八上全等三角形经典培优习题汇集-学而思

全等三角形经典习题汇集

第一讲全等三角形的性质及判定

【例1】 如图，AC∥DE，BC∥EF，ACDE．求证：AFBD．

E

【补充】如图所示：AB∥CD，ABCD．求证：AD∥BC．

AFBDCDC

AB

【例2】 已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC．求证：

OAOD．

DA

O

BEFC【补充】已知：如图，ADBC，ACBD，求证：CD．

DC O

AB

【补充】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连结AE并延长AE交BC的延长线于点F．求

证：FCAD．

ADEBFC

【例3】 如图，AB，CD相交于点O，OAOB，E、F为CD上两点，AE∥BF，CEDF．求证：

AC∥BD．

.

.实用文档.

AOEBCFD

【补充】已知，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：BFCE．

A

EBFC

【例4】 如图，DCE90，CDCE，ADAC，BEAC，垂足分别为A，B，试说明ADABBE

E

ABDC

【例10】 如图所示， 已知ABDC，AEDF，CEBF，证明：AFDE．

A C

【例11】 E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BECF．求证：AEBF．

ADEFBDFPBEC

【补充】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF．求证：

BGCFBC．

.

.实用文档.

AGDFBCE【例12】 在凸五边形中，BE，CD，BCDE，M为CD中点．求证：AMCD．

A

B

CM

【补充】如图所示：AFCD，BCEF，ABDE，AD．求证：BC∥EF．

ABCDFE

ED

【例13】 （1）如图，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判

断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知

中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？

EGDAFBC

【例14】 如图，ABC中，ABBC，ABC90，D是AC上一点，且CDCBAB，DEAC交AB于E点．求证：ADDEEB．

.

.实用文档.

ADEBC

【例15】 ABC中，B90，M为AB上一点，使得AMBC，N为BC上一点，使得CNBM，连

AN、CM交于P点．试求APM的度数，并写出你的推理证明的过程．

ADMP

【例16】 如图，I是△ABC的内心，且CAAIBC．若BAC80，求ABC和AIB的大小．

CBN图3C

I

【例17】 已知：BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，BPAC，点Q在CE上，CQAB，

求证：⑴APAQ；⑵APAQ．

PADBAEQ

【例18】 ⑴ 如左下图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且ACCE，F为AE的中点．求证：

BFFD．

⑵ 如右下图，在ABC中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点，DMEF于M．求证：FMEM．

BC.

.实用文档.

AADMFEBCEFBDC

118.补充：如图，已知ABDACD60，且ADB90BDC．求证：ABC是

2等腰三角形．

【例19】 如图，ABC为边长是1的等边三角形，BDC为顶角(BDC)是120的

等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB于M，AC于N，连接MN，形成一个AMN．求AMN的周长．

M B

ANCD

【习题1】 已知：如图，AB∥DE，AC∥DF，BECF． 求证：ABDE．

家庭作业

.

.实用文档. ADBECF

【习题2】 已知：△DEF≌△MNP，且EF＝NP，∠F＝∠P，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12cm，求：∠P的

度数及DE的长.

【习题3】如图，矩形ABCD中，E是AD上一点，CEEF交AB于F点，若DE2，矩形周长为16，且CEEF，求AE的长．

AED

FBC

【习题4】在四边形ABCD中，AD∥BC，A的平分线AE交DC于E．求证：当BE是B的角平分线

时，有ADBCAB．

【备选1】 如图所示：ABAC，ADAE，CD、BE相交于点O．求证：OA平分DAE．

E

O C AB

【备选2】 如图所示，在△ABC中，ADBC于点D，B2C．求证：ABBDCD．

A

.

月测备选

DCDB.实用文档.

【备选3】 如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，

DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF. （1）求证：BG＝CF.

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.

AFEBDGC

第二讲 全等三角形与中点问题

版块一 倍长中线

【例1】 在△ABC中，AB5,AC9，则BC边上的中线AD的长的取值

范围是什么？

BADCA1【补充】已知：ABC中，AD是中线．求证：AD(ABAC)．

2

CB D

【例2】 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交

于点F．求证：BCE≌FDE．

ADFEBC

.

.实用文档.

【例3】 如图，在ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．求证：

BDE≌CDF．

A

F

CB D

E

A【例4】 如图，ABC中，ABA

【例5】 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延

F长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．

E

B

DC

【例6】 如图所示，在ABC和ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且ABAB，

ACAC，ADAD，求证A'AABC≌ABC．

C'C B'BD'D

【例7】 如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线． F.

BGAEDC.实用文档.

【例8】 已知AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：

BECFEF． A

EF

BDC

【例9】 在RtABC中，A90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD．以

线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

AEBFCD【例10】 已知△ABC，∠B=∠C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，

求证GD=GE．

ADCBGE

【例11】 如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果BM2CN2DM2DN2，求

1A证AD2AB2AC2．(勾股定理的内容，选做)

4M.

