幂函数、反函数与函数的性质

教学内容与教学目标：

1．教学内容：

(1) 根式、分数指数幂的概念及运算性质． (2) 幂函数的定义、图像和性质．

(3) 函数的单调性(增函数、减函数、单调区间)的概念．

(4) 函数的奇偶性(奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数)的概念． (5) 反函数的概念、互为反函数的函数图像间的关系．

2．教学目标：

(1) 了解根式的概念，理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确地进行各种指数运算．

(2) 掌握幂函数的概念、图像和性质，并能运用这些知识解有关问题．

(3) 理解增函数，减函数的概念，掌握判断某些函数在给定区间上的单调性的方法，会求一些函数的单调区间．

(4) 理解奇函数、偶函数的概念，掌握判断某些函数的奇偶性的方法，并能利用奇函数、偶函数的图像特点简化描绘函数图像的过程．

(5) 理解反函数的概念，会求某些简单函数的反函数，理解互为反函数的函数图像之间的关系．

(6) 在解题和证题过程中，通过运用有关的概念和函数的性质；培养学生的逻辑思维能力和运算能力；通过揭示互为反函数的两个函数之间的内在联系，培养学生的辩证唯物主义观点；通过正确理解概念、准确进行计算、严格推理过程、认真进行画图，培养学生严谨、踏实的学习态度． 教学工具：多媒体课件 教学重点和难点：

1．分数指数幂与根式这小节的重点是分数指数幂的概念和分数指数幂的运算性质．难点是根式的概念和分数指数幂的概念．

2．幂函数的图象与性质既是重点又是难点．

3．函数的单调性的重点是函数的单调性的有关概念，难点是利用这些概念证明或判断

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函数的单调性．

4．函数的奇偶性的重点是函数的奇偶性的有关概念及奇函数、偶函数的图象的特点．难点是利用这些概念证明或判断函数的奇偶性．

5．反函数的重点是反函数的概念，难点也是反函数的概念及求法．

6．互为反函数的函数图象间的关系的重点是定理的应用，难点是定理的证明． 知识系统及其结构：

方根的概念根式根式的性质 分数指数幂与根式分指数幂的概念分指数幂分指数幂的运算性质幂函数的概念幂函数幂函数的定义域、值域由指数确定

幂函数的图象与性质增函数的定义与判定函数的单调性减函数的定义与判定函数的单调区间函数的性质 奇函数的定义与判定函数的奇偶性偶函数的定义与判定奇函数、偶函数的图象特征反函数的概念反函数求反函数的方法

互为反函数的图象间的关系基本概念及相关知识点：

1、根式、根指数、被开方数：式子

开方数． 2、分数指数幂：

（1）正数的正分数指数幂amnnna叫根式，这里n叫做根指数，a叫做被

am（a>0，m，n∈N*，且n>1）；

（2）正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿

amn1amn（a>0，m，n∈N*，且n>1）；

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（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数批数幂没有意义． 3、有理指数幂运算性质：对于任意有理数r，s，

（1）、aras＝ar+s（a＞0，s∈Q） （2）、（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q） （3）、（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r∈Q）．

4、a的n次方根：一般地，如果一个数的n次方等于a（n>1，且n∈N），那么这个数叫做a的n次方根．

5、幂函数：形如y＝xa的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数． 6、幂函数的性质：

a＝0时有常数函数y＝1(x≠0)，它的图象是除去点(0,1)，平行于x轴且在x轴上方1个单位的一条直线．

a＞0时，幂函数有下列性质： （1）图象都通过两点(0,0)、（1,1）； （2）在区间(0,＋∞)上是增函数． a＜0幂函数有下列性质： （1）图象都通过一点(1,1)； （2）在区间(0,＋ ∞)上是减函数；

（3）在第一象限图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。 7、幂函数的指数与图象：记a可进一步分类表述如下：

