(完整word版)有阻尼自由系统的振动分析

有阻尼自由系统的振动分析

实际系统振动时不可避免地存在阻力,因而在一定时间内振动逐渐衰止。阻力有多种来源，例如两个物体之间的干摩擦阻力、气体或液体介质润滑剂的两个面之间的摩擦力、由于材料的粘弹性而产生的内部阻力等中这些阻力统称为阻尼。其弹簧-质量系统模型图示如右图，因为有考虑影响故其运动方程应为：

(t)cu(t)ku(t)0 （1） 或 mu...减直至停的阻力、有等。在振动到阻尼的

(t)2ξωu(t)ω2u(t)0 （2） u其中2m 式(2）是一个常系数齐次线性微分方程

cx22x20 （3）

其通解为 x21

由上可知，式（2）的解与ξ的大小有关。对于ξ可分为以下四种情况简要讨论: 1、临界阻尼情况(ξ=1或C=2mω）

在这种情况下特征方程的根是一对重根：X1、2=-ω,

t0t] （4） 式（2）的通解是 u(t)e[u0(1t)u在这种情况下系统不发生振动。临界阻尼就是不产生振动的最小阻尼。 2、超阻尼情况（ξ＞1或C＞2mω）

0u0utu(t)e[uchtshdt （5） 0d此特征根是两个负实数。通解为

d式中d21，这种阻尼过大系统的运动是按指数规律衰减的非周期运动。 3、负阻尼情况(ξ＜0或C＜0）

阻尼本来是消耗能量的,负阻尼则表示系统在不断增加能量，这种情况下的运动是不稳定的，其振幅会越来越大，直到系统振动失效破坏.

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4、低阻尼或小阻尼情况（ξ＜1或C＜2mω）

0u0tu(sindtu0cosdt) （6) 此时特征根是两个复数，式（2）的通解为u(t)ed式中d12，由此可知，阻尼使系统自振频率减小，亦即使系统自振周期增大。由上式可看出，阻尼式振幅按指数规律衰减。

理论计算和工程应用中常采用阻尼比ξ来表示结构阻尼的大小,阻尼比ξ是阻尼系数和临界阻尼的比值。在实际工程结构中阻尼比ξ相对较小,最大阻尼比不超过0.20，因此实际工程结构动力计算中常不计阻尼对自振圆频率的影响，即ωd=ω在我国相关结构设计规范中,对于钢结构阻尼比ξ取0.02，钢筋混凝土结构阻尼比ξ取0。05.一般的耗能减震系统，加入阻尼器的动力系统阻尼比ξ一般为0.10—0。20。

阻尼一般来源于材料变形的摩擦，结构连接部位的摩擦和结构周围外部介质。关于阻尼力，根据不同的耗能机理，提出了不同的阻尼理论，其中主要有一下三种：

1、粘性阻尼，该理论认为阻尼力大小与速度成正比，方向与速度方向相反，也称为粘滞阻尼，可表示

(t)，其中FD（t)为阻尼力，c为粘性阻尼系数. 为:FD(t)cu2、复阻尼，又称为结构阻尼或材料阻尼，该理论认为在简谐振动中阻尼与位移成正比，其相位与速度相同，可表示为：FD(t)iku(t)，η为复阻尼系数，k为劲度系数，复阻尼能很好地反应材料内摩擦的耗能机理，故应用较多。

3、摩擦阻尼，该理论认为阻尼力就等于摩擦力，方向与速度方向相反，也称为干摩擦阻尼,可表示为：

FD(t)N(t)u(t) ， μ为摩擦系数，N为正压力，摩擦阻尼一般应用于摩擦力占主导地位的劲力系统中。 u由于自由振动反应受阻尼比影响较大，阻尼比大的动力系统其自由振动的衰减快于阻尼比小的动力系统，由此,我们可以通过结构的自由振动实验来获得结构阻尼比，若设自由振动的相邻周期的幅值为ui和

ui+1，我们能从中计算对数衰减率:

ylnuiui1212 （7）

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可求出阻尼比： y(2)2y2 （8)

考虑到实际结构的阻尼比ξ小于0。2，可以近似取121,则上式简化为： y2u1lni2ui1 （9） 相邻周期 （10） 间隔m个周期

y2mu1lni2muim利用公式c2m m为质量,亦可求出阻尼比。 3

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