BDNC.实用文档.

【例10】 在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE90．若AD3，

BE4，则线段DE的长度为_________．

A

FDG

CBE

图 6

【习题1】 如图，在等腰ABC中，ABAC，D是BC的中点，过A作AEDE，AFDF，且AEAF．

求证：EDBFDC．

A

EFA BDCF E

【习题2】 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且

BEAC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？

BDC.

家庭作业

.实用文档.

【习题3】 如右下图，在ABC中，若B2C，ADBC，E为BC边的中点．求证：AB2DE．

ABDEC

【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．

求证：∠E=∠F

【备选2】如图，ABC中，ABAC，BAC90，D是BC中点，EDFD，ED与AB交于E，FD与AC 交于F．求证：BEAF，AECF．

A

F

E BDC

第三讲 全等三角形与角平分线问题

【例1】 在ABC中，D为BC边上的点，已知BADCAD，BDCD，求证：ABAC．

ABDC

【例2】 已知ABC中，ABAC，BE、CD分别是ABC及ACB平分线．求证：CDBE．

.

.实用文档.

ADEBC

【例3】 如图，在ABC中，B60，AD、CE分别平分BAC、BCA，且AD与CE的交点为F．求

证：FEFD．

AEFBDC

【例4】 如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD3，

求ABC的面积．

A

O

D

【补充】如图所示：ABAC，ADAE，CD、BE相交于点O．求证：OA平分DAE．

E

O C ABD

【例5】 已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、

CD、BC的数量关系，并加以证明．

AEBODCB C

【例6】 如图，已知E是AC上的一点，又12，34．求证：EDEB．

.

.实用文档.

D3E1A2BC4

【例7】 如图所示，OP是AOC和BOD的平分线，OAOC，OBOD．求证：ABCD．

O

ABPDC

【例8】 如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC．求

证：EF∥AB

AF

BEDC

1【例10】 如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且AE(ABAD)，则

2ABCADC等于多少？

DCAEB

【补充】长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则

EF=__________．

AFDBEC

.

.实用文档.

【补充】在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：ABACPBPC．

APBDC

【例11】 如图，在ABC中，B2C，BAC的平分线AD交BC与D．求证：ABBDAC．

ABD

【例12】 如图，ABC中，ABAC，A108，BD平分ABC交AC于D点．求证：BCACCD．

ADC

BC

【巩固】已知等腰ABC，A100，ABC的平分线交AC于D，则BDADBC．

A

B

DC

【例13】 如图所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证ABAC2AM．

ABDMC

.

.实用文档.

【例14】 如图，ABC中，ABAC，BD、CE分别为两底角的外角平分线，ADBD于D，AECE于E．求证：ADAE．

ADEGBCH

【例15】 如图，AD180，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上．

① 探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系． ② 探讨线段BE与CE之间的位置关系．

EDABC

家庭作业

【习题2】如图，在ABC中，ABBDAC，BAC的平分线AD交BC与D．求证：B2C．

.

.实用文档.

ABD

【习题3】求证： EF∥AC交AB于F．AD是ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线于E，AFFB．

AF D BE CC

【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB，ABE=EBC，AD=4，BC=2，那么AB=________．

证：BFCG．

A

【习题5】求ABC中，DEBC交BAC的平分线于点E，D为BC中点，EFAB于F EGAC于G．

FBDCGE

【备选1】在ABC中，AD平分BAC，ABBDAC．求B:C的值．

月测备选

.

.实用文档.

ABDC

【备选2】如图，已知在ABC中，ABC3C，12，BEAE．求证：ACAB2BE．

A12EBC

【备选3】如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，A的平分线AE交DC于E，求证：当BE是B的平分线时，有ADBCAB．

DEC

AB

第四讲 全等三角形与旋转问题

【例1】 已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．（1）求证：ANBM．

N

M.

ACB.实用文档.

（2）求证：CD=CE

(3) 求证：CF平分∠MCN

NMDACEBNMDAC

FEB

（4） 求证：DE∥AB

M F

D

A C

【例2】 如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：AECG．

NEB.

.实用文档.

GABDCFE

【例3】 如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：AEBD．

A

EDBC

【例4】 如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD，BPAB，DBPDBC，问BPD的度数是

否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

APDB

【例5】 如图，等腰直角三角形ABC中，∠B90，ABa，O为AC中点，EOOF．求证：BEBF为定值．

AEOC

BFC【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AECFAB．

.

.实用文档.

AGE1D345OCHB2FK

【例6】 (2004河北)如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且

EAAF． 求证：DEBF．

ADEFBC

【补充】如图所示，在四边形ABCD中，ADCABC90，ADCD，DPAB于P，若四边形ABCD

的面积是16，求DP的长．

D

CAPB

【例7】 E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF45，AHEF，H为垂足，求

证：AHAB．

AD

F

H

【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分BAFECB.

.实用文档.

