等差数列,等比数列

1.等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.

2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式ana1(n1)d，a1为首项，d为公差. ⑵前n项和公式Sn3.等差中项

如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 即：A是a与b的等差中项2Aaba，A，b成等差数列. 4.等差数列的判定方法

⑴定义法：an1and（nN，d是常数）an是等差数列； ⑵中项法：2an1anan2(nN)an是等差数列. 5.等差数列的常用性质

⑴数列an是等差数列，则数列anp、pan（p是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列an中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即

an,ank,an2k,an3k,为等差数列，公差为kd.

n(a1an)1或Snna1n(n1)d. 22⑶anam(nm)d；ananb(a,b是常数)；Snan2bn(a,b是常数，

a0)

⑷若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

S⑸若等差数列an的前n项和Sn，则n是等差数列；

n⑹当项数为2n(nN)，则S偶S奇nd,S偶an1； S奇anS偶n1. S奇n 当项数为2n1(nN)，则S奇S偶an,

考点1等差数列的通项与前n项和 题型1已知等差数列的某些项，求某项

【例1】已知an为等差数列，a158,a6020，则a75

题型2已知前n项和Sn及其某项，求项数.

【例2】⑴已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63，求n； ⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n.

题型3求等差数列的前n项和 【例3】已知Sn为等差数列an的前n项和，Sn12nn2. ⑴求a1a2a3；

⑵求a1a2a3a10； ⑶求a1a2a3an.

考点2 证明数列是等差数列

【例4】已知Sn为等差数列an的前n项和，bn求证：数列bn是等差数列.

判断或证明数列是等差数列的方法有：

Sn(nN). n⑴定义法：an1and（nN，d是常数）an是等差数列； ⑵中项法：2an1anan2(nN)an是等差数列； ⑶通项公式法：anknb（k,b是常数）an是等差数列；

⑷前n项和公式法：SnAn2Bn（A,B是常数，A0）an是等差数列.

考点3 等差数列的性质

【例5】⑴已知Sn为等差数列an的前n项和，a6100，则S11 ； ⑵已知Sn为等差数列an的前n项和，则Smn . Snm,Smn(nm)，

考点4 等差数列与其它知识的综合

【例6】已知Sn为数列

an的前n项和，Sn1n211n；数列bn满足：b311，

22bn22bn1bn，其前9项和为153.

⑴求数列

an、bn的通项公式；

cn的前n项和，cnk6，求使不等式Tn对nN57(2an11)(2bn1) ⑵设Tn为数列

都成立的最大正整数k的值.

课后练习

1.设数列an是等差数列，且a28，a155，Sn是数列an的前n项和，则

A．S10S11 B．S10S11

2.在等差数列an中，a5120，则a2a4a6a8 .

C．S9S10 D．S9S10

3.数列an中，an2n49，当数列an的前n项和Sn取得最大值时，n . 4.已知等差数列an共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 . 5.设数列an中，a12,an1ann1，则通项an . 6.已知等差数列an中，a220,a1a928. ⑴求数列an的通项公式；

⑵若数列bn满足anlog2bn，设Tnbb12bn，且Tn1，求n的值.

7.已知Sn为等差数列an的前n项和，a125,a416. ⑴当n为何值时，Sn取得最大值； ⑵求a2a4a6a8a20的值； ⑶求数列an的前n项和Tn.



等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q0)，这个数列叫做等比数 列，常数q称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式：ana1qn1，a1为首项，q为公比 . ⑵前n项和公式：①当q1时，Snna1

a1(1qn)a1anq②当q1时，Sn. 1q1q3.等比中项

如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等差中项a，A，b成等差数列G2ab. 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：

an1q（nN，q0是常数）an是等比数列； an2⑵中项法：an1anan2(nN)且an0an是等比数列. 5.等比数列的常用性质

⑴数列an是等比数列，则数列pan（q0是常数）都是等比数列； ⑵在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即

an,ank,an2k,an3k,为等比数列，公比为qk.

⑶anamqnm(n,mN)

⑷若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

⑸若等比数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列.

考点1等比数列的通项与前n项和 题型1已知等比数列的某些项，求某项

【例1】已知an为等比数列，a22,a6162，则a10

题型2 已知前n项和Sn及其某项，求项数.

【例2】⑴已知Sn为等比数列an前n项和，Sn93，an48，公比q2，则项数n .

题型3 求等比数列前n项和

【例3】等比数列1,2,4,8,中从第5项到第10项的和.

【例4】已知Sn为等比数列an前n项和，an1332333n1，求Sn

【例5】已知Sn为等比数列an前n项和，an(2n1)3n，求Sn.

考点2 证明数列是等比数列 【例6】.已知数列{an}的首项a1是等比数列；

22an1，an1，n1,2,3,…．证明：数列{1}3an1an

等比数列的判定方法： ⑴定义法：

an1q（nN，q0是常数）an是等比数列； an2⑵中项法：anan是等比数列. 1anan2(nN)且an0 考点3 等比数列的性质

【例7】已知Sn为等比数列an前n项和，Sn，S2n60，则S3n .

课后练习

1.设an是公比为正数的等比数列，若a11,a516，则数列an前7项的和为（ ）

A.63 B. C.127 D.128

S4（ ） a21517A.2 B.4 C. D.

223.已知等比数列{an}满足a1a23，a2a36，则a7（ ）

A. B.81 C.128 D.243

2.设等比数列{an}的公比q2， 前n项和为Sn，则

4.已知等an比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an（ ）

323A．4 B．4 C．4232nnn12 D．43n1

1，则a1a2a2a3anan1=（ ） 4A.16(14n) B.16(12n) 3232C.(14n) D.(12n)

336.在等比数列中，已知a9a10a(a0)，a19a20b，则a99a100 . 5.已知是等比数列，a22，a5

7.等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20．

8.已知数列an的前n项和为Sn，Sn ⑴求a1，a2的值；

⑵证明数列an是等比数列，并求Sn．

1(an1)nN； 3