线性代数总复习题2

一、单项选择题

11D11011110111101. n 行 列 式

1 的 值 为

n1(1)A.1 B.

C.0 D.-1

22. 设n 阶 矩 阵 A满 足A0,E 是n 阶 单 位 矩 阵， 则：______

A.EA0,但EA0

B.EA0 但EA0

C.EA0,且EA0

D.EA0 且EA0

t(27531)3. 设 t() 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则 t(3147265)(1) =

A.10 B.12.

C.0. D.11.

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121212A212,B314,CcijAB.3402054. 设 则c23______

A.22 B.10

C.3 D.1

123F014,E(3(2))2305. 设 是 3 阶 给 单 位 矩 阵 的 第3 行( 列) 乘 以2 所

得 的 初 等 方 阵, 则 E(3(2))F 等 于 ______

132041.203 B. A. 123230.014

123014.460 D. C. 126018.230

6. 设 A为 n阶 阵， 秩 (A)n3 ,且1,2,3 是AX0 的 三 个 线 性 无 关 的 解 向 量 , AX0的 基 础 解 系 为 ：______

A.12,23,31 B. 21,32,13

1 221,32,132C. D. 123,32,123

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7. 设A 为 mn矩 阵， 且mn, 若A 的 行 向 量 组 线 性 无 关，b为m 维 非 零 列 向 量， 则______

A.AXb有 无 穷 多 解 B.AXb 仅 有 唯 一 解,

C.AXb无 解 D.AXb仅 有 零 解.

t(75132)t(6312)t(231)8. 设 t()表 示 排 列 的 逆 序 数, 则

A.0 B.1

C.2 D.2

9 设 n 维 向 量 组 1,2,,m 线 性 无 关， 则 ：______

A.组 中 增 加 一 个 任 意 向 量 后 也 线 性 无 关

B.组 中 去 掉 一 个 向 量 后 仍 线 性 无 关

mC.存 在 不 全 为0 的 数 k1,,km， 使

kii0i1

D.组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余 向 量 线 性 表 示

4 ，3、10. 设 三 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 1、 则 A 的 伴 随 矩 阵 的 特

征 A*值 为______

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11A.12、4、3 B.1、3、4

C.2、5、6 D.1、6、9

mnXB(mn) 对 于 任 意m 维 列 向 量 B都 有 解， 则11. 若 方 程 组A______

A.R(A)n. B.R(A)m.

C.R(A)n. D.R(A)m.

100103AB110,A211001121,则B1______ 12. 设且

310113112231121131 B. A.103112311211321121 D. C.13. 设 t() 表 示 排 列 的 逆 序 数, 则t(134782695)

A. 1 B.2

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C.3 D.10

a11x111a1x1211ax32有无穷多个解，则a______ 14. 已知线性方程组(A) 2； (B) 2； (C) 1； (D) 1.

11D111111111115. n阶（n>1）行列式

1111 的值为______

(A) 0 （B） 1

n1 （C） (1) （D） -1

16. 已 知 向 量 组1,,m 线 性 相 关， 则______

A.该 向 量 组 的 任 何 部 分 组 必 线 性 相 关

B. 该 向 量 组 的 任 何 部 分 组 必 线 性 无 关

C.该 向 量 组 的 秩 小 于m

D.该 向 量 组 的 最 大 线 性 无 关 组 是 唯一 的

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mnXB 有 解 的 必 要 条 件 是______ 17. 线 性 方 程 组AA.B0 B. mn

C. mn

D. R(A)R(A|B) (其 中(A|B) 表 示 方 程 组 的 增 广 阵)

18. 设 向 量 组1,2,3,4 线 性 无 关， 则______ A.12 , 23 , 34 , 41 , 线 性 无 关 B.12 , 23 , 34 , 41, 线 性 无 关 C.12 , 23 , 34 , 41, 线 性 无 关 D.12 , 23 , 34 , 41 , 线 性 无 关