单a p/q 定义域 值域 调性 奇偶性 图像概貌 pa，其中整数p与q互质，幂函数y=x的性质随a不同q

（1，） 奇/偶 x≥0 y≥0 ↗ 无 第3页 共13页

（1，） 奇/奇 x∈R y∈R ↗ 奇 ↘（1，） 偶/奇 x∈R y≥0 ↗ 偶 （0，1） 奇/偶 x≥0 y≥0 ↗ 无 （0，1） 奇/奇 x∈R y∈R ↗ 奇 ↘（0，1） 偶/奇 x∈R y≥0 ↗ 偶 （，0） 奇/偶 x>0 y>0 ↘ 无 （，0） 奇/奇 x≠0 y≠0 ↘ 奇 第4页 共13页

↗（，0） 偶/奇 x≠0 y>0 ↘ 8、增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x19、减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量值x1，x2,当x1＜x2时，都有f（x1）＞f(x2)，那么就说，f（x）在这个区间上是减函数．

10、函数的单调性、单调区间：如果函数y＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间． 11、奇函数及其图象：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝ －f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数．奇函数的图像关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．

12、偶函数及其图象：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝ f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴对称；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

13、函数的奇偶性与判断：如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f（x）具有奇偶性．若f(x)对其定义域内任一x都有f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数；若f(x)对其定义域内任一x都有f(－x)－f(x)＝0，则函数f(x)是偶函数．

14、函数的奇偶表示：若函数f(x)的定义域同时含有x与－x，则f(x)就可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和：f(x)＝

偶 11[f(x)－f(－x)]＋ [f(x)＋f(－x)] 2215、反函数：一般地，函数y＝f（x）（x∈A）中，设它的值域为C．根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过x＝（y），x在A中都有唯一的值它对应，那么，x＝（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数．这样的函数x＝（y）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作x＝f1（y）．在函

－

数x＝f1（y）中，y是自变量，x表示函数．在习惯上一般用x表示自变量，用y表示函数，

－

把它改写成y＝f1（x）．

－

函数y＝f（x） 反函数y＝f1（x） －第5页 共13页

定义域 值域 A C C A 16、互为反函数的函数图象间的关系：

函数y=f（x）的图象和它的反函数y= f1（x）的图象关于直线y＝x对称．

－

17、函数作图的问题：函数作图最基本的手段是描点法．由于取点的数目有限，如果点的位置取得不适当，就不能描出反映函数特征的图象．结合考察函数性质、类别，按照函数图象特征取点描图，这种特征作图法，通常可以比较准确的画出某些函数的图象． ．．．．．

（1）已知函数具有奇偶性或周期性时，可以先作部分函数图象，而后作奇偶延拓或周期延拓；已知函数有反函数时，可利用反函数图象，作出它的关于直线y＝x的轴对称图形，即为所求函数的图象．

（2）求作y＝f(x)的图象，先作出函数y＝f(x)的图象，再根据绝对值的性质，把下半平面的图形对称于x轴翻到上半平面即得y＝f(x)的图象；对含有绝对值项的函数，可根据绝对值性质，去绝对值后化为后分段函数，再分段作图．

（3）形如y＝f(x－2)＋3的函数的图象，可由函数y＝f(x)的图象向右平移2单位，向上平移3单位得到；形如y＝f(x＋1)－4的函数图象，可由函数y＝f(x)的图象向左平移1单位，向下平移4单位得到．形如y＝2f(3x)的函数图象，可通过将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的

11x，纵坐标变为原来的2倍，即对图形作一种伸缩变换得到；形如y＝f()

233的函数图象，则可通过将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的

1，即对图形作另一种伸缩变换得到．这样将函数y＝f(x)的图象作不同方向不同幅度2的平移或伸缩，就可以得到不同的函数图象．平移或伸缩这些仿射变换，在三角函数作图中用得很多，在其它函数作图中也经常采用． 概念辨析：

