关于一阶常微分方程积分因子的求法

关于一阶常微分方程积分因子的求法

摘 要

目前关于一阶常微分方程积分因子的求解方法介绍比较零散，一般的教科书中大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间.一阶常微分方程灵活多变，有多种不同的方程类型，因而可针对不同类型的方程，研究与其适应的求解方法. 本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地总结出一些较为规律的求解方法：观察法、公式法和分组法，给出这些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，通过对这三种方法的研究，解决了某些一阶常微分方程的求解问题.

关键词 一阶，积分因子，全微分方程，观察，公式，分组，通解

The Solution about First Order Differential

Equation of Intergral Factor

ABSTRACT

At present about first order differential equations solving method of integral factor is introduced, the comparison scattered in general mostly confined to a textbook, such as some simple formula general give only contain x or y unary function of integral factor of the situation, rarely involve the condition of dual integral factor of sapce and no system, so overall summary of integral factor of sapce has broad research space. A flexible and order ordinary differential equations, and there are many different types of the equation, thus the equation of different types, with the solving method to study. This topic will be based on the definition and properties of integral factor, through different classification method and

way of integrating factors in original for the foundation, on the various sapce for deepening and expanded, systematically summarizes some relatively regular solution: observation, formula and grouping law, given these methods using conditions, and feasibility of the method is proved that combined with concrete problems are discussed, based on the three methods to study and resolve some of the first order differential equation problem solving.

KEYWORDS first-order, Integral factor, observation, formula, grouping,general solution.

目 录

1 引言……………………………………………………………………………………1 2 几种变系数齐次线性方程的求解方法…………………………………………1

2.1 降阶法……………………………………………………………………………1 2.2 常系数化法…………………………………………………………………………8 2.3 幂级数法…………………………………………………………………………17 2.4 恰当方程法 ………………………………………………………………………20

3 结束语 ………………………………………………………………………………23 4 致谢语………………………………………………………………………………23 参考文献 ………………………………………………………………………………24

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1 引 言

常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一。其主要的研究问题是对常微分方程求解。在常微分方程理论中, 一阶常微分方程是微分方程的基础，在常微分中占有举足轻重的地位，一阶常微分方程的初等解法主要有两种:一是利用变量代换法,将方程化成变量分离型方程求解;另一种就是找出方程的积分因子,将方程化为全微分方程进行求解。这种利用积分因子将方程化为全微分方程进行求解的方法既灵活又难掌握,所以系统地研究积分因子的求法很有必要且是非常有意义的。

通过对相关资料的查阅及分析，现有的教材对一阶微分方程的积分因子的求法都有介绍，但大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间。

本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地讨论一阶微分方程的积分因子的求解方法（观察法、公式法及分组法），给出一些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，为解决某些非全微分方程的求解问题提供了更加快捷的工具，避免了某些方程的求解方法的繁琐及盲目。 2

几种一阶微分方程的积分因子的求法

2．1 观察法

对于一些简单的微分方程可通过适当分组，利用依一些常见的全微分方程公式观察可得到方程的积分因子，此法称之为观察法。

例2.1.1求解方程

dydxyxyx22 解：首先，使分母有理化，方程变为

dydx再写成对称式

x2y2x yydy

x2y2xdx0

4

青岛大学本科生毕业论文（设计）

即

xdyydy注意到方程的第一组为

x2y2dx0

12第一组可乘微分函数x2y2后仍为二元函xy2的全微分，2数的全微分方程.又注意到第二组形式为x2y2dx，因而取x2y2于是方程变为

1xy22

xdxydyxy即

22dx0

d或写

x2y2xc

y22cxc2

利用观察法求积分因子，首先要将方程进行适当的分组，若其中的一组为二元函数则方程可能有形如Ux,y的积分因子，Ux,y的全微分方程，Ux,y为可微函数，最终形式有方程的其他组的形式确定。

