悬索桥计算

*第八节 悬索

悬索有许多工程应用，常见的有高压输电线、架空索道、悬索桥等。悬索结构两端固定，它和梁的主要区别在于悬索不能抵抗弯曲，只能承受拉力。在初步的力学计算中，假设悬索具有充分的柔软性，故称为柔索。本节讨论的悬索均为柔索。对于已经处于平衡状态的悬索，根据刚化原理可知，作用在悬索上的力应该满足刚体的平衡条件。同时需要注意的是，绳索不是刚体，平衡方程表示绳索平衡的必要条件但非充分条件。

工程实际中经常碰到的问题是：在给定载荷作用下，求悬索的形状、索内拉力和绳索长度，以及它们与跨度、垂度、载荷之间的关系，以作为设计、校核悬索的根据。

悬索在工作中受到的载荷可以分为两类：（1）集中载荷；（2）分布载荷。其中分布载荷中最常见的是水平均布载荷、沿索均布载荷。当不计钢索自重时，旅游胜地高空缆车的索道受到车厢集中力（即重力）的作用（图8-39a）；装有吊篮的架空索道，同样受吊篮的集中力（即重力）的作用。这些都是悬索受集中载荷作用的例子。悬索直拉桥主索上承受的载荷可看成是水平均布载荷（图8-39b)。高空输电线（图8-39c)和舰船的锚链上承受的载荷可看成是沿索均布载荷。

(a) (b)

(c)

图8-39

当悬索两支座A和B高度相同时，两个支承点之间的水平距离称为跨度；在载荷作用下，悬索上每一点下垂的距离称为垂度，由悬挂点到最低点的垂直距离称为悬索的垂度。在悬索计算中，跨度和索上最低点的垂度通常是已知的。

一、集中载荷

设绳索（柔索）连接在两个固定点A和B并有n个垂直集中载荷P1、P2、…、Pn，如图8—39(a)所示，绳索的重力与绳索承受的载荷相比可以忽略。因此当绳索系统处于平

衡状态时，相邻载荷之间的绳索段AC1、C1C2、C2C3和C3B均被拉紧成直线段，即在集中载荷作用下，绳索成折线状。故绳索段AC1、C1C2、C2C3和C3B均可以当作二力杆，绳索中任意点的内力可简化为沿绳索方向的张力。

图8—39(a)中，已知悬挂点A到每个载荷的水平距离x1、x2、…、xn，画出绳索系统的受力图，如图8—40a所示，悬挂点A的约束反力为Ax、Ay，悬挂点B的约束反力为Bx、

(a) (b) (c)

图8—40

By，共有4个未知量，而平面一般力系的平衡方程只有3个，所以不能由整体的受力分析求出A、B点的约束反力，必须考虑绳索某一部分的平衡，得到一个附加方程。

由于悬挂点的垂度y1、y2、…、yn未知，所以绳索的平衡位置是不确定的，图8—40a表示了3种可能的平衡位置。下面计算绳索的形状及绳索各部分的张力T。

设绳索中任取一点D，横坐标为x，如果垂度y已知，则图8—40b所示部分可以列写平衡方程MD(F)0。由于索上最低点C3的垂度y3通常是已知的，所以当D点取在索上最低点C3时，用截面法取出左半部分（或右半部分），得到补充方程MC(F)0，与绳

3索整体系统的3个平衡方程联立求解，得到约束反力为Ax、Ay、Bx、By。

求出A、B处的约束反力后，可以利用截出部分（图8—40b、c）的力平衡方程

X0及Y0求出绳索上任意一点的张力。由于TcosA，故绳索上任意一点的张力

x的水平分量均相同。张力TAxcos，故越大，cos越小，T也越大。

例8-12 如图8—41a所示，绳索AE在B、C、D三个点承受垂直载荷。已知C点位于左端支承A之下5m，计算

（1） 支承处A、E的约束反力；

（2） 点B、D的高度；

（3） 各段绳索的张力；

（4）各段绳索的斜率。

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

图8—41

解 （1）取整个绳索为隔离体，画出图8—41b所示受力图，列写整个绳索系统的平衡方程：

AxEx0 (a)

