1.
(1) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (2) {aa, ab, ba, bb} (3) {-1,1}
(4) {11,13,17,19,23,29} (5) {1,2,3,…,79} (6) {2}
2. 用描述法表示下列集合:
(1) 不超过200的自然数的集合;
{x|xNx200}
(2) 被5除余1的正整数的集合;
{x|xI+y(yNx5y1)}
(3) 函数y=sinx的值域;
{y|yR1y1}
(4) 72的质因子的集合;
{x|xNx|72y(yN2yxy|x)}
(5) 不等式
1
0的解集; x3
{x|xRx3}
(6) 函数y
1
的定义域集. 2
x3x2
{x|xRx1x2}
3. 用归纳定义法描述下列集合:
(1) 允许有前0的十进制无符号整数的集合; ① {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ② 如果xA，
则{0x,1x,2x,3x,4x,5x,6x,7x,8x,9x,x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}A (2) 不允许有前0的十进制无符号整数的集合;
① {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A
② 如果xA，则{x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9}A (3) 不允许有前0的二进制无符号偶数的集合; ① 1A
② 如果xA，则{x0,x1}A
(4) 5的正整数倍的集合. ① 5A
② 如果xA，则x5A
4. 判断下列命题中,哪些是真的,哪些是假的(A是任意集合): (1) A; (4) AA;
A; (2)
(5) AA;
(3) A{A}; (6) A{A};(7) {}.
答：(2),(3),(4)为真，(1),(5),(6),(7)为假。
5. 判断下列命题中哪些为真：
{,{}} (1) {,{}} (2) (3) {}{,{{}}}
(6) {{}}{,{}}
{{}}{,{}} (4) {}{,{{}}} (5)
{{}}{,{,{}}} (7) {{}}{,{,{}}} (8)
(9) {a,b}{a,b,{a},{b}} (11) {}
(10) {a,b}{a,b,{a},{b}}
(12) {} (13) (14) {}
答：(1),(2),(4),(6),(10),(11),(12),(14)为真，(3),(5),(7),(8),(9),(13)为假。
6. 设A和B是集合，AB和AB能同时成立吗？为什么？ 答：能。当BA{A}时，AB和AB同时成立。
7. 设A和B是集合，AB和BA能同时成立吗？为什么？
答：不能。若AB和BA同时成立，则我们能得到BB，而这是不可能的。
8. 设A，B和C是集合，若AB，且BC，则AC可能成立吗？AC是否总能成立？为什么？
答：AC可能成立。比如当B{A}，C{A,B}时，AB，BC和AC同时成立。但结论不是总成立。比如B{A}，C{B}时，AB且BC，但AC不成立。
9. 设A，B和C是任意集合，证明或否定下列断言： (1) 若AB，且BC，则AC
结论成立。因为xAxBxC，所以AC (2) 若AB，且BC，则AC
结论不成立。例如当A{a},B{a,b},C{a,b,c}时，有AB，且BC，但AC (3) 若AB，且BC，则ACs
命题为假。设B{A},C{B},易知AB，且BC，但AC (4)若AB，且BC，则AC
结论成立。(题目有误，应改为“若AB，且BC，则AC”)
AB∧BCA)A=φ
AB∧x( x∈A→x∈φ) x(┐(x∈A∨0) ┐x(x∈
10. 设A, B和C是任意集合. 证明或否定下列断言: (1) 若AB, 且BC, 则AC
答: 此断言不正确。例如当A={a}, B={a,b}, C={{a},c}时, 有AB和BC, 但AC (2) 若AB, 且BC, 则AC
答: 此断言不正确。例如当A={a}, B={{a},b}, C={{a},c}时, 有AB和BC, 但AC (3) 若AB, 且BC, 则AC
答: 此断言不正确。例如当A={a}, B={a,b}, C={{a},c}时, 有AB和BC, 但AC (4) 若AB, 且BC, 则AC
答: 此断言不正确。例如当A={a}, B={a,b}, C={{a},c}时, 有AB和BC, 但AC
11. 证明：A当且仅当A
证：必要性. 因为A和同时成立A，所以A. 充分性. 因为空集是任何集合的子集, 而A, 所以A
12. 确定下列哪些集合是相等的: A1={a,b} A2={b,a} A3={a,a,b} A4={a,b,c}
A6={a,b,d} A7={x|{x2-(a+b)x+ab=0} A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} 答: A1, A2, A3, A7相等, A4与A5相等.