例2.1.2求解方程ydxx3x3y2lnydy0 解： 把方程重新组合为

ydxxdy3x3y2lnydy0

即

dxy3x3y2lnydy0

同样注意到方程的第一组为xy的全微分，第一组可乘微分函数xy1xym后仍为二元

函数的全微分方程.又注意到第二组形式为3x3y2lnydy，尽量化为关于y的微分方程，因而可取m3，即取于是方程变为

dxy1xy33

xy

33lnydy0 y5

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或

13ddlny0 22xyy故原方程的通解为

12xy且y0，x0，xy0也是方程的解

23lnyc

2例2.1.3 求解方程yx3y2x2dxx4xy48y3dy0 解：重新组合改写为

3243xy2xdx4xy8yydxxdydy0

第一个项是全微分dxy，因此设积分因子通式是xy，我们希望它也是第二项的积分因子，则应满足充要条件

N即

MNM xyyx4xy48y3yx3y2x2x'x34y4

4y所以

4x3xy2'x34y4

'则求得

1 xy2e以

1乘原方程，得 xy2xy2dxyelnxy21 xy2ydxxdyx2dx4y3dy0

xy2得通解为

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x33y43lnxy2c

利用观察法求方程的积分因子，必须熟悉一些常见的全微分方程公式.如 全微分方程xdxydy0，根据

22m1xy 122m22xydxyd2n12可以考虑的积分因子是：x2y2

m全微分方程是ydxxdy0，根据

xdyydx1d m1n1xyxy可以考虑的积分因子是：

m1xym

1111，，，，2222yxyxyx对于方程ydxxdy0（xdyydx0）有积分因子分别为1 全微分方程分别是： x2y2ydxxdyyd 2xxxydxxdyd y2yydxxdyxdln|| xyyydxxdydarctan22xyx yydxxdy1xydln|| x2y22xy例2.1.4求解方程2xyydxy2xydy0 解：把方程重新组合为

xdyydx2xy2dxy2ydy0

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进一步化为

1xdyydxy22xdx1dy0

yxdyydxy2dx2dylny0

第一组为xdyydx由上可知有多种积分因子使之化为全微分方程，注意到第二组

y2dx2dylny因而有积分因子

1，得 2yydxxdydx2dylny0 2y1 y2方程两边乘以

即

xddx2dylny0 y故原方程的通解为

xx2ylnyc y且y0也是方程的解

例2.1.5求解方程x3xy2xydxxydy0 解：经观察分组得

xx2y2dxxdxydyydxxdy0

1无论从xdxydydx2y2的角度考虑，还是ydxxdy的几种积分因子及将第一项关

2于x的微分方程，都可以找到方程的积分因子

1得

x2y2xdx

1 22xy故方程两边乘以

dx2y22x2y2ydxxdy0

x2y28

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11dx2lnx2y2arctan22故原方程的通解为

x0 y121xxlnx2y2arctan0 22y3xyxy1e例2.1.6解方程dxxdy0

解：各项重新组合为

ydxxdyxy31exdx0

首先考虑到第一项ydxxdy的几种常见的积分因子11111，，，，

x2y2x2y2xyx2y21，得 y2再由第二项xy31exdx尽量化为关于x的微分故方程两边同乘以

1xydxxdyxy1edx0 2yxdxy1exdx0 y注意到方程的第一组为xx的全微分，第一组可乘微分函数后仍为二元函数的全微yyxx分方程.又注意到第二组形式为xy1exdx，因而取