19. 设 D 为 九 阶 行 列 式, 数, 则t(1234567)D 等 于

t(k1,k2,,k9) 表 示 k1,k2,,k9 排 列 的 逆 序

A.1 B.D

C.0 D.1

（k,1,1),2（0,2,3),3（1,0,1),20. 设1如它们线性相关，则k =_____

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(A) 1/2 ； (B) -1/2；

(C) 2 ； (D) －2。

21. 向量组1(1,2,3,4),2(2,3,4,5),3(3,4,5,6),4(4,5,6,7),则向量组1,2,3,4的秩为_____

(A) 1； (B) 2；

(C) 3 ； (D) 4 。

123Q24t369，则关于Q的秩的下列结论 22. 已知

（1）t6时，Q的秩为1； （2） t6时，Q的秩为2；

（3）t6时，Q的秩为2； （4）t6时，Q的秩为1．

中有_____个是对的．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Aa0,则A*23. 设 A 为n 阶方阵，且 。

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1n1n(A) a (B) a (C) a (D) a

24. n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充要条件是 。

（A）所有k级子式为正(k1,2,n) (B) A的所有特征值非负

（C）A为正定矩阵 （D）r(A)n

125. n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是 。

（A） 矩阵A 有n 个特征值。

（B）矩阵A的行列式A0。

（C）矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。

（D）矩阵A的秩为n 。

二、填空题

1. 已 知 1i25j47 为 偶 排 列,

则 i__________ , j___________.

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abba000000ab2. 行 列 式 00ba_______________.

3. 如 果 向 量 组I的 某 个 部 分 组 线 性 相 关， 那 么 向 量 组I 本 身 线 性________ 关。

x1132xxx1=___________. 4. 行 列 式

222(1,a,a),(1,a,a),(1,a,a11222333), 则当 常 数a1,a2,a3 满 5. 已 知 向 量 组1足________________________ 时 该 向 量 组 线 性 无 关。

6. 设 向 量(3,4,2,4), 则 的 长 度 等 于__________________.

7. 设 A 为mn 矩 阵， 当 非 齐 次 线 性 方 程 组AXb 有 解 时 ,它 有 唯 一 解 的 充 要 条 件 是________.

8. 设 A,1,2,B,1,2 均 是3 阶 方 阵 ,,1,2 是三 维 列 向 量， 若

A2,B3,则A2B___________________.

9. 如 果 一 个 向 量 组 线 性 无 关， 那 么 它 的 任 意 一 个 部 分 组 线 性_______ 关。

10. 设1(1,k,0),2(0,1,k),3(k,0,1). 如 果 向 量 组1,2,3 线 性 无 关， 则 实 数 k 的取 值 范 围 是_________________.

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11. 设 t () 表 示 排 列 的 逆 序 数 , 则

t(n,n1,,1)t(2,4,6,,2n,1,3,,2n1)______________.

22f(x,x)2x2x4kx1x2为正定二次型，则k的取值范围为 121212. 设二次型

a00000b00c0013. 行 列 式 000d________________.

114. 设 三 阶 可 逆 矩 阵 A 的 特 征 值 是1、3、2， 则A1 的 特 征 值 为

_______________。

x12x2a1x22x3a2x32x4a3x3x2x32x4a415. 方 程 组 1有解的充要条件是___________________.

16. 设 向 量 组 11t,3,0 , 20,2t,2 , 31t,5,0 是 线 性 相 关 组， 则t_____________。

17. 设A1 2  n1 ,B1 2  n1  其 中, , 1,,n 是 n维 列 向 量，若

Aa,Bb 则AB__________________.

00318.

022111

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56321419. 3阶行列式

745元素a221的代数余子式_________ 。

200A010120. 设 006 , 则 A1 等 于 ___________.

21.已知5(1,0,1)3(1,0,2)(2,3,1)则＝（ 120001122.

032=_____________________。

120A01023.

001，则A1 (1,2,3)1124.

1 。 25. 设A为3阶方阵，且A4，则2A_____。

26．两个等价的线性无关向量组有___ __个数的向量。

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）

123423413412A27．设四阶行列式4123，ij是其i,j元的代数余子式，则

A31A32＋A33A34_______

ax1x13x1x22x33x3ax3000ax24x228. 线性方程组有非零解的充要条件是a满足_____

29. 设1(1,k,0),2(0,1,k),3(k,0,1). 如 果 向 量 组1,2,3 线 性 无 关， 则 实 数 k 的取 值 范 围 是________________

30. 设A为3阶方阵，|A| =

A*A22，则 |31|=________.