13. 设n个集合A1, A2,…An满足关系A1A2...AnA1. 证明: A1= A2=…= An. 证: 对任意的2in从条件我们得到A1Ai和AiA1, 所以我们有AiA1, 因此A1= A2=…= An.
习题3.2
1. 设全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d} B={a,b,c}, C={b,d}. 求下列各集合:
(A)(B) ABC (3) (1) ABC (2) ABC (4)
(5) (AB)(BC) 解：(1) ABC{a} (2) ABCU (3) ABC{b,d} (4)
(6) (AB)C
(7) A(BC)
(A)(B){{d},{a,d}}
(5) (AB)(BC){a,c,d} (6) (AB)C{b,d} (7) A(BC){a,d,e}
2. 设A, B和C是集合，试把ABC表示成各不相交的集合之并. 解：ABCA(BA)(CAB)
3. 设A, B和C是集合.
(1) 若ABAC，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？
答：不一定。例如当Ａ＝Ｕ时，Ｂ和Ｃ可以是任意集合。 (2) 若ABAC，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？
答：不一定。例如当A时，Ｂ和Ｃ可以是任意集合。 (3) 若ABAC，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？ 答：一定。 证明如下：
①若A，则AB和AC，从而Ｂ＝Ｃ.
②若A和B, 则ABAC等价于AACAC, 若xA, 则xAC, 因为xA, 所以xC, 说明AC, 并且AAC, 从而C ③若A并且B, 条件ABAC等价于ABABACAC, 则
xB(xBxA)(xBxA)
(xAxABAB)(xAxABAB) (xAxACAC)(xAxACAC) (xACxAC)(xAxAC)
xC 从而BC
同理可证CB 因此BC
4. 设{{a,b},{b,c},{a,c},}, 试计算: (1)
(2)
(3) {}
(4) {}
解: (1) {a,b,c} (2)
(3) {}{{a,b,c}}{a,b,c} (4) {}{}
5. 求下列集合的幂集： (1) {{}} 解:
({{}}){,{{}}}
(2) {a,b,c} 解:
({a,b,c}){,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
(3) {{a,b},{c}}
解：({{a,b},{c}}){,{{a,b}},{{c}},{{a,b},{c}}} (4) {,{},{{}}}
解:
({,{},{{}}}){,{},{{}},{{{}}},{,{}},{,{{}}},
{{},{{}}},{,{},{{}}}}
(5) {a,b,b} 解:
({a,b,b}){,{a},{b},{a,b}}
6. 判断下列哪些运算结果是对的, 那些是错的: (1) {}
(2) {}
(3) {}{,{}}{}
{,{}}{{}} (4) {,{}}{}{,{}} (5)
(6) {,{}}{{}}{}
答: (1),(3)和(6)是对的, (2),(4)和(5)是错的.
习题3.3
1. 证明下列各式： (1) A(BA)
证：A(BA)ABAAAB (2) A(BA)AB
证：A(BA)A(BA)(AB)(AA)(AB)UAB (3) A(BC)(AB)(AC)
证：A(BC)A(BC)A(BC)(AB)(AC)(AB)(AC) (4) A(BC)(AB)(AC)
证：A(BC)A(BC)A(BC)(AB)(AC)(AB)(AC) (5) (AB)CABC)
证：(AB)CABCA(BC)ABC)
2. 证明下列条件是相互等价的：
(2) (3) (1) AB ABU AB
证：若(1)成立，即AB，则有AB，ABBBU，则ABU，得(2). 若(2)成立, 即ABU, 则AB, 即AB, 得(3). 若(3)成立, 即AB, 则AB, 从而AB, 得(1). 因此(1),(2)和(3)是相互等价的.