yy于是方程变为

xxdx21exdx0 yy积分得原方程的通解为

1x132xxx2x2ec 2y32另外y0也是解

注：有时积分因子并不是一次性的观察解决问题的，需多步观察以解决问题.如经重新分组得ydxxdyxy31exdx0，如果将第二项化为完全关于x的微分是行不通

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的，正就需要分步观察。

以上为几种常见的微分方程的积分因子，但通常所遇见的题目并不是（或不含有）以上几种简单的微分形式，这就需要熟练掌握微分计算，特别是二元微分。

2x4例2.1.7求解方程xyxcosydxxy2xysinydy0

2223解 将方程重新分组得

x2ydx2xydyxdxydyxxcosydx2sinydy0

222y2y2dx2xydy1根据第一项ydx2xydy由全微分方程d可知有积分因子 22xxx2方程两边同乘以

1，得 2xy2dx2xydyx2dxydyxcosydxsinydy0

x22即

y2x2y2ddxdcosy0

2x2故方程的通解为

y2y2x2xcosyc x22其中x0也是方程的解

利用观察法求积分因子将方程进行适当分组时，一般将相同次数的项分为一组，同时还要注意各项系数的关系，特别是分组后不能直接利用常见的全微分方程。

例2.1.8求解方程3xy32ydxx2y2xdy0 解：将原方程按次数重新分组有

3xy3dxx2y2dyxdy2ydx0 y23xydxx2dyxdy2ydx0

可以看出两组均不是二元函数的全微分，注意观察到第一组dx前的系数为3，dy的系数为1，因而方程两边同乘以x，得

y23x2ydxx3dyx2dy2xydx0

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y2dx3yxdy2ydx0

对于第一项y2dx3y将其化为全微分还需除去y2，故方程两边同时乘

x2dy2xydxdxy0

y231得 y2故原微分方程的通解为

x2xyc

y3还有解y0 2.2公式法

积分因子并非都是很容易观察出来的.一般地，设Mx,y，Nx,y及x,y都是连续可微的，对于微分方程Mx,ydxNx,ydy0，则积分因子x,y必须满足关系式：

MN yx或其展开式：

NMNM （*） xyyx这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程，要想通过解这方程来求积分因子，在一般情况下，将比求解原方程更困难.是，对若干特殊情况，求出（*）的一个特解还是容易的.所以这也就提供了寻求某些特殊形式的积分因子的一个途径。

定理：方程Mx,ydxNx,ydy0形式x,y的积分因子的充分必要条件

MNFdyxF且有积分因子e是

NMxy证明：设x,y是Mx,ydxNx,ydy0的积分因子，则方程

Mx,ydxNx,ydy0

为全微分方程的充分必要条件是

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N即

MNM （*） xyyx1MN NMxyyx这是关于未知函数为的一阶偏微分方程，令x,y，则有

1duduMN NMdxdyyx或

MNdyxd

NMxy令

MNyxF

NMxy则

d故得到

Fd

e得证

Fd

推论1 微分方程Mx,ydxNx,ydy0有形为x（只依赖于x）的积分因子的充分必要条件是

MNyxF1x N并且有

e

F1xdx

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例2.2.1求解方程x2y2xdxxydy0 解 因为所以

MNyx2yy1 NxyxMN2y y yx根据公式，的积分因子

dxexx

1原方程两端乘以x,得

x或写成

3xy2x2dxx2ydy0

x即

3x2dxxy2dxx2ydy0

111dx4x3x2y20

324因而方程的通解为

1413122xxxyc 432推论2 微分方程Mx,ydxNx,ydy0有形为y（只依赖于y）的积分因子的充分必要条件是

MNyxF2y.

M并且有

eF2ydy

推论3 令x,yaxby则微分方程Mx,ydxNx,ydy0有形为axby的积分因子的充分必要条件是

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MNyxF3axby.

aNbM并且有

eF3d，其中，a，b为不同为0的常数.

33例2.2.2求解方程x2xyy3dxy2xy2x3dy0

解：由题意得

N26y2xy6x2y xM23x2xy3xy2 yMN232xy2xyxy2xy

yxbMaN2xybxayxyby22ax2

3令a2，b1，得

MN3yxF2xy

bMaN2xy故积分因子为

e方程两边同乘以积分因子得

2xyd2xy312xy3

12xy化简得

3132xy32x3dy0 x2xyy3dxy32xyxdxydy12xy3xy3dx12xy232x3ydy0

xydx2y2d0

2xy故方程的通解为

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xyx2y2c

2xy2推论4 令x,yxy则微分方程Mx,ydxNx,ydy0有形为xy的积分因子的充分必要条件是

MNyxF4xy

yNxM并且有

e推论5 令x,y的充分必要条件是

F4d

xx则微分方程Mx,ydxNx,ydy0有形为的积分因子yyMNy2yxFx.