AyEy22kN0 (b)

ME20Ax60Ay(6401230415)kNm0 (c)

由于C点高度已知，故取隔离体ABC，画出图8—41c所示受力图，列写隔离体ABC对C点的力矩平衡方程：

MC5Ax30Ay610kNm0 (d)

联立（a）、（b）、（c）、（d）四式，求得

Ax18kN

Ay5kN Ex18kN Ey17kN

（2）为求点B的高度，取隔离体AB，画出图8—41d所示受力图，列写隔离体AB对B点的力矩平衡方程：

M解得

B18yB520kNm0

yB5.56m，B点在A点之下

为求点D的高度，取隔离体ABCD，画出图8—41e所示受力图，列写隔离体ABCD对D点的力矩平衡方程：

M解得

D18yD(5456251215)kNm0

yD5.83m，D点在A点之上

（3）求各段绳索的张力

列写A点的力平衡方程：

AxT1x0 AyT1y0

解得AB段绳索拉力

22T1x18kN T1y5kN T1T1xT1y18.7kN

由于绳索上任意一点张力的水平分量均相同，故T1xT2xT3xT4x18kN。

列写隔离体AB垂直方向的力平衡方程（图8-41d）：

5kN6kNT2y0

解得BC段绳索拉力

T2y1kN

T2T22xT22y18.0kN

列写隔离体ABC垂直方向的力平衡方程（图8-41c）：

5kN6kN-12kNT3y0

解得CD段绳索拉力

T3y13kN

T3T32xT32y22.2kN

列写E点垂直方向的力平衡方程：

EyT4y=0

解得DE段绳索拉力

T4y17kN

T4T42xT42y24.8kN

所以绳索张力的最大值出现在DE段，TmaxT424.8kN。

（4）求各段绳索的斜率

在图8-41d 中，AB段绳索的斜率

tan1yB5.560.278015.520201

在图8-41e 中，BC段绳索的斜率

tan2yB50.05603.2102

在图8-41f中，CD段绳索的斜率

tan3yD55.8350.72235.801515 3在图8-41f中，DE段绳索的斜率

tan420yD205.830.945043.41515 4二、水平均布载荷

如图8—42（a）所示，直拉式悬索桥的绳索重量远小于桥面道路的重量，这时绳索受到沿水平方向均匀分布的载荷，w表示载荷集度，其量纲为N/m。选择绳索最低点C为坐标原点，建立Cxy坐标系，C到绳上任意一点D(x,y)的绳索部分承受的载荷总共为W=wx，

图8—42

取绳索的CD段为隔离体，如图8—42b所示，由力平衡方程X0及Y0，求出

TcosT0,TsinW，故D点的张力

TT02w2x2tanwxT0 （8—23）

图8—42b中，合力W作用线与C、D两点在水平方向上为等距离，由MD(F)0得到

wxx2T0y0

整理上式，进而求得绳索形状方程

wx2y2T0 由式（8-24）可知，在水平均布载荷作用下，悬索呈抛物线形状。

讨式（8—23），可以得到：

（1） 悬索最低点的拉力为最小，其值为T0；

（2） 固定点A、B处的拉力为最大，分别为

2T22AT0qxAT22BT0qx2B 8—24）

8—25）

（（

dytandx按照导数定义

dywxdxT0，将公式（8—23）代入得到

，因此绳索总长度为

sABABdsxBxAxBdy2w2x21()dx12dxxAdxT0

对于实际工程问题，可以利用力学计算软件对上式进行数值积分，也可以利用二项式

2221wxT0定理将展成无穷级数，有

sABxBxAxBw2x2w2x2w4x4w2x3w4x51dx（1）dx（x）xAT022T028T046T0240T04xxBAxB(12w2xB6T024w4xB40T04)xA(12w2xA6T024w4xA40T04）

