简谈_几何画板_在高中数学教学中的应用

简谈󰀁几何画板󰀁在高中数学教学中的应用

李󰀁琼

(山西省实验中学,山西太原030002)

摘󰀁要:󰀁新课改对教师提出了更高的要求,我们力求改变数学课堂枯燥乏味的现状,激发学生的学习兴趣.与传统教学方法相比较,几何画板在数学课堂教学过程中有其独特的优势,它把多媒体教学与传统教学更好地结合在一起,使数学教学更形象、直观、易于掌握.本文主要通过两个实例来说明几何画板在高中数学教学中的应用.

关键词:󰀁高中数学;几何画板;多媒体

󰀁󰀁新的国家󰀁数学课程标准󰀁(修订稿)中明确指出:数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地

运用现代信息技术,要注意信息技术与课程内容的有机结合.要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响以及所具有的优势,大力开发并向学生提供丰富的学习资源,把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具,致力于改变学生的学习方式,使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去.

我省新课程改革已进入第三年,教师也越来越注重多媒体教学,但多以放映幻灯片为主,节省时间,缩减板书,从而增大课容量,看着紧凑热闹,但课堂效果不一定好.如何把多媒体教学与传统教学更好地结合在一起,使数学教学更生动形象、易于掌握?在多年的教学实践中,笔者发现󰀁几何画板󰀁在数学课堂教学过程中有其独特的优势.

󰀁几何画板󰀁提供了充分的手段帮助用户实现其教学思想,只要熟悉软件的简单的使用技巧,即可自行设计和编写应用范例.范例所体现的并不是编者的计算机软件技术水平,而是教学思想和教学水平.一般来说,对于有设计思路、操作较为熟练的老师,开发一个难度适中的课件只需5至10分钟.可见,用󰀁几何画板󰀁开发课件的速度非常快.正因为如此,老师们才能真正把精力用于课程的设计,而不是程序的编制上,才能使技术真正地促进和帮助教学工作,并进一步推动教育改革的发展.

󰀁几何画板󰀁是一个󰀁个性化󰀁的面向学科的工具平台.这样的平台不仅能帮助老师在教学中使用现代教育技术,而且能帮助学生更好地把握学科的内在实质,培养他们的观察能力、问题解决能力,发展他们思维能力.可以认为,类似󰀁几何画板󰀁这样的平台代表着教育类工具软件的一个发展方向,󰀁几何画板󰀁是最出色的教学软件之一.

下面通过三个实例,说明几何画板在教学中的应用.

1󰀁󰀂几何画板󰀁软件简介

󰀁几何画板󰀁(TheGeometers'Sketchpad®)是一个通用的数学教学环境,它为用户提供丰富而方便的创造功能,使用户可以随心所欲地编写出自己需要的教学课件.该软件尤其适用于几何教学,包括平面几何,解析几何,立体几何.它为老师和学生提供了一个观察和探索几何图形内在关系的环境.它以点、线、圆为基本元素,通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等,构造出其他较为复杂的图形.

2󰀁󰀂几何画板󰀁应用举例

2.1󰀁正弦定理

问题:在Rt󰀁ABC(角C为直角)中,存在边与角之间的等量关系a󰀁sinA=b󰀁sinB=c󰀁sinC=c,是不是在一般三角形中也存在这样的边角关系?如何检验结论是否成立?

解决方案:测量出各边的长度和各内角的度数

收稿日期:2011󰀁03󰀁02

作者简介:李琼(1982󰀁),女,山西翼城人,山西省实验中学教师,中教二级,硕士.

󰀁18󰀁󰀁山西师范大学学报(自然科学版)󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁2011年06月󰀁

代入检验.这在学生初步认识正弦定理的阶段是不可省略的,一定量的积累才能引起质变,这正是常用的归纳推理,也更符合学生的认知规律.

传统教学的不足:(1)学生画出任意一个三角形,需要用直尺和量角器对三条边和三个内角进行测量,测量数据有一定误差;(2)角度一般都不是特殊角,需要查表或用计算器计算其正弦值,再代入运算,运算结果也存在误差.