5yNxMy并且有

eF5d

推论6 令x,yxy则微分方程Mx,ydxNx,ydy0有形为xy的积分因子的充分必要条件是

MNyxFxy. 611MxyNxy并且有

e例2.2.3 求解方程y3dx2x2xy2dy0 解：由题意得

F6d

N4x2y2 xM3y2 y

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MN4x5y2 yx令1，2，有

Mxy1Nx1yx2y14x5y2

MNyxx2yFx2y1 11MxyNxy所以方程的积分因子为

x2ydx2y1xyex2y1

21方程两边同乘以上式得

22yy2dxdy0 x2yx故方程的通解为

即

11y212ydxdyc 21xyxy22lnyc

x方程还有解y0，x0

推论6 微分方程Mx,ydxNx,ydy0有形式为xy的积分因子的充分必要条件是

MNyxF6xy. 11MyNx并且有

eF6d

例2.2.4 求解方程4x34xy2ydx2x22yxdy0 解：由题意得

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M4x2 yN4x1 xMN3 yxMy1Nx14x34xy2yy12x22yxx1

令2，1，得

My1Nx12x2y

MN3yx Fx2y112MyNx2xy所以方程的积分因子为

xye22x2ydx32yxy

232积分因子乘原方程得

x故方程的通解为

2y324x234xy2ydxxy232322xy22yxdy0

32x0xy4x34xy2ydx2yydyc

1即

4xy2122xxy2c

根据观察法和公式法我们可以解决一下三类特殊方程积分因子的求法 ① 线性方程

Pxdxdy PxyQx的积分因子为edx证明：把方程改写为

dyPxyQxdx0

可见现在MPxyQx，N1，因此

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MNyxPx N根据公式法可知方程有积分因子

ePxdx

② 齐次方程Mx,ydxNx,ydy0，则积分因子为

1 xMx,yyNx,y0

xMx,yyNx,y这里Mx,y,Nx,y都是关于x，y的m次齐次函数

证明：对方程Mx,ydxNx,ydy0作变换yx，方程可化为

Mx,xdxNx,xddxxd0

利用Mx,y，Nx,y的齐次性，上述方程改写为

m1xmM1,N1,dxxN1,d0 于是容易看出此方程的积分因子为

1xmM1,N1,0 mxM1,N1,代回原变量，即得方程的积分因子

③ 贝努利方程证明：将

1

xMx,yyNx,ydyn1Pxdx PxyQxynn0,1的积分因子为ynedxdyPxyQxynn0,1改写为 dxdyPxydxQxyndx0

乘以yn得

yndyPxy1ndxQxdx0

由推论1得

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MNnyxn1Pxyn1Px Nyn故方程的积分因子为

e2.3 分组法

n1Pxdx

有些方程项数较多形式复杂，用观察法和公式法都难以求解积分因子，对于这种方程可以将方程分组，从每一组的求解出发，使问题由大化小、由繁化简。在介绍分组法之前给出以下定理

定理2 如果是方程的一个积分因子，且

MdxNdydU

则U也是方程的积分因子。里U是任一可微函数。

证明： 用U乘Mx,ydxNx,ydy0的左端，得到

UMdxUNdyUMdxNdydd故，U是方程的积分因子。

d

所以如果方程Mx,ydxNx,ydy0的M、N中的项数较多，且比较复杂，不易直接求得它的积分因子。在这种情况下，宜把它的左端分成几组，比如分成两组：

M1dxN1dyM2dxN2dy0 （#）

然后，分别求得各组的积分因子1和2，于是就可以找的1，1，使得

1M1dx1N1dydU1 2M2dx2N2dydU2

这时根据以上定理可利用1，2求得整个方程的积分因子。具体得，设11U1，22U2分别是方程第一组和第二组的积分因子。如果能找到适当微分函数1、2，使得

11U122U2

那么，既是方程（#）的第一组积分因子，也是第二组的积分因子，因而也就是方程的积分因子。

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x2y2例2.3.1 方程3xdx1dy0

yx解：把方程改写成

x3y2dxdy3xdxdy0

yx容易求得

1x，U1xy

2y，U2x3y

为了使关系式

x1xyy2x3y

成立，取

xxyyx3y

其中、是待定常数.由

x1yx3y1

得到

13，1

解此方程，得2，1.于是得到原方程的积分因子积分因子为

x3y2

以x3y2乘原方程的两端，得到

xy233x5y2dxx3y2x6ydy0

这是全微分方程，利用公式，即得

于是，方程的通解为

x0x3y2x6y2xy3xydx32

2352x3y2x6y2c 32例2.3.2 求解方程y3dx2x2xy2dy0

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青岛大学本科生毕业论文（设计）

解：将原方程改写为

2x2dy2xy2dyy3dx0

由观察法容易看出第一项有积分因子通式

11y，考虑第二项构成的方程 x22xy2dyy3dx0

取1，乘左端得 x2yy22yy2dy2dxd0 xxx因此取前面通式中的1yy1，即

11y 1x2x2y就是原方程两项公共的积分因子，即

12x2dy2xy2dyy3dx0 2xy立即可得原方程的通解为

y22lnyc

x总结：运用分组法求积分因子时，常复杂的对称形式的方程进行适当分组，可根据观察法的技巧进行分组。 3 结 束 语

本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地讨论一阶微分方程的积分因子的求解方法（观察法、公式法及分组法），给出一些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，为解决某些非全微分方程的求解问题提供了更加快捷的工具，避免了某些方程的求解方法的繁琐及盲目。