3. 证明: (AB)B(AB)B当且仅当B 证
:
必
要
性
.
若
(AB)B(AB)B
, 由于
(AB)B(AB)B(AB)(BB)(AB)
,
(AB)B(AB)BABAB则有ABAB, 假设B, 则至少有
一个aB, 显然aAB和aAB, 这与ABAB矛盾, 因此B. 充分性. 当B时, 有(AB)BA和(AB)BA, 所以
(AB)B(AB)B
证毕.
4. 化简下列各式:
(1) ((AB)C)((AB)C)((AB)C)(ABC) 解: 原式=(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)
=(AB)(AB)A
(2) ((ABC)(AB))((A(BC))A)
解: 原式ABA(AB)A(AA)(BA)BA (3) (ABC)(ABC)(ABC)
解: 原式(AC)(ABC)(A(AB))C(AA)(AB)C
(AB)C
5. 给出下列公式成立的充分必要条件，并加以证明： (1) (AB)(AC)A 证
:
由
于
(AB)(AC)(AB)(AC)ABC
, 因此
(AB)(AC)A的充分必要条件是ABC
(2) (AB)(AC) 证
:
由
于
(AB)(AC)(AB)(AC)ABC
, 所以
(AB)(AC)等价于ABC, 等价于A(BC)U等价于ABC, 即(AB)(AC)的充分必要条件是ABC.
(3) (AB)(AC)A
证: (AB)(AC)A等价于(AB)(AC)A, 等价于ABCA, 所以
(AB)(AC)A的充分必要条件是ABC
(4) (AB)(AC)
证: (AB)(AC)等价于ABC等价于ABCU, 所以
(AB)(AC)的充分必要条件是ABC
(5) (AB)(AC)A
证：由于(AB)(AC)(AB)(AC)A(BC) 所以使上式成立的充分必要条件是ABC.
充分性. 若ABC, 则A(BC)A, 即(AB)(AC)A 必要性. 若(AB)(AC)A, 即A(BC)A, 则xAxA(BC)x(BC), 从而ABC (6) (AB)(AC) 证:
由于(AB)(AC)(AB)(AC)A(BC),
所以使
(AB)(AC)的充分必要条件是ABC
(7) ABAB
证: 使ABAB的充分必要条件是AB
必要性. 假设AB, 不妨设有一个元素aA,但aB, 则aAB,但aAB与
ABAB矛盾.
充分性. 当AB时, 显然有ABAB (8) ABB
证: ABB的充分必要条件是A和B均为空集.
充分性显然成立.
必要性. 反证, 若A不是空集, 则有一个元素aA, 若aB, 则aAB, 这与
ABB矛盾, 若aB, 则aAB, 也与ABB矛盾. 故A必须是空集.
若B不是空集, 则有一个元素bB, 由ABB知bA, 则bAB, 这与ABB
矛盾, 故B必须是空集. (9) ABBA
证: ABBA的充分必要条件是A=B. 充分性显然.
必要性. 反证. 假设AB, 不妨设有aA,但aB, 则aAB,但aBA, 这与
ABBA矛盾. (10) ABA
证: ABA的充分必要条件是B
充分性显然.
必要性. 反证. 假设B不是空集, 则有bB, 若bA, 则bAB, 与ABA矛盾, 若bA, 则bAB,与ABA矛盾, 所以B必须是空集.
6. 证明下列各式: (1) A(AB)AB
证: A(AB)(AA)(AB)U(AB)AB (2) A(AB)AB
证: A(AB)(AA)(AB)(AB)AB
习题3.4
1. 对100名学生阅读3种杂志的情况进行调查, 结果发现: 60人阅读甲类杂志, 50人阅读乙类杂志, 50人阅读丙类杂志. 阅读其中两种杂志的人数均为30, 三种杂志都阅读的人数为10.试求:
(1) 阅读并且只阅读两种杂志的人数 (2) 不阅读任何杂志的人数.
