河南省郑州市2016届高三数学二模试卷(文科) Word版含解析

2016年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x≥4}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁RA∩B=（ ） A．（4，+∞）

B．[0，] C．（，4） D．（1，4]

2．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（ ） A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0 3．定义运算|

|=ad﹣bc，则符合条件|

|=0的复数z对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．设θ为第四象限的角，cosθ=，则sin2θ=（ ） A．

B．

C．﹣

D．﹣

5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）

A．2014 B．2015 C．2016 D．2017 6．经过点（2，1），且渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切的双曲线的标准方程为（ ） A．

﹣

=1 B．

﹣y2=1

C．﹣=1 D．﹣=1

7．平面内满足约束条件y）的点（x，形成的区域为M，区域M关于直线2x+y=0

的对称区域为M′，则区域M和区域M′内最近的两点的距离为（ ） A．

B．

C．

D．

8．将函数f（x）=﹣cos2x的图象向右平移质（ ）

A．最大值为1，图象关于直线x=B．在（0，C．在（﹣

对称

个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性

）上单调递减，为奇函数 ，

）上单调递增，为偶函数

，0）对称

D．周期为π，图象关于点（

9．如图是正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

10．已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当0＜x≤1时，f（x）=log

x，则方程f（x）﹣1=0在（0，6）内的零点之和为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．16

11．若数列{an}中，满足：a1=1，a2=3，且2nan=（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1，则a10的值是（ ）

A．4 B．4 C．4 D．4

12．n∈[0，2]，向量=（2n+3cosα，n﹣3sinα） 对∀α∈R，的长度不超过6的概率为（ ）A．

B．

C．

D．

二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）

13．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．

14．已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1= ． 15．已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是 ．

16．在正三棱锥V﹣ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥

的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于 ．

三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．B、C所对的边分别为a、b、c，在△ABC中，角A、且满足cos2C﹣cos2A=2sin（•sin（

﹣C）．

+C）

（1）求角A的值；

（2）若a=且b≥a，求2b﹣c的取值范围．

18．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表： 年龄 [5，15） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） 5 10 15 10 5 5 频数 5 12 8 2 1 支持“生育二胎” 4 （1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”的支持度有差异：

（2）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 a= c= 支持 d= 不支持 b= 合计 参考数据： P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2=

．

19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1 （Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED； （Ⅱ）点P是线段EF上运动，且

=2，求三棱锥E﹣APD的体积．

20．已知曲线C的方程是mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），且曲线C过A（

）两点，O为坐标原点

（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），向量（=0，若直线MN过点（0，

，），B（，

x1， y1），=（x2， y2），且•

），求直线MN的斜率．

21．已知函数f（x）=．

（Ⅰ）讨论函数y=f（x）在x∈（m，+∞）上的单调性；

（Ⅱ）若m∈（0，），则当x∈[m，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在函数g（x）=x2+x的图象上方？请写出判断过程．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接BF并延长交CD于点E． （1）求证：E是CD的中点； （2）求EF•FB的值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]．

23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为

．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．

（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x+6|﹣|m﹣x|（m∈R） （Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）≥5的解集；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

2016年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x≥4}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁RA∩B=（ ） A．（4，+∞）

B．[0，] C．（，4） D．（1，4]

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B交集的补集即可． 【解答】解：由B中不等式解得：0≤x≤，即B=[0，]， ∵A=[4，+∞）， ∴∁RA=（﹣∞，4）， 则∁RA∩B=[0，]，

故选：B．

2．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（ ） A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0 【考点】命题的否定．

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0． 故选：A．

3．定义运算|

|=ad﹣bc，则符合条件|

|=0的复数z对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】直接利用新定义得到关于z的等式，求得z后得答案． 【解答】解：由题意可得，|

|=z﹣2（1+i）=0，

则z=2+2i，

∴复数z对应的点的坐标为（2，2），在第一象限． 故选：A．

4．设θ为第四象限的角，cosθ=，则sin2θ=（ ）

A． B． C．﹣ D．﹣

【考点】二倍角的正弦．

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2θ的值． 【解答】解：∵θ为第四象限的角，cosθ=，∴sinθ=﹣则sin2θ=2sinθcosθ=﹣

，

=﹣，

故选：D．

5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）

A．2014 B．2015 C．2016 D．2017 【考点】程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：当i=2015时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2014，S=2017； 当i=2014时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2013，S=2016； 当i=2013时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2012，S=2017； 当i=2012时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2011，S=2016； …

当i=2n+1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2n，S=2017； 当i=2n时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=2n﹣1，S=2016； …

当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，i=0，S=2017； 当i=0时，不满足进行循环的条件， 故输出的S值为2017， 故选：D

6．经过点（2，1），且渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切的双曲线的标准方程为（ ） A．

﹣

=1 B．

﹣y2=1

C．﹣=1 D．﹣=1

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设双曲线的方程为mx2﹣ny2=1（mn＞0），将（2，1）代入双曲线的方程，求得渐近线方程，再由直线和圆相切的条件：d=r，解方程可得m，n，进而得到双曲线的方程． 【解答】解：设双曲线的方程为mx2﹣ny2=1（mn＞0）， 将（2，1）代入方程可得，4m﹣n=1，① 由双曲线的渐近线方程y=±

x，

圆x2+（y﹣2）2=1的圆心为（0，2），半径为1， 渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切，可得：

=1，即为=3，②

由①②可得m=，n=，

即有双曲线的方程为故选：A．

﹣=1．

7．平面内满足约束条件y）的点（x，形成的区域为M，区域M关于直线2x+y=0

的对称区域为M′，则区域M和区域M′内最近的两点的距离为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域M，求出可行域M内到直线2x+y=0距离最近的点A的坐标，利用点到直线的距离公式求得A到直线2x+y=0的距离，则答案可求．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（1，1），