利用几何画板解决:(1)画出三个不共线的点,并用线段把它们连接起来,形成三角形ABC;(2)度量三个内角的大小及三条边的长度;(3)计算三个比值a󰀁sinA,b󰀁sinB,c󰀁sinC;(4)拖动顶点A,可以任意改变三角形的形状,从而引起三个内角及三条边的数值变化,可以观察到三组比值虽然在变,但总保持相等(图1).

技术支持:(1)几何画板最大的特色就是󰀁动态性󰀁,即可以用鼠标拖动图形上的任一元素(如点、线、圆等等),而事先给定的所有几何关系(即图形的基本性质)都保持不变.在上述三角形中,我们拉动其中的一个点,同时图形的形状就会发生变化,但仍然保持是三角形.(2)几何画板具有强大的计算功能,不仅能完成定值的计算,还能进行变量的计算.教师选择用几何画板完成检验过程,不仅省去了烦琐的度量计算,也积累了一定量的事实,让学生直观感受到结论的正确性.mBC=92cm=9.25cm

mAC=8.82cm󰀁m󰀁ABC=72.65󰀁=9.25cm

mBA=3.55cm󰀁m󰀁ACB=22.57󰀁=9.25cm

mBAsin(m󰀁ACB)mACsin(m󰀁ABC)

󰀁m󰀁CAB=84.79󰀁

mBCsin(m󰀁CAB)

解决方案:在平面内选定点F与定直线L,根据条件找到满足条件的点M,观察轨迹形状.学生可通过小组合作,讨论可行方案,找到尽量多的点M,最好是形成连续曲线,以方便观察.

传统教学的不足:(1)若用尺规作图,涉及到的一个距离是点到直线的距离,需要作垂线,找到垂足,再用直尺测量,不易操作;(2)找到的点M个数有限,且离散,与椭圆、双曲线的形成过程相比,不能形成连续曲线,不易通过观察得到结果.

利用几何画板解决:(1)画出一条直线L和一个定点F,且点F不在直线L上;(2)在直线L上取点P,过点P作L的垂线L1;(3)作线段PF,作线段PF的中垂线L2;(4)取L1与L2的交点,即为所求点M,并追踪点M的运动轨迹;(5)在直线L上拖动点P运动(或生成点P的动画,让其沿直线L反复运动),则形成点M的运动轨迹󰀁󰀁󰀁抛物线(图2).

技术支持:(1)随着对某个几何对象的拖动,已构建的几何关系仍保持有效,几何图形变成动态的.同时,通过动画功能可以自动完成拖动几何图形的工作,从而生成美观的或有趣的或很有启发性的图形,并且它们都是动态的.几何画板就是一个动态的几何学环境.(2)󰀁几何画板󰀁能由较简单的动画和运动通过定义、构造和变换,得到所需的复杂运动.使用便捷的轨迹跟踪功能,能清晰地了解目标的运动轨迹.椭圆和双曲线的形成可以通过实物模拟,但抛物线的实物模拟并不容易想到,且不易实现,利用几何画板的动态功能和追踪功能,解决了很多教师无法呈现抛物线形成过程的烦恼.

图1

图2

2.2󰀁抛物线及其标准方程

问题:平面内,动点M满足到定点F与到定直线L的距离之比为常数e(e>0),若01,M的轨迹为双曲线;若e=1,点M的轨迹是什么?2.3󰀁正态分布

问题:󰀁与󰀁对正态曲线的形状分别有怎样的影响呢?

解决方案:画󰀁与󰀁取不同值时的正态曲线,󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁李琼:简谈󰀁几何画板󰀁在高中数学教学中的应用󰀁19󰀁

观察󰀁与󰀁对曲线形状的影响.

传统教学的不足:需要从复合函数的角度分析函数图像的特点,虽然可以得出曲线的大致形状,但并不精确,改变󰀁与󰀁的值时,对应图象的变化基本靠想象来完成,过于抽象.