31．齐次线性方程组AX0的基础解系含有3个解向量，其中A是35矩阵，则秩

R(A)____。

32．两个等价的线性无关向量组有___ __个数的向量。

33．设A为n阶方阵，满足A3E0,则___一定为A的一个特征值。

三、简答题

1. 设 矩 阵 A及B 的 两 个 乘 积AB 和 BA都 存 在, 且ABBA ， 问A,B是 否 一 定 是 同 阶 方 阵， 为 什 么？

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2. 设1,2,3 是 齐 次 线 性 方 程 组AX0 的 基 础 解 系， 问

12,223,331 是 否 也 是 它 的 基 础 解 系? 为 什 么?¿

3. 在 秩 为r 的 矩 阵 中， 有 没 有 等 于 零 的r1 阶 子 式？ 举 例 说 明。

4. 如 果 将 n 阶 行 列 式 所 有 元 素 变 号， 问 行 列 式 如 何 变 化？ 5. 求 排 列nn121 的 逆 序 数，并 讨 论 它 的 奇 偶 性.

6. 判定二次型

222f(x1,x2,x3,x4)x12x214x37x46x1x24x1x44x2x3 是否正定。

7. 设 齐 次 线 性 方 程 组

11x11nxn0   xx0nnnn11 有 非 零 解， 记

111nb1ABn1nn , 问能否找到向量bn 使得方 程 组 ATXB有唯一解?

3x1x2x40x1x2x3x41x1x22x3x42x2x3x418. 试 将 方 程 组 2表 示 为 矩 阵 的 形 式.

9. 判 别 下 列 方 程 组 是 否 有 非 零 解:

x12x2x302x13x2x304xxx0231

56321410. 求3阶行列式

745元素a221的代数余子式

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四、计算题

13521211212:21031311231. 计 算

1213,B1212A301112302. 设 , 求 AB 及 BA

3. 计 算 行 列 式：

2D3151204110D1121121210120 10123262

0112

D112102211010 .

4.设1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1),及(2,0,0),试求数x1,x2,x3,使

x11x22x33.

5. 求 方 阵

0000A01510004200000 的 逆 矩 阵 .

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6. 设

1131A21170119， 求 A 的 秩 .

7. 求向 量 组的一个极大无关组及秩，并将其余向量用此极大无关组线性表示：

11,2,1 , 22,1,3, 33,0,4,45,1,6

11,2,1,1 , 21,2,1,0, 30,3,0,4,41,5,1,2

12,1,3,1TT，23,1,2,0，31,3,4,2T，44,3,1,1T

8.求 解 方 程 组

x2y3z4w4yzw3x3yw17y3zw3.

x1x2x3x40x1x2x33x40xx2x3x02341

xy3zw03xy3z4w0x5y9z8w0

4x1x23x3x402x13x2x35x40x2x2x3x02341

9．求矩阵X，满足

　　121010　X21　2　-111010

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10. 设

3121A,B3222 , 求 ABBA.

TTTT2（-2,1，5），3（1,1，4），（1，b,c）(a,2,10),111. 设向量组。试问：a,b,c满足

什么条件时，

（1）可由1,2,3线性表示，且表示法唯一； （2）不能由1,2,3线性表示；

（3）可由1,2,3线性表示，但表示法不唯一。

12. 设线性方程组

x1x2x312x1kx22x30kx2xxk231

（1）k为何值时，方程组有唯一解、无解；

（2）k为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解。

13. 用正交变换把二次型化为标准形, 写出所用的正交变换并确定该二次型的正定性：

22f(x1,x2,x3)2x1x24x1x24x2x3

2fx1,x29x124x1x26x2

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五、证明题

1223线性无关。1. 设1、2、3线性无关，证明123，2123，

2-1A满足AA2E0，证明A可逆，并求A。2．设方阵

3. 设A与B可交换， 且A可逆,A* 为A 的伴随矩阵, 试证明A*与B 也可交换.

4. 对 任 意 的n 阶 矩 阵A， 证 明AA' 为 对 称 矩 阵.

5. 若 A为 可 逆 的n阶 矩 阵，B 是n 阶 矩 阵， 且AB0, 证 明B0.

6. 证明上三角矩阵的特征值是它主对角线上的元素.

7．设A 可 逆， 证 明A 的 伴 随 矩 阵A* 可 逆, 并 求(A*).

8. 设向量1,2,,r的线性无关，非零向量与1,2,,r都正交，证明：与

1,2,,r线性无关。

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