22由式（8-24）可知wxA2T0yA,wxB2T0yB，令xBb,xAa，故上式有

2y2y2y2ysABb[1(B)2(B)4]a[1(A)2(A)4]3b5b3a5a （8—26）

比值yBxB<0.5时级数收。多数情况下，比值yBxB都很小，只需要计算级数的前两项，即

sAB22yA2yBL()3ba （8—27）

式中L为跨度，a、b分别为悬索两端固定点A、B到最低点C的距离。

例8—13悬索桥有两根平行的主索，其中之一如图8—43所示，跨度L=100m，中

点的垂度h=16m，每根主索承受的桥面重量可视为水平均布载荷，其集度w=3kN/m，主索和吊索的重量与载荷相比很小，可忽略不计。试求主索两端和中点的拉力以及主索的全长。

图8—43

解 取主索中点C为坐标原点，建立Cxy坐标系，如图8—43所示，可以看出

xBL2b50m,yBh16m，

xAL2a50m,yAh16m。由公式

2wxByB2T0，即 （8—24）得到

2wxB3103502T0N234kN2yB216

由公式（8—25）得到

2TATBT02q2xA234232502kN278kN

因为yBxB16500.5，所以主索的长度可用近似公式（8—27）计算

sAB22yA2yB2162162L()100()m106.8m3ba35050

三、沿索均布载荷

设载荷沿索长均匀分布，载荷集度为w，如图8—44（a）所示，取悬索最低点C为坐

(a) (b)

图8—44

标原点，建立Cxy坐标系，绳上任取一点D(x,y)， 取隔离体CD段，画出图8—44b所示受力图，由力的平衡方程可得

TcosT0,TsinWws

即

TT02w2s2,tanwsT0 （8—28）

故

dywtansdxT0 （a）

wsdyds1dx1dxdxT0又

22dxdsws1T0

2所以

积分可得 （b）

xT0wsinh1sC1wT0

其中sinh（ws/T0）为反双曲正弦函数，C1为积分常数。

-1存在边界条件： s=0时，x=0

代边界条件入（b）式，求出积分常数C1=0。故（b）式变为

xT0wsinh1swT0，即

sT0wsinhxwT0 （8—29）

sinh（wx/T0）为双曲函数，将（8—29）式代入（a）式得到

dywsinhxdxT0

由此可得

ysinh0xTwwxdx0(coshx1)T0wT0 （8—30）

上式表明，当载荷沿绳索均匀分布时，悬索为悬链线形状。

将（8—29）式代入（8—28）式，得到

TT0coshwxT0

由（8—30）式削去上式中的双曲余弦函数，有

TT0wy (8—31)

由此可见，悬索在最低点（y=0）拉力最小，拉力的最大值发生在支承处A点或B点。

TAT0wyATBT0wyB (8—32)

由（8—29）式计算悬索总长

sABsCAsCBT0wawb(sinhsinh)wT0T0 (8—33)

上式中a、b分别为A、B点在水平方向离C点的距离（图8—44a），即axA，bxB。求a、b的数值也可利用式（8—30），即：

T0-1wyAacosh(1)wT0Twyb0cosh-1(B1)wT0 （8—34）

在利用式(8—31)～(8—34) 计算悬索拉力、索长以及最低点到两端的距离时，均需要首先求出悬索最低点的水平拉力T0（或绳索上任意一点拉力的水平分量），但是计算T0要解超越方程。工程实际中多采用试算法由下式求出

LabT0wywy[cosh-1(A1)cosh-1(B1)]wT0T0 （8—35）

当绳索完全拉紧时，可以假设载荷沿水平方向均匀分布，悬链线可以用抛物线代替。这可以大大简化问题的求解，而引入的误差很小。