2019届江苏省盐城市高三年级第一学期期中模拟考试数学试题(解析版)

2019届江苏省盐城市高三年级第一学期期中模拟考试

数学试题（解析版）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.已知集合【答案】【解析】 【分析】

由交集的定义可得出结论 【详解】

，

，则

=

，

，则

=_________.

【点睛】本题主要考察集合的交集运算，即取两个集合中的公共元素 2.已知函数【答案】 【解析】 【分析】

的周期计算公式

【详解】

由周期计算公式可得【点睛】

或

，解得=

的最小正周期计算公式均为

可得答案

的最小正周期为4，则=________.

3.函数【答案】【解析】

的定义域是 ．

试题分析：根据题意，由于

则可知

考点：函数定义域

第页

,解不等式组可知x的范围是，故答案为 。

1

点评：主要是考查了对数函数的定义域的运用，属于基础题。 4.已知命题【答案】【解析】

试题分析：根据全称命题的否定为特征命题及“≤”的否定为“>”可知：考点：本题主要考查了全称命题的否定

点评：全称（特称）命题的否定是近年高考热点问题，难度较低，要注意分清命题的否定与否命题的区别. 5.在

中，

，

，面积为

，则边长=_________.

， 则

： ．

【答案】4 【解析】 【分析】

由已知利用三角形面积公式可求c 【详解】∵A=60∘,b=1,面积为∴解得：c=4，

【点睛】在解三角形面积时有三个公式可选择，但是题上已知角A，所以我们需抓取S=bcsinA 6.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】

列举出所有情况，让出现相同点数的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【详解】同时抛掷两枚骰子，出现点数情况共有6×6=36种情况如下表。 1 2 3 4 5

第页

=bcsinA=×1×c×，

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)

2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)

3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)

2

4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)

5 (1,5) (2,5) (35) (4,5) (5,5)

6 1，6() (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)

6

(6,1) (6,2) (6,3) (64) (6,5) (6,6)

点数相同的有6种，即(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)， 点数相同的概率为故答案为：

【点睛】本题考查古典型概率计计算公式，古典型事件需满足两个条件：①每种事件出现的概率相等，②事件的结果有有限中可能；

.

7.若数列的首项，且，则=________.

【答案】【解析】 【分析】 将

变形为，即得出是以2为首相，1为公差的等差数列。

【详解】得所以

且

即是以2为首相，1为公差的等差数列。

=n+1，从而

【点睛】本题主要考察等差数列的定义及通项公式，考察的核心要素是数学运算及推理逻辑。 8.已知函数

心之间的距离为，则=_________. 【答案】【解析】 【分析】

第页

3

的图像的一个最高点为，其图像的相邻两个对称中

由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由最高点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式． 【详解】∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∵其图象的相邻两个对称中心之间的距离为再根据2⋅

+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ−,k∈Z,则φ=−,，

<φ<0)的图象的最高点为

，∴ω=2.

,∴A=

.

【点睛】在f(x)=Asin(ωx+φ)中，A决定该函数的最大值和最小值，ω决定其周期，φ为初相位，由带入最高点或最低点进行计算 9.如图，四棱锥的体积为

，三棱锥

的底面

是矩形，，则

底面

，为

上一点，且

．设三棱锥

的体积为__________.

【答案】 【解析】 【分析】 表示出VP-ABC=【详解】VP-ABC=

，VP-ACE= VP-ACD – VE-ACD = VP-ABC – VE-ACD

-= VP-ABC，

VP-ACE= VP-ACD – VE-ACD = VP-ABC – VE-ACD =即

【点睛】本题主要考察三棱锥的体积计算公式，首先需要注意椎体的体积S底h，另外三棱锥是唯一个在计算体积时可以换底的，另外遇到不好求的体积可用割补法进行 10.已知正三角形ABC的边长为2值为________． 【答案】1 【解析】

，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则

的最大

第页 4

在正三角形中，内切圆半径

，∴

，

，，，

，故答案为1.

在区间

上有且只有2个零点，则实数的取值范

11.已知函数围是_________. 【答案】【解析】 【分析】

，若

分类讨论以确定方程的根的个数，从而化函数的零点的个数为方程的根的个数，从而解得． 【详解】当0⩽x⩽1时,易知x=0不是方程

=0， =0的解，

故m= −x在(0,1]上是减函数， 故m即m

−1=−；

时,方程f(x)=0在[0,1]上有且只有一个解，

当x>1时，

令mx+2=0得,m=−， 故−2即当−2；

【点睛】（1）函数的零点是实数，而不是点． （2）若是函数（3）求函数

的零点，则

．

，若方程

有实数根，则函数

存在零点，该方

的零点时，通常转化为解方程

的零点；否则，函数

程的根就是函数不存在零点．

（4）求函数的零点一般有两种方法： ①代数法：根据零点的定义，解方程

第页

，它的实数解就是函数

5

的零点．

②几何法：若方程12.已知函数【答案】【解析】 【分析】 函数

无法求解，可以根据函数

，若函数

的性质及图象求出零点．

存在三个单调区间，则实数的取值范围是__________.

