圆锥曲线双曲线的性质

圆锥曲线之双曲线

双曲线的性质

一：知识要点

知能点1：双曲线的范围

x2y2 若双曲线的方程为221a0,b0，则xa或xa；

aby2x2若双曲线的方程为221a0,b0，则ya或ya。

ab

知能点2：双曲线的对称性

双曲线关于x轴、y轴和原点都对称。坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心。

知能点3：双曲线的顶点 Ⅰ顶点：

x2y2 若双曲线的方程为221a0,b0，则顶点坐标为A1a,0,A2a,0；

aby2x2 若双曲线的方程为221a0,b0，则顶点坐标为A10,a,A20,a

abⅡ实轴与虚轴：

x2y2 以双曲线221a0,b0为例，如右图，我们把线段A1A2叫做双曲线的实轴，故

abx2y2A1A22a。双曲线221a0,b0显然在y轴上没有交点，但我们可以在y轴上作点

abB10,b,B20,b，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，故B1B22b。相应的，a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。

知能点4：双曲线的渐近线

x2y2Ⅰ以双曲线221a0,b0为例，如右图，我们将两条

abb直线yx叫做双曲线的渐近线。

a Ⅱ渐近线的求法：

若给出一个双曲线的标准方程，让我们求其渐近线的方程式时，我们把标准方程的常数“1”用“0”来代替，进而得出的两条直线方程即为该双曲线的渐近线方程

知能点5：双曲线的离心率

2cc。 1. 定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率。记作e2aac2. 离心率的范围：∵ca0 ∴1，即e1

a3. 双曲线的离心率对双曲线的“张口”有影响：离心率越大，双曲线的“张口”越大。

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知能点6：双曲线的第二定义

ce1时，这个点的轨迹是双曲a线，定点是焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。

点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e二：经典例题

例1：双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为0,2，求双曲线的标准方程。

x2y21的渐近线方程 例2：求双曲线94

3例3：已知双曲线的渐近线的方程为yx，求双曲线的离心率

4

x2y21的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲例4．过双曲线916线交于点B，求△AFB的面积

例5.到定点A5,0即定直线l:x

16的距离比为5:4的点的轨迹方程为 5三：当堂练习

A级试题

x2y21的两条准线间的距离等于 。 1、双曲线342、下列方程中，以x2y0为渐近线的双曲线方程是 。

3、中心在原点，一个焦点为3,0，一条渐近线方程2x3y0的双曲线方程是 。 4、经过点M3,1，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是 。 5、已知双曲线kx22ky24的一条准线是y1，则实数k的值是 6、等轴双曲线的离心率为 ；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 。

5x2y21有公共焦点，且离心率e的双曲线方程是 。 7、与44924第2页

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B级试题

1、双曲线2kx2ky21的一焦点是F0,4，则k等于 。

x2y21有共同的渐近线，且经过点A(3,23}的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距2、与双曲线

916离是 ( )

A、8 B、4 C、2 D、1

13．已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m 。

5x2y24．双曲线221（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲

ab线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为 。

x2y2x2y21共焦点，而与曲线1共渐近线的双曲线方程为（ ） 5．与曲线

244936

y2x2x2y2y2x2x2y21 B．1 C．1 D．1 A．

169169916916x2y26．已知双曲线221（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=5k,则双曲线方程为（ ）

abx2y2A．2－2=1

4aa

x2y2x2y2B．221 C．221

a5a4bbx2y2D．221

5bbC级试题

x2y21所表示的曲线为C，有下列命题： 1．方程

4tt2①若曲线C为椭圆，则2t4；

②若曲线C为双曲线，则t4或t2； ③曲线C不可能为圆；

④若曲线C表示焦点在y上的双曲线，则t4。

以上命题正确的是 。（填上所有正确命题的序号）

四：课后作业

A级试题

1．已知点F1(4,0),F2(4,0)，曲线上的动点P到F1的距离与到点F2的距离之差为6，则曲线方程为 。

2．在双曲线的标准方程中，a6,b8，则其方程为 。 3．双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3)，那么k的值是

4、以5x28y240的焦点为顶点，且以5x28y240的顶点为焦点的双曲线的方程是 。

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5．求下列双曲线的标准方程：

5（1）离心率为，虚半轴长为2；

4（2）与椭圆x25y25共焦点且一条渐近线方程为y3x0。

B级试题

x2y21、如果双曲线1右支上一点P到它的右焦点的距离等于2，则P到左准线的距离为 169x2y21上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是 2．如果双曲线42x2y21的离心率e1,2，则k的取值范围是 。 3、双曲线4kx2y234．已知双曲线221(a0,b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则

ab3双曲线方程为 ．

5．双曲线tx2y210的一条渐近线与直线2xy10垂直，则双曲线的离心率是 。 6.已知双曲线经过点M（6,6），且以直线x= 1为右准线． （1）如果F（3，0）为此双曲线的右焦点，求双曲线方程；

（2）如果离心率e=2，求双曲线方程．

C级试题

1.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，求P到x轴的距离。

开心一刻：一二货早上上班想吃芒果，于是出门时就拿了一个，上公交车后他就玩手机，于是便顺手把芒果塞裤袋里。当他坐下时，一声轻轻的闷响，一大堆黄色的芒果肉就从屁股下面挤了出来，然后 ...........然后一车人都下去了，我的个去，叔叔阿姨咋都不听他解释啊?????????

为了解释清楚，他抓了一把放嘴里，告诉大家这真的不是屎，下去那一车人全都吐了！！！！！！！

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