1．根式与分数指数幂 (1) 根式的概念与性质

① 定义：若xn=a (n∈N，n>1)，则称x为a的n次方根，当n为奇数时，用符号“na”(a∈R)表示a的n次方根；当n为偶数时，用符号“na”(a≥0)表示a的n次方根．

② 性质：ⅰ．(na)n=a (n∈N且n>1)；

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a，当n为奇数nnⅱ．a aa0aaa0当n为偶数(2) 分数指数幂的意义：

① 规定正数的正分数指数幂的意义是：

amnnam(a>0，m、n∈N，且n>1)．

② 规定正数的负分数指数幂的意义是：

amn1amn1nam(a>0，m、n∈N，且n>1)．

③ 零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义．

注：①在分数指数幂中，要特别注意a>0的规定．对a∈R，下面的运算是错误的：

a2a．②整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，因此整数指数幂的运算

性质对于有理指数幂同样适用．③若a>0，是一个无理数，则a表示一个确定的实数(中学教材里不研究这样的情况)，有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用．

2．幂函数

(1) 幂函数的概念：函数y=x(是常数)叫做幂函数(中学只研究是有理数n的情形)． ① 定义域和值域，根据指数n的取值来确定，没必要去死记； ② x的系数为1；

③ 除x一项外，别无其它项． (2) 幂函数的图象： 对幂函数y=xn(设n

p

，p、q∈Z，且p、q互质)的图象，主要从如下几个方面识别： q

① 从函数的定义域和值域，看图象所分布的象限； ② 从p、q的奇偶性，看图象的对称性； ③ 从n的正负看曲线的性质：

i．当n>0时，曲线过原点，呈现为“抛物线”型的弧，在第一象限呈上升的状况； ii．当n<0时，曲线不过原点，呈“双曲线”型，与坐标轴不相交，且在第一象限

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呈现下降趋势． 设幂函数为yx，其中

pqppp为既约分数，且p≠q，当为整数时，则视q=1．若按qqq的大小分类，可分三类：①

ppp>1，②0<<1，③<0．若按p、q的奇偶性分类，也可分qqqpq三类：①p奇q奇，②p偶q奇，③p奇q偶．于是幂函数yx的各类图象的简图可列表如下：

按奇偶分p为奇数 类 q为奇数 按大小分类 yp为偶数 q为奇数 yp为奇数 q为偶数 yp>1 qOxOxOx y yy0奇函数 ①幂函数的图像经过定点；②函数值y随自变量x变化而变化．幂函数y=xn的性质如下表：

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n>0时 ①图象通过点(0，0)，(1，1) n<0时 ①图象通过点(1，1) ②在第一象限内，函数值随x值的增大而②在第一象限内，函数值随x的增大而减增大 小 ③在第一象限内，当n>1时；图象是上凹③在第一象限内，图象向右与x轴无限地的，当03．函数的单调性

(1) 增函数、减函数、单调性、单调区间的概念． 设函数y=f (x)的定义域为I，给定区间DI．

①若对于任意x1、x2∈D，当x1f (x2)，则称f (x)在区间D上是减函数． ③若函数y=f (x)在区间D上是增函数或减函数，则统称y=f (x)是区间D上的单调函数，区间D称为y=f (x)的单调区间．

(2) 单调性与函数的图象

①若函数f (x)在区间D上是增函数，则它的图象在D上的部分从左到右是上升的． ②若函数f (x)在区间D上是减函数，则它的图象在D上的部分从左到右是下降的． (3) 函数单调性是对定义域内某个区间D而言的，应向学生说明以下几点：

①对于闭区间上的连续函数，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以，但为了统一起见，课本一律采用闭区间来表示．必须注意，对于对某些点不连续的函数，单调区间不包括不连续点．