存在三个单调区间，即原函数在定义域内有两个极值点，即导函数有两个变号零点即可

，参变分离为y=a与y=

的图像有连个不同的交点画出y=

的图

像 【详解】函数即的交点

令

，即x=，即y=

在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增。

，若函数

0有两个不等实根，即

存在三个单调区间

有两个不等实根，转化为y=a与y=

的图像有连个不同

ymin=-，当x∈（0，）时，y<0，所以a的范围为

【点睛】本题主要考察函数的单调性，函数的极值与导函数零点问题，考察转化与划归，函数与方程思想，数形结合思想，考察学生的运算求解能力及分析问题解决问题的能力。 13.已知函数__________. 【答案】【解析】 【分析】 将【详解】g(x)

[

] ，

当a≤-1时，f(x)当-1第页

，，，使，则实数的取值范围是

，转化两函数值域之间的关系，然后分类讨论求解

，使

，即g(x)的值域是

的子集

]，即

≤≤

6

[[

，解得a，不等式组无解

], 即

当a>1时，f(x)[]，即

≤，不等式组无解

综上所述，a的范围为

【点睛】本题能够顺利求解的关键是能将已知条件进行转化为两个函数值域的包含关系，解决问题的难点在于两个函数的值域中含有参数a，这就不得不进行分类讨论，而分类讨论又会产生本题的易错点，就是分类讨论不全面，分类标准不正确 14.已知数列

满足：

，

.若

成等差数列，

，

，则

=__________. 【答案】1 【解析】 【分析】

根据题意，由数列的递推公式写出数列的前4项，分析可得a1、a2、a3为等差数列的前3项，结合题意可得k2=2，k3=3，即可得答案．

【详解】根据题意,数列{an}满足：a1=3,则a2=2a1−3=2×3−3=3， a3=2a2−3=2×3+3=9， a4=2a3+3=2×9−3=15，

其中a1、a3、a4为等差数列的前3项， 又由{a k}是等差数列,且k1=1，

1

(n⩾2)，

则有k2=3,k3=4， 则k3−k2=1；

【点睛】本题主要考察数列的递推关系，等差数列的性质等知识，考察学生综合运用所学知识进行分析、推理的能力

二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知 （1）当

，求

的值域为集合A，；

，求实数的取值范围．

7

定义域为集合B，其中．

（2）设全集为R，若【答案】（1）

第页

；（2）

【解析】 【分析】 （1）欲求（2）由条件值范围 【详解】（1）

，此时

综上所述，实数的取值范围为

.

成立.

，先求A,B，再求他们交集即可

，先求

，对m进行分类讨论，

结合端点的不等关系，可得出m的取

【点睛】本题主要考察对数函数的定义域，指数函数的值域，集合的包含关系的判断及应用，相对较综合，值得一提的是分类讨论思想，遇到不确定的情况我们要进行分类讨论，注意分类的标准，然后再分类下每一类下求交集，再将所有分类的结果求并集 16.在

中，角所对的边分别为,且满足.

（1）求角的大小； （2）设

【答案】（1）【解析】

，且

（2）

的最大值是，求的值.

试题分析：(1)先利用正弦定理将边角关系转化为角的关系：两角和正弦公式及诱导公式化简得积化简

，即

，解得

，再根据

，(2)先根据向量数量

,其中

，再利用二倍角公式及换元转化为一元二次函数

，最后根据对称轴与定义区间位置关系求最大值

试题解析：(1)

，

，

(2)

，

.

17.如图给定两个长度为1的平面向量

第页

，利用最大值是，求出的值.

，即

.

,设

，则时，

，则

取最大值，依题意得，

和，它的夹角为

8

，点在以为圆心的圆弧上变动，若

，其中，求的最大值.

【答案】解：设C(cosq，sinq)，0≤q≤， ……………3分 A(1，0)，B(-，由∴y=

)， ……………5分 得，x-y=cosq，

sinq，∴x+y=cosq+

y=sinq， ……………9分

sinq=2sin(q+)， ……………12分

∴x+y的最大值是2． ……………14分 【解析】

试题分析：因为平面向量得

，解得

考点：向量在平面几何中的应用.