微分方程在自然科学和技术科学的领域中都有着广泛的应用。同样,在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题。这些问题都可能会涉及到一阶微分方程的求解,因而就会涉及到一阶微分方程的积分因子的求法，因此,系统地研究一阶微分方程积分因子的

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青岛大学本科生毕业论文（设计）

求解方法对诸多领域所涉及到一阶微分方程的求解将有很大帮助。这样做可以大大减少求解一阶微分方程通解的计算量，使问题的处理更加快捷，有着重要的现实意义和实际应用价值。 4 致 谢 语

本论文是在导师孙丽强老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。在过去的两个月中，从确定题目到资料筛选再到撰写论文，各个环节都得到了孙老师无微不至的关心和帮助。孙老师严谨治学的精神和认真负责的态度，更是给我留下了深刻的印象，使我受益匪浅。在此对孙老师表示深深的敬意和由衷的感谢。

不积跬步何以至千里，本论文能够顺利的完成，也要感谢各位任课老师四年来的培养教育，正是有了他们的悉心帮助，我才能够很好地掌握和运用专业知识，并在论文中得以体现。因此，我要向青岛大学师范学院数学系的全体老师表示诚挚的感谢。

我还要衷心感谢我的父母，他们的鼓励和支持，是我不断进取的力量源泉。 最后衷心感谢所有给予过我帮助的人，感谢各位评委老师在百忙中抽出宝贵的时间评阅我的论文。

大学生活即将结束，四年的时光充实而难忘。在今后的日子里，我会满怀对学校对老师的深切感激，将自己的所学付诸实践，努力拼搏，积极进取，不辜负老师们的期望和培养。

参 考 文 献

[1]王高雄，等. 常微分方程[M]. 北京：高等教育出版社. 2008.

[2]钱祥征. 常微分方程解题方法[M]. 湖南：湖南科学技术出版社. 1985. [3]金福临，等. 应用常微分方程[M]. 上海：复旦大学出版社. 1991. [4]周尚仁，权宏顺. 常微分方程习题集[M]. 北京：高等教育出版社. 1986. [5]钱伟长. 常微分方程的理论及其解法[M]. 北京：国防工业出版社. 1992. [6]都长清，等. 常微分方程[M]. 北京：首都师范大学出版社. 1994. [7]山东师范大学. 常微分方程[M]. 济南：山东科学技术出版社. 1988.

[8]袁相碗，徐洪义，包雪松. 常微分方程[M]. 南京：南京大学出版社. 1994. [7]（俄）[9]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2002.

[10]A..亚尔丘克，（俄）戈洛瓦奇. 高等数学例题与习题集（四）常微分方程[M].北京：

22

青岛大学本科生毕业论文（设计）

清华大学出版社. 2005.

[11]贺建勋，王志成.常微分方程（上册）[M].长沙：湖南科学技术出版社，1979. [12]刘许成.复合型积分因子的存在定理及应用[J].阜阳师范学院学报，2003.20（6）：39-41.

[13]刘文武.两类微分方程的积分因子[J].黔南民族师范学院学报，2003.23（16）：10-23. [14]伍军.求解积分因子的几种方法[J].新疆师范大学学报（自然科学版）.2006，25（1）. [15]汤光宋.一阶齐次常微分方程的求解定理[J].长沙大学学报，2002，（16） [16]GuckenheimerJ,Holmes

P.Nonlinear

Oscillations,Dunamical

Systems,and

Bifurcations of Vector Fields. New York:Spring-Verlag,1983.

[17]Arrowsmith D K,Place C M.Dynamical,Differemtial equations,maps and chaotic behaviour.London:Chapman & Hall,1992.

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