②有些函数在整个定义域内具有单调性；有些函数在定义域内某些区间上是增函数，而在另一些区间上是减函数；还有一些函数没有单调区间，或者它的定义域根本就不是区间．

(3) 单调性的定义，实际上给出了判断一个函数是增函数还是减函数的法则，根据定义证明函数单调性的步骤是：

①取值：设任意x1、x2∈D，且x1第9页 共13页

②作差变形：作差f (x1)－f (x2) (或

fx1fx2)向有利于判断差的符号的方向变形．

x1x2③定号：确定差f (x1)－f (x2) (或域讨论．

④判断：根据定义作出结论．

fx1fx2)的符号，当符号不确定时，可以进行分

x1x2(4) 因为单调区间D不一定是函数的定义域，由此产生的问题是：函数f (x)在定义域上是不是增(减)函数？如果不是，能否从定义域中划分出单调区间？怎样求函数的单调区间？

①考虑函数f (x)的图象，观察出单调区间及其增减情况，再予以证明；

②根据单调性的定义，从计算差式f (x1)－f (x2)入手，求出使f (x1)－f (x2)<0 (>0)的x1、x2所在的区间．

(5) 函数单调性的应用

①比较两个数值的大小：把所要比较的两个数值看作是某一单调函数的两个不同取值，利用函数的单调性把比较函数值的大小问题转化为比较自变量的大小问题．

②确定函数的值域或求函数的最值．

③画函数的图象时，利用单调性简化画图的过程． ④作为解(或证)不等式或解方程的依据． 4．函数的奇偶性

(1) 奇函数、偶函数的概念

①如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)=－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数．

②如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)=f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数．

③若f (x)是奇函数或偶函数，则对于定义域D上的任意一个x，都有－x∈D，这就是定义域必须是关于原点对称的．若函数的定义域不是关于原点对称的，则可判断该函数既不是奇函数又不是偶函数．

(2) 奇函数、偶函数的图象的对称性(定理)

①奇函数的图象关于原点对称，反之，若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数．

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②偶函数的图象关于y轴对称，反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．

③函数奇偶性是画函数图象和研究性质的一个重要依据，对奇(偶)函数的图象，只须画出该函数在x≥0(x>0)时的图象，再根据对称性就能得到x<0的图象；由x≥0(x>0)时函数的性质；再利用对称性就能推断函数在整个定义域上的性质．

(3) 存在既不是奇函数又不是偶函数的函数，也存在既是奇函数又是偶函数的函数． 判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数，叫做判断函数的奇偶性．函数的奇偶性定义给出了判断奇、偶函数的一个重要方法，其步骤是：

①考查定义域D是否关于原点对称，若存在一个x0∈D，使得f (－x0)没有意义，则f (x)既不是奇函数也不是偶函数；若对于任意x∈D，f (－x)均有意义，则再进行下一步．

②判断f (－x)=－f (x)或f (－x)=f (x)之一是否成立，从而作出正确结论．

注：有时为了运算上的方便，常常把验证f (－x)=±f (x)转化为验证f (x)f (－x)=0，

fx1，f (x)+f (－x)=0或2f (x)． fx(4) 判断函数的奇偶性也可用下列性质： ①两个奇(偶)函数的和与差，仍是奇(偶)函数． ②两个奇(偶)函数的积是偶函数．

③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． ④函数f (x)与

1有相同的奇偶性． fx注：应用上述性质时，必须注意两个函数有公共的定义域． (5) 函数的奇偶性与单调性相结合，有以下两个常用结论．

①奇函数在(0，+∞)和(－∞，0) (或(0，a)和(－a，0) (a>0))上有相同的单调性． ②偶函数在(0，+∞)和(－∞，0) (或(0，a)和(－a，0) (a>0))上有相反的单调性． 5．反函数 (1) 反函数的概念

①函数y=f (x) (x∈A)中，设它的值域为C．根据这个函数中x、y的关系，用y把x表示出，得到xy．如果对于y在C中的任何一个值，通过xy，x在A中都有唯一