交BC边于点E．

⑴求证：AFDFBE．

⑵设DFx(0≤x≤1)，ADF与ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S．若不存在，请说明理由．

ADFBEC

【补充】(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90，E、F分别是边BC、CD上的点，且

1∠EAF=∠BAD．求证：EF＝BEFD;

2ADFBC

E

(2) 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180，E、F分别是边BC、CD上的点，且

1∠EAF=∠BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．

2ABEFCD

.

.实用文档.

【习题1】 如图，已知ABC和ADE都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，试说明CE与ACCD相等的理由．

EA家庭作业

BCD

【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意

一点，过点D作DFDE交BC的延长线于点F．求证：DEDF．

AED

BCF

【习题3】 在梯形ABCD中，AB∥CD，A90，AB2，BC3，CD1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程．

CD

E

AB

【习题4】 已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．CG、CH分别是ACN、

MCB 的高．求证：CGCH．

NMGACBH

.

.实用文档.

【备选1】 在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动，

MQMP 交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化．

A

M

Q

CPB

【备选2】 如图，正方形ABCD中，FADFAE．求证：BEDFAE．

AD月测备选

FBEC

【备选3】 等边ABD和等边CBD的边长均为1，E是BEAD上异于A、D的任意一点，F是CD上一

点，满足AECF1，当E、F移动时，试判断BEF的形状．

D EACFB

.

.实用文档.

第五讲 轴对称和等腰三角形

A【例1】 在ABC中，ABAC，BCBDEDEA．求A．

E

D

BC

【补充】在ABC中，ABAC，BCBD，ADEDEB．求A． A

D

E BC

【例2】 ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若BACDAE150，求BAC．

A

DEBC

【例3】 如图，点O是等边AOAD内一点，AOB110，BOC．将△BOC绕点C按顺时针方

向旋转∴190°60°得△ADC，连接OD，则△COD是等边三角形；当为多少度时，△AOD是等腰三角形？

A

D

O

BC

.

.实用文档.

【例4】 如图，在ABC中，在AC上取一点E，使得ADEAED，BAD50，BC，D在BC上，

求EDC的度数．

A

E

BDC

【例5】 如图，ABC为等边三角形，延长BC到D，又延长BA到E，使AEBD，连接CE,DE，求证：

CDE为等腰三角形．

E

A BCD

【例6】 如图，在ABC中，B，C为锐角，M,N,D分别为边AB、AC、BC上的点，满足AMAN，

BDDC，且BDMCDN．求证：ABAC．

A

MN

B CD

板块三、轴对称在几何最值问题中的应用

【例7】 已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存

在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．

PAl【例8】 如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、

B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？

.

.实用文档.

ABa

A【例9】 如图，AOB45，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均

不同于O点)，求作Q、R，使得PQR的周长的最小．

CMNABPB【补充】如图，M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使PMN的周长最短．

【例10】 已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点 P，使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小．

【补充】已知：A、B两点在直线l的同侧， 在l上求作一点M，使得|AMBM|最小．

AlAOMBB.

.实用文档.

【补充】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，

使得|AMBM|最大．

【例11】 如图，正方形ABCD中，AB8，M是DC上的一点，且DM2，N是AC上的一动点，求

DNMN的最小值与最大值．

AD

M

N

BC

【补充】例题中的条件不变，求DNMN的最小值与最大值．

【补充】如图，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM2，N是AC上的一个动点，则

DNMN的最小值是

ADMBC

家庭作业

【习题1】 (2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ． 【习题2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的

底边的长为( )

A．17cm B．5cm C．17cm或5cm D．无法确定

【习题3】 已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，求x的取值范围．

【习题4】 (2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

.

.实用文档.

【习题5】 判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼

【备选1】 ABC的一个内角的大小是400，且AB，那么C的外角的大小是( )

A．140 B．80或100 C． 100或140 D． 80或140

【备选2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长．

【备选3】 (四川省竞赛题)如图，在等腰RtABC中，CACB3，E的BC上一点，满足BE2，在斜

边AB 上求作一点P使得PCPE长度之和最小．

A月测备选

PCEB

【备选4】 在正方形ABCD中，E在BC上，BE2，CE1，P在BD上，求PE和PC的长度之和的最

小值．

APE‘DAPDBEC

.

BEC

.实用文档.

第六讲 全等三角形中的截长补短

板块一、截长补短

【例1】 已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、

CD、BC的数量关系，并加以证明．

A

E DO

BC

【例2】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作DMN60，射

线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

N

AMBE

【例3】 AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为 ( )

A. a B. k C.

Dkh D. h 2DCAMB

.

.实用文档.

【例4】 已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

OA平分DOE．

DAEDFOBCBOCAADFBCE【例5】 以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：

E

【例6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是

顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．

A

N M

BC

D.

.实用文档.

【例7】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

A

B

C

ED板块二、全等与角度

【例10】 如图，在ABC中，BAC60，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数.

A

DB

【例11】 在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，

求BED.

A

E

DBCC.