 因而 用柱坐标的公式求△的旋度, 当 r>a 时，得 VxB = -—（rB.k = 0（r > a）