２０１１年第１期 Ｎｏ．１。２０１１ 九江学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｊｉｕｊｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） （总第９２期） （Ｓｕｍ Ｎｏ．９２） 拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用 石富华李近 （九江学院理学院 江西九江３３２００５） 关键词：拉格朗日中值定理 函数极限 中图分类号：０ １７４文献标识码：Ａ文章编号：１６７４—９５４５（２０１１）Ｏ１—００４４一（０２） 拉格朗日中值定理在《高等数学》的理论分析与证明题中的作用是人所周知的，其中在一些函数极限 运算中，也可以借助该定理以方便计算．那么，如何运用拉格朗日中值定理于函数极限运算中呢？下面首先 了解拉格朗日中值定理放人内容． 定理…：若函数－厂（ ）满足如下条件： ①在闭区间［ａ，６］上连续； ②在开区间（ａ，ｂ）内可导： 则在（。，６）内至少存在一点 ，是使得 ）＝ （１）成立。 定理的结论式（１）也可变形为 ： 。＋ （６一。）） （ｏ＜０＜１） （２） 在函数极限运算中，若函数是‘ ”或：‘ ６）一ｆ（ａ）”两种形式，我们不妨构造满足拉格朗日 中值定理条件的函数，将所求简化，以便运算． 例１求ｌｉｍ 分析：对于这个题目，好多同学看到题目之后，发现所求极限的函数是“ ”型未定式，马上想到应用罗 比达法则解决．于是就有 解法１：２ ｍ ｛ Ｔ． ｅ 一ｅ＂＂％ｏｓｘ ］＿＝ ，． ｅ 一 ‘ Ｃ０￥ ＋ｅ＂￣ｓｉｎ ＝ｔｔｍ一 ＳＬｎＸ ． ｅ 一ｅＳｉ￣ｃｏ￥ ＋２ｅ 讯 ｃ０ ｓ ｎ ＋ｅｓｉ肼ｃ０ｓ ｓ ｒ｝ ＋ｅ ‘瞄ｃ０５ ＝ ，ｎ————～ — ＣＯＳＸ ＝１ 其实对例１中函数观察，可以发现它是 ”型，设满足定理的函数 ）：ｅｘ．下面笔者就来 ￡，一ａ 按该思路运算例１． 解法２：令厂（ ）＝ｅ ，易知该函数在区间［ ，ｓｉｎｘ］满足拉格朗日中值定理的条件．对该函数应用拉格朗 日中值定理得： 收稿日期：２０１０—１２一Ｏ１ 通讯作者：石富华，ｓｈｉｆｈｕａ０３０５＠ｑｑ．ｃｏｒｎ ２０１１年第１期 石富华：拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用 ·４５· ｅ 一ｅ“ ＝ ）一厂（ｓｉｎｘ）＝（ 一ｓｉｎｘ）ｆ（ｓｉｎｘ＋Ｏ（ｘ—ｓｉｎｘ））（０＜ ＜１）甚口： 专＝ ｓｉｎｘ＋ （ 一ｓｉｎｘ））（ｏ＜０＜１） 一Ｓｔ， ·‘ ．）＝ｅ 连续 ’．．ｚ ｓｉｎｘ＋ｏ（ｘ—ｓｉｎｘ））＝ ０）＝１ Ｕ ｓｉｎｘ 从而有：ｌｉｍ ｛—．０ —ＳＺ 戈 ：１ 注：在解法２熟练了之后，许多步骤都司以省略，与解法１相比简单得多，Ｆ面两个例子在应用拉格朗 日中值定理计算的步骤就比较简单． 例２：ｌｉｍ ｎ２（ 一 ）（口＞０，。≠１） 枷分析：通过观察，可以发现该题所求极限函数是‘ ６）一 口）’’型．令厂（ ）＝ｎ 易知该函数在区间［ ｎ， ］满足拉格朗日中值定理的条件．应用拉格朗日中值定理得：。告一口 ＝。ｆｚ乃口（ 一 １ ） ＜ ＜ ） 解：原式＝ ｌｉ ｍ ｎ２（ｎ 一。 ）ｌｉｍ ｎ２ａ￣ｆｎ口（ 一 １－－７）＝ｌｉｍ。 ｚ凡口＝ 口 －÷∞ 一＿＋∞ １ 一－÷∞ ｎ ｔ ＋ １Ｊ 例３：ｌｉｍ —．０ ｓ ｎ（ｔａｎｘ）一ｓ‘ｎ（Ｓｔｎ￣，） 分析：该题所求极限函数可以写成“ ｇＬ ｂ，一ｇ ａ ”．于是令 ）：ｆ口 ，ｇ（ ）： 船易知这两函数在 一 ’ Ｉ；－］［ｓｉｎｘ，ｔａｎｘ］满足拉格朗日中值定理的条件．对这连函数分别应用拉格朗日中值定理可得： ｔａｎ（ｔａｎｘ）一ｔａｎ（ｓｉｎｘ）＝ｓｅｃ １（ｔａｎｘ—ｓｉｎｘ）ｓｉｎｘ＜ １＜ｔａｎｘ） ｓｉｎ（ｔａｎｘ）一ｓｉｎ（ｓｉｎｘ）＝ｃｏｓ （ｔａｎｘ—ｓｉｎｘ）（ｓｉｎｘ＜ ＜ｔａｎｘ） Ｉ解．原式＝ 篙 ： １ ＝－ 当然对于例２也可以考虑应用罗比达法则进行运算，但运算过程比较繁琐． 以下几个题目，都可以通过应用拉格朗日中值定理来解决，在此就不做阐述，有兴趣的读者可以作为 练习． （￣ｌｉｍ＿ａｘ－１（口＞０口≠１）② 几 ￣／ｘ－）＠ｌｉｍ ～，—以上是我校教学实践中总结出的求极限方法，在高等数学求函数极限中，要具体问题具体分析，不必 拘泥于一种，一道题也许有多种解法．只要认真审题，仔细分析，灵活运用求极限方法才能很好地处理极限 的求解． 参考文献： ［１］同济大学应用数学．高等数学［Ｍ］．上海：同济大学出版社，２００４．１３２． （责任编辑胡安娜）