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的值和它对应，那么，xy就表示y是自变量；x是自变量y的函数．这样的函数

xy(y∈C)叫做函数y=f (x) (x∈A)的反函数，记作x=f－1(y)．习惯上，一般用x表示自

变量，用y表示函数，为此对调函数x=f1(y)中的字母x、y，改写成y=f1(x)．

－－②函数y=f (x)是定义域集合A到值域集合C的映射，而它的反函数y=f1(x)是集合C到

－集合A的映射．

③如果函数y=f (x)有反函数y=f1(x)，那么函数y=f1(x)的反函数就是y=f (x)，这就是说

－－函数y=f (x)与函数y=f1(x)互为反函数．

－(2) 反函数存在的条件：

①根据反函数的定义，只有原象具有唯一性的函数才有反函数；从图象上看一个函数有反函数的充要条件是：平行于x轴的直线与函数图象至多有一个交点．

②映射f：A→C是一一映射，所确定的函数y=f (x)才有反函数．用映射概念来叙述反函数的定义：如果确定函数y=f (x)的映射f：A→C是f (x)的定义域到值域C上的一一映射，那么逆映射f1：C→A(也是一一映射)所确定的函数x=f1(y)叫做函数y=f (x)的反函数．习惯上

－

－记作y=f1(x)．

－(3) 反函数与原函数的关系：

①反函数的定义域、值域分别是原函数的值域和定义域．要注意反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该根据原函数的值域来确定．

②若y=f (x)与y=f1(x)互为反函数，设f (x)的定义域为A，值域为C，则有，当x∈A时，

－f1(f (x))=x；当x∈C时；f (f1(x))=x，一般地，f1(f (x))=f (f1(x))不成立．

－

－

－

－

(4) 求反函数的方法和步骤：

第一步：把y=f (x)看作是x的方程，解出这个方程在A内的实根的表达式x=f1(y)．

－

第二步：把字母x、y互换，得y=f1(x)．

－第三步：根据y=f (x)的值域C，注明y=f1(x)的定义域x∈C．

－(当然，第一、二两步的顺序可以交换)

(5) 求分段函数的反函数的方法：先分别求出每一段上函数的反函数，然后再把它们结合起来．

6．互为反函数的函数图象间的关系

(1) 定理：函数y=f (x)的图象和它的反函数y=f1(x)的图象关于直线y=x对称．

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定理证明的思路是将图象的对称转化为图象上任意一点的对称，其具体的步骤是： ①设M(a，b)是y=f (x)图象上任意一点，证明Ma，b必在反函数y=f1(x)的图象上．

－②证明M(a，b)与点Ma，b关于直线y=x对称(分a=b和a≠b两种情况)． ③由(1)，(2)及f (x)与f1(x)的互逆性得出结论．

－(2) 若将函数的表达式看成曲线的方程，则方程x=f1(y)和y=f (x)是等价的，所以函数

－

x=f1(y)和y=f (x)的图象是相同的，而将方程中x、y互换，相当于将曲线上点的横、纵坐标

－

对换，所以x=f1(y)和y=f (x)的图象都与y=f1(x)的图象关于直线y=x对称．

－

－(3) 函数y=f (x)与它的反函数y=f1(x)的图象交点或者在直线y=x上，或者关于直线y=x

－成对称地出现．

①若函数y=f (x)在其定义域上是单调增函数，且y=f (x)与它的反函数y=f1(x)的图象有

－交点，则交点必在直线y=x上．

②若函数y=f (x)在其定义域上是单调减函数，且y=f (x)与它的反函数y=f1(x)的图象有

－交点，ⅰ．若只有一个交点，则交点必在直线y=x上；ⅱ．若有限交点的个数多于1，则有一个交点在直线y=x上，其它所有交点关于直线y=x对称．

(4) 若函数y=f (x) (x∈A)是奇函数，值域为C，且存在反函数；则它的反函数y=f1(x) (x

－∈C)也是奇函数．

(5) 若函数y=f (x) (x∈A)，值域为C，且f (x)在A上是增(减)函数，则它的反函数y=f1(x)

－在C上也是增(减)函数．

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