专题26 奇偶分析

专题26 奇偶分析

阅读与思考

整数可以分为奇数和偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，因此奇偶性是一个整数的固有属性，即奇数≠偶数．

由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析．

运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质：

1.奇数≠偶数.

2.奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和是偶数.

3.若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数.

4.若a是整数，则a与a，a，an（n为自然数）有相同的奇偶性. 5.设a，b是整数，则ab，ab，ab，ab都有相同的奇偶数. 6.偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是4的倍数加1.

例题与求解

【例1】 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列规律是：前两个数是1，从第三个数开始，每一个数是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2 004个数中共有____个偶数．

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律.

【例2】 如果a，b，c都是正整数，且a，b是奇数，则3a(b1)2c是( ). A．只当c为奇数时，其值为奇数 B．只当c为偶数时，其值为奇数 C．只当c为3的倍数时，其值为奇数

D．无论c为任意正整数时，其值均为奇数

（五城市联赛试题）

解题思路：直接运用奇数偶数的性质作出选择．

【例3】 能否找到自然数a和b，使a22002b2.

（“华罗庚金杯”邀请赛试题）

解题思路：假设存在自然数a和b，使等式成立，则(ab)(ab)2002，从ab，ab的奇偶性展开推理．

【例4】 在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意写上1~6这6个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的.

（北京市竞赛试题） 解题思路：从反面入手，即设这6个数两两都不相等，利用aibi与aibici=1，2，3，4，5，6的奇偶性相同，引入字母进行推理证明.

【例5】 表甲是一个英文字母电子显示盘，每一次操作可以使某一行4个字母同时改变，或者使某一列4个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母（即A变成B，B变成C…最后字母Z变成A）.问：能否经过若干次操作，使表甲变成表乙？如果能，请写出变化过程，如不能，说明理由.

S O B R K B D S T Z E P H E X G H O C N R T B S A D V X C F Y A

表甲 表乙

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：表甲与表乙看上去没有规律，似乎不太容易将表甲变为表乙（可以试一试），看是否能成功？如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数字化”，挖掘操作变化过程中的不变量或不变性.

【例6】 设x1，x2，…xn为＋1或－1，并且x1x2x3x4x2x3x4x5x3x4x5x6xn3xn2xn1xn

xn2xn1xnx1xn1xnx1x2xnx1x2x30.证明n能被4整除.

解题思路：应用整数的奇偶性解题，常需变化角度去考察问题，从而化难为易．

能力训练

1．若按奇偶分类，则11223320112011是______数.

2．已知a是质数，b是奇数，且a2b2001，则ab_______.

（江苏省竞赛试题）

3．若质数m，n满足5m7n129，则mn的值为____________.

（河北省竞赛试题）

4．在12，22，32，…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____________个.

（全国初中数学联赛试题）

5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么，满足要求的排法有( )种.

A.2 B.3 C.4 D.5 6．设a，b为整数，给出下列四个结论 （1）若a5b是偶数，则a3b是偶数 （2）若a5b是偶数，则a3b是奇数 （3）若a5b是奇数，则a3b是偶数 （4）若a5b是奇数，则a3b是奇数 其中正确结论的个数是 ( )．

A.0 B.2 C.4 D.1或3

（“五羊杯”竞赛试题）

abbcca，，( )． 222 A.都不是整数 B.至少有两个是整数 C.至少有一个是整数 D.都是正数

（“T1杯”全国竞赛试题）

8．将1 000到1 997这998个自然数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和，在这些和中，奇数的个数至多有( )．

A.499个 B.496个 C.996个 D.995个

7．如果a，b，c是三个任意整数，那么

9．设a1，a2，…a12，3，…，1999的一个排列，求证：(a11)(a22)(a19991999)999是1，为偶数.

10．在黑板上记上数1，2，3，…，1 974，允许擦去任意两个数，且写上它们的和或差.重复这样的操作手续，直至在黑板上留下一个数为止.求证：这个数不可能为零．

（数学奥林匹克竞赛试题）

11．你能找到三个整数a，b，c，使得关系式(abc)(abc)(abc)(bca)3388成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由.

（“希望杯”邀请赛试题）

12．设标有A，B，C，D，E，F，G记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关.现在A，C，E，G四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，即又从A到G，…，他这样拉动了1 999次开关后，问哪几盏是开的？