利用几何画板解决:(1)在x轴上取一点,过该的纵坐标,定义为󰀁;(2)在x轴上另取一点,过该点作垂直于x轴的射线,方向向上,在此射线上取点B,度量点B的纵坐标,定义为󰀁;(3)绘制密度函数的图像;(4)拖动点A和点B的位置,从而改变󰀁与󰀁的值,观察正态曲线的变化情况,总结󰀁与󰀁对曲线形状的影响(图3).

技术支持:(1)在中文版的坐标系功能下,使用者可绘制各种复杂的函数图象,并可通过参数变化,更深入地了解函数曲线.(2)通过对某个几何图形的度量(如线段的长度,点的纵坐标),可以定义需要的参数,并且通过对几何图形的改变实现参数的变化.

学生掌握知识.多媒体教学过程中,教师精心准备了幻灯片,Flash动画等课件,从而节省了部分板书的时间.但是随着课件的放映,教师会不自觉地加快讲解速度,使学生当堂接受、消化新知识的空隙时间减少,造成一部分学生跟不上教师的思路与速度.数学是一门尤其注重逻辑的学科,一步没有跟上进度,或更新的知识点,影响教学效果.

在󰀁正弦曲线󰀁的授课过程中,作者曾经在两个同类班级中分别采用了󰀁几何画板󰀁课件演示和学生动手实践两种方案.描点画图的过程相同:以x轴上某点为圆心画半径为1的圆󰀁等分该圆得到若干角󰀁等分区间[0,2󰀁]得到所描点的横坐标位置󰀁在圆中作出各角的正弦线󰀁把每条正弦线平移到区间中相应角的位置,得到点的坐标(即线段的另一端点)󰀁用光滑的曲线连接各点.使用课件演示的班级,在课堂上不仅画出了正弦曲线,还分析了曲线的一般性质,完成了简单练习,感觉课堂容量大,很充实.学生动手实践的班级,速度较慢,因为作图过程中暴露了很多问题,如平移正弦线时忽略了(0,0)点,导致错位;如用光滑曲线连接时,图象在各区间的凸凹性不正确.纠正错误和原因分析占用了很多时间,一节课只画出了函数图像,简单分析了定义域和值域,感觉课容量很小.但是在后续学习中发现,第二个班级对图像的掌握反而更好,第一个班的同学多数只记得图象的大致形状,具体细节部分的凹凸性总是搞错.可见,并不是所有的课都适合用课件,在大多数时候,传统的板书教学仍然是无法取代的,要针对教学内容仔细琢磨,认真设计.

另外,󰀁几何画板󰀁的操作虽然不是很难,但也

点作垂直于x轴直线,在此直线上取点A,度量点A许会对后面的学习造成很大的影响,导致衔接不到

图3

很有必要对教师进行相关培训,这需要一定的投入和时间.对于教师自身来说,首先要改变教学观念,切实体会到多媒体教学的优势;其次,才能静下心来认真学习,把自己的教学思想很好地体现在课件中.

如何把多媒体与传统教学更好地结合在一起,这将是一个需要长久研究的课题.作为一名数学教

3󰀁󰀁几何画板󰀁应用反思

使用󰀁几何画板󰀁辅助数学教学,可以通过具体的感性的信息呈现,给学生留下更为深刻的印象,使学生不再把数学作为单纯的知识去理解,而是能够

,PowerPoin,tExcel等常用软更有实感地去把握它.这样,既能激发学生的情感、师,不仅要掌握Word

培养学生的兴趣,又能大大提高课堂效率.当然,多件,还要掌握󰀁几何画板󰀁这样的一些专用软件,让媒体仅是教学的一种辅助手段,虽然它改变了过去󰀁一只粉笔一张嘴,教师从头讲到尾󰀁的教学模式,但也存在着一些问题.

如果课堂容量过大,速度过快,事实上并不利于

它们更好地为数学课堂服务.我相信,在我们的不懈努力下,一定能让几何画板发挥其最大作用,改变数学知识抽象难懂,数学课堂枯燥乏味的现状,让更多的学生喜欢数学,爱上数学!