解: 设A表示阅读甲类杂志的学生集合, B表示阅读乙类杂志的学生集合, C表示阅读丙类杂志的学生集合.
则|A|=60, |B|=50, |C|=50, |AB||AC||BC|30,|ABC|10
(1)
|(AB)(AC)(BC)||AB||AC||BC|
(|(AB)(AC)||(AB)(BC)||(AC)(BC)|)|(AB)(AC)(BC)| =30+30+30-30+10=70
阅读并且只阅读两种杂志的人数是70-10=60.
(2) |ABC||A||B||C|(|AB||AC||BC|)|ABC|
=60+50+50-(30+30+30)+10=80
所以不阅读任何杂志的人数是100-80=20.
2. 某班学生80人, 有30人参加日语考试, 42人参加法语考试, 25人两门考试均没参加. 问
有多少学生参加了两门考试?
解: 设A={x|x参加日语考试}, B={x|x参加法语考试}.
|A|=30, |B|=42, |AB|25, |AB||A||B||AB|3042(8025)17 有17人参加了两门考试.
3. 试求1到200之间能被2, 3, 5或7整除的整数个数. 解: 设S{x|xI,1x200},
A1{x|xS,x是2的倍数},A2{x|xS,x是3的倍数}A3{x|xS,x是5的倍数},A4{x|xS,x是7的倍数}
则我们要求|A1A2A3A4| 根据容斥原理我们知道
|A1A2A3A4||A1||A2||A3||A4|
(|A1A2||A1A3||A1A4||A2A3||A2A4||A3A4|)
(|A1A2A3||A1A2A4||A1A3A4||A2A3A4|)|A1A2A3A4|
容易得到|A1|=99, |A2|=66, |A3|=39, |A4|=28, |A1∩A2|=33, |A1∩A3|=19, |A1∩A4|=14, |A2∩A3|=13, |A2∩A4|=9, |A3∩A4|=5, |A1∩A2∩A3 |=6, |A1∩A2∩A4 |=4, |A1∩A3∩A4 |=2, |A2∩A3∩A4 |=1, |A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4 |=0
则|A1∪A2∪A3∪A4 |=(99+66+39+28)-(33+19+14+13+9+5)+(6+4+2+1)=153
所以1到200之间能被2, 3, 5或7整除的整数有153个。
4、设A={学日语的学生}, B={学法语的学生}，C= {学英语的学生}
则|A|=32, |B|=20, |C|=45, |A∩B|=7, |A∩C|=15, |B∩C|=10, |¯A∩¯B∩¯C |=30, |U|=100， (1) 所求学生人数=|A∩B∩C |=| A∪B∪C|-|A|-|B|-|C|+ |A∩B|+ |A∩C|+|B∩C|
|U||ABC||A||B||C||AB||AC||BC|10030322045715105
（2）只学日语的学生人数=
|ABC||A||A(BC)||A||(AB)(AC)||A|(|AB||AC||ABC|) 32（7155）15
类似可得只学法语的学生人数=|ABC|=8 只学英语的学生人数=|ABC|=25
（3）所求学生人数=|ABC||ABC||ABC||ABC| =70-15-8-25=22
或者=|ABC||ABC||ABC||ABC|
=(7-5)+(15-5)+(10-5)+5=22
习题3.5
1. (1){ (2){< (3){< (4){<,a>,<,b>,<{a},a>,<{a},b>,<{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b},b>} 2.该命题不一定成立，如A={a,b},B=C={a},(A×A)－（B×C）={ 4.xB，aA, 6. A=A×A=，A×A=B×BB×B=B=,故A=B A ，xA， 7. 若A=，则显然成立。若A，当B=时，显然成立；当B时， （x,y）ABxA,yBC 8. (1)原式不成立。如(CD)={ A={a},B={b}.C={c}.D={d},(A B)× （2）若A,B,C,D至少有一个为，则显然成立，若A,B,C,D， 则 故原式成立 （3）原式不成立，如A=B={a},C={c}.D={d},(A－B)×(C－D)=,(A×C)－(B×D)={ (AB)×(CD)={ xA,xB,yC 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容