【方法点晴】本题主要考查了向量在平面几何中的应用，考查了利用重要不等式求最值问题，属于中档题.本题解答的关键是把不等式

把上式转化为关于

两边平方，利用平面向量数量积的性质得到

，根据基本

，所以

和

的的长度都为，且夹角为

，所以

,由，

所

可以

的最大值是.

的一元二次不等式，通过解不等式即可求得其最大值.

18.某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这

种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系：（注：次品率

，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．）已知每生产一件合格的仪

器可以盈利元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量， （1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 【答案】（1）

第页

；（2）见解析

9

【解析】 【分析】

（1）根据每天的盈利额为合格数×A-次品数×进行计算 （2）当

时，每天的盈利额为0，

时，

盈利额的最大值可用求导方式进行求出，

． 件，次品有

件，故每天的盈利额

【详解】（1）当当

时，

，所以每天的盈利额

，所以每天生产的合格仪器有

，

综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：（2）由（1）知，当当

时，

时，每天的盈利额为0；

，因为

，

令令

，得，得

或，故时，

,因为＜96，故

时，

时，

为减函数.

时成立），

为增函数.

所以，当（等号当且仅当

当综上，若大利润．

时， （等号当且仅当时取得），

，则当日产量为时，可获得最

，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若

【点睛】本题为实际数学问题的函数模型解决问题，首先我们应该认真审题，了解盈利额怎么算是解决问题的关键，另外在解决问题过程中涉及分段函数的问题，遇到这类型的题目我们只需要认真研究每段函数即可 19.已知函数⑴求函数⑵记函数⑶记函数【答案】（1）当

第页

，

的单调区间；

，当

时，

，

在上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；

的图象有两个切点 时，

10

，证明：存在一条过原点的直线与时，

为单调增区间，当

为单调减区间，为单调增区间．

（2）

（3）在第二问的基础上，根据函数的单调性以及导数的几何意义来证明。 【解析】

试题分析：（1）因为①若当所以当（2）

，则时，

，

在

时，

，

上为增函数，2分 ②若

．

时，

为单调增区间，

，令

，得

，

；当

为单调减区间，时，

时，

为单调减区间，

为单调增区间． 综上可得，当

为单调增区间． 4分

，

， 5分

在由（i）（ii）（iii）

上有且只有一个极值点，即得，时，时，

，

，满足题意；…… 6分

，即，得

在上有且只有一个根且不为重根，

；… 7分 ，故

； 综上得：

在

上有且只有一个极值点时，

． ………8分注：本题也可分离变量求得． （3）证明：由（1）可知： （i）若所以直线与（ⅱ）若若故则直线与点．

设切点分别为

，，，，设，则

，

在

上为单调增函数，

的图象不可能有两个切点，不合题意． 9分 在

处取得极值

．

时，由图象知不可能有两个切点．10分 图象与轴的两个交点的横坐标为（不妨设的图象有两个切点即为直线与，

，则

，，

，且

，

）， 和

的切

第页 11

即① ,② ,③ ,

①-②得：，

由③中的代入上式可得：，即，12分

令，则，令，因为，

，故存在

即存在一条过原点的直线与考点：导数的运用

，使得，

的图象有两个切点．14分

点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，属于难度题。 20.已知数列（1）求；

（2）若数列{Mn}满足条件：①试找出一组，，使得②证明：对于数列【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）求等差数列前n项和，一般利用待定系数法，即确定首项及公差，再代入公式即可：由

，

，一定存在数列（2）①

，，当；

，使得数列②详见解析

中的各数均为一个整数的平方．

时，

－

，其中数列

单调递增，且

，

．

是等差数列，其前n项和为Sn，若

，

．

，得解得，所以（2）①题目要求找出一组，因

此方法为逐一代入验证，若

，则无整数解；若，

，一般的取

由

解得

得

②从①可归纳

，则无整数解；若

，

，使得数列

由

，则

得，

，下面只需验证中的各数均为一

个整数的平方．由得＝－＝，为一整数

第页 12

平方．

试题解析：（1）设数列

的首项为，公差为，

由，，得， 2分

解得所以

，

4分 ，

，

， ，

， ，

， ，

，

，

满足题意 10分

，

，则， 13分

，

，

，

，解得

，

，

，此方程无整数解； 8分

，

，

，此方程无整数解； 6分

， ，

（2）①因为若因为所以若因为所以若因为所以所以②由①知一般的取

此时，，

则所以

＝－＝，

为一整数平方．

，使得数列

中的各数均为一个整数的平方． 16分

13

因此存在数列

第页

考点：等差数列与等比数列

第页 14