直角三角形的判定及反证法(基础)知识讲解

直角三角形的判定及反证法（基础）

责编：杜少波

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用, 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

2. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围. 3. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】

【高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点】 要点一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a，b，c，满足abc，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角

三角形.

要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1） 首先确定最大边（如c）.

（2） 验证c与ab是否具有相等关系.若cab，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若

222222222c2a2b2，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：当abc时，此三角形为钝角三角形；当abc时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 要点三、勾股数

满足不定方程xyz的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以

222222222x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

，2n，n1（n1,n是自然数）是直角三角形的三条边长； 要点诠释：（1）n1 （2）2n2n,2n1,2n2n1（n是自然数）是直角三角形的三条边长； （3）mn,mn,2mn （mn,m、n是自然数）是直角三角形的三条边长； 要点四、反证法

反证法定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或者已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.

要点诠释：反证法也称归谬法，是一种重要的数学证明方法，而且有些命题只能用它去证明．一般证明步骤如下：

（1） 假定命题的结论不成立；

（2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾； （3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的；

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（4） 肯定原来命题的结论是正确的． 【典型例题】

类型一、勾股定理的逆定理

1、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形． （1）a＝7，b＝24，c＝25； （2）a＝

43，b＝1，c＝； 342222（3）amn，bmn，c2mn(mn0)；

【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平

方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形． 【答案与解析】

解：（1）∵ ab724625，c25625，

∴ abc．

∴ 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．

2222222229253416 （2）∵ abc，b2c2121，a2， 4161639∴ bca．

∴ 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形．

（3）∵ mn0，

∴ mn2mn，mnmn．

∵ac(mn)(2mn)m2mnn4mnm2mnn，

222222422422422422222222222b2(m2n2)2m42m2n2n4，

∴ acb．

∴ 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．

【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证c与ab是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形． 举一反三：

【变式1】判断以线段a，b，c为边的△ABC是不是直角三角形，其中a【答案】

解：由于acb，因此a为最大边，只需看a是否等于bc即可．

222222222∵ a(7)7，b(3)3，c24，∴ abc，

2222227，b3，c2．

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∴ 以线段a，b，c为边能构成以a为斜边的直角三角形．

【变式2】下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③1，2，4；④5，6，8．其中可以为直角三角形三边长的有 ．（把所有你认为正确的序号都写上） 【答案】①②；

解：①∵5+12=13，能构成直角三角形；

222

②7+24=25，能构成直角三角形； 222

③1+2≠4，不能构成直角三角形； 222

④5+6≠8，不能构成直角三角形． 所以①②．

故答案为：①②．

2、（2016春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，∠B＝∠90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．

2

2

2

【思路点拨】由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，应想到连接AC，则在Rt△ABC中即可求出△ABC的面积，也可求出线段AC的长．所以在△ACD中，已知AC，AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积． 【答案与解析】

解：连接AC，在△ABC中，

因为∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，

所以AC2AB2BC2324291625，所以AC＝5， 在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，

所以DC2AC25212225144169132AD2， 即DC2AC2AD2．

所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°． 所以S四边形ABCDS△ABCS△ACD12ABBC1AC2DC

113451263036． 22

【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，本题是勾股定理及逆定理的综合考察．

举一反三：

【变式】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点，试判断

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EC与EB的位置关系，并写出推理过程．

【答案】 解：EC⊥EB．

过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD是矩形，

在Rt△BCF中，可得CF＝22． 则AD＝CF＝22，故DE＝AE＝在Rt△ABE和Rt△DCE中，

1AD＝2． 2EB2AE2AB26，EC2DE2CD23．

∴ EBEC9．

∵ BC＝3，∴ EBECBC． ∴ ∠CEB＝90°，∴ EB⊥EC． 类型二、勾股定理逆定理的实际应用

3、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

【思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了． 【答案与解析】

解：根据题意可画出上图，

22222

PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30， 在△PQR中，

PQ2PR2242182576324900，

∴ PQPRQR．

∴ △PQR是直角三角形且∠RPQ＝90°．

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又∵ “远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°， ∴ ∠RPN＝45°．

由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．

【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90°，这里需注意与东北方向成90°角的有两个方向，即西北方向或东南方向． 类型三、反证法

4、用反证法证明：已知△ABC中不能有两个钝角．

【思路点拨】假设△ABC中能有两个钝角，与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确． 【答案与解析】

证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°； ∴ ∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾； ∴ 假设不成立，因此原命题正确； 即△ABC中不能有两个钝角．

【总结升华】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 举一反三：

2

【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）. A . a= —2 B . a= —1 C . a=1 D. a=2 【答案】A．

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