由图可知，可行域M内A点到直线2x+y=0的距离最小，为∴区域M和区域M′内最近的两点的距离为故选：D．

8．将函数f（x）=﹣cos2x的图象向右平移质（ ）

A．最大值为1，图象关于直线x=B．在（0，C．在（﹣

对称

．

，

个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性

）上单调递减，为奇函数 ，

）上单调递增，为偶函数

，0）对称

D．周期为π，图象关于点（

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性、周期性、单调性以及它的图象的对称性，得出结论．

【解答】解：将函数f（x）=﹣cos2x的图象向右平移（x﹣

）=﹣sin2x的图象，

个单位后得到函数g（x）=﹣cos2

显然，g（x）为奇函数，故排除C． 当x=在（0，

时，f（x）=0，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x=）上，2x∈（0，

对称，故排除A．

），y=sin2x为增函数，故g（x）=﹣sin2x为单调递减，

且g（x）为奇函数，故B满足条件． 当x=

时，g（x）=﹣

，故g（x）的图象不关于点（

，0）对称，故排除D，

故选：B．

9．如图是正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图求出正三棱锥的棱长、底面正三角形的边长，根据正三棱锥的结构特征求出三棱锥的高，即可求出侧视图的面积．

【解答】解：由题意知几何体是一个正三棱锥， 由三视图得棱长为4，底面正三角形的边长为2， ∴底面正三角形的高是

=3，

∵正三棱锥顶点在底面的射影是底面的中心， ∴正三棱锥的高h=∴侧视图的面积S=

=

=

，

=6，

故选：C．

10．已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当0＜x≤1时，f（x）=logA．8

x，则方程f（x）﹣1=0在（0，6）内的零点之和为（ ） B．10

C．12

D．16

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】可根据定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称⇒f（x+4）=f（x），再利用0＜x≤1时，f（x）=

≥0，数形结合，可求得方程f（x）﹣1=0在区间（0，6）

内的所有零点之和．

【解答】解：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称， ∴f（2﹣x）=f（x），又y=f（x）为奇函数， ∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4， ∵0＜x≤1时，f（x）=

≥0，

∴f（x）=1在（0，1）内有一实根x1，又函数f（x）的图象关于直线x=1对称， ∴f（x）=1在（1，2）有一个实根x2，且x1+x2=2； ∵f（x）是奇函数，f（x）的周期为4， ∴f（x）=1在（2，3），（3，4）上没有根；在（4，5），（5，6）各有一个实根x3，x4，x3+x4═10；

∴原方程在区间（0，6）内的所有实根之和为12． 故选：C．

11．若数列{an}中，满足：a1=1，a2=3，且2nan=（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1，则a10的值是（ ）

A．4 B．4 C．4 D．4 【考点】数列递推式．

【分析】令bn=nan，则由2nan=（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1，得数列{bn}构成以1为首项，以2a2﹣a1=5为公差的等差数列，由此求得数列{an}的通项公式得答案． 【解答】解：令bn=nan，

则由2nan=（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1，得2bn=bn﹣1+bn+1， ∴数列{bn}构成以1为首项，以2a2﹣a1=5为公差的等差数列， 则bn=1+5（n﹣1）=5n﹣4， 即nan=5n﹣4，∴，

则a10=

=4．

故选：C． 12．对∀α∈R，n∈[0，2]，向量=（2n+3cosα，n﹣3sinα）的长度不超过6的概率为（A．

B．

C．

D．

【考点】几何概型．

【分析】根据向量长度的关系，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】解：若向量=（2n+3cosα，n﹣3sinα）的长度不超过6， 即||≤6，

即（2n+3cosα）2+（n﹣3sinα）2≤36， 整理得5n2+6n（2cosα﹣sinα）≤27， 即6ncos（α+θ）≤27﹣5n2， 即当n=0时，不等式成立，

当n≠0时，不等式等价cos（α+θ）≤

，

要使cos（α+θ）≤恒成立，则1≤，

即5n2+6n﹣27≤0， 得

≤n≤

，

∵n∈[0，2]， ∴0＜n≤， 综上0≤n≤

，

则对应的概率P==，

故选：C

二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）

13．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为 2x﹣y+1=0 ．

）

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可． 【解答】解：y′=3x2﹣1， 令x=1，得切线斜率2，

所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1）， 即2x﹣y+1=0．

故答案为：2x﹣y+1=0．

14．已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1= ﹣1 ． 【考点】等比数列的通项公式．

【分析】由a5是a3与a11的等比中项，可得即可得出．

【解答】解：∵a5是a3与a11的等比中项， ∴∴

=a3a11，

=（a1+2）（a1+10），

=a3a11，

=（a1+2）（a1+10），解出

解得a1=﹣1．

故答案为：﹣1．

15．已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是 3 ． 【考点】基本不等式．

【分析】用x表示y，得到2x+y关于x的函数，利用基本不等式得出最小值． 【解答】解：∵x2+2xy﹣3=0，∴y=

，

∴2x+y=2x+==≥2=3．

当且仅当即x=1时取等号．

故答案为：3．

16．在正三棱锥V﹣ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于 2 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】由于正三棱锥的侧面为全等的等腰三角形，故侧面与球的切点在棱锥的斜高上，利用等积法得出棱锥的高与棱锥底面边长的关系，得出棱锥的体积关于高h的函数V（h），利用导数与函数的最值得关系计算V（h）的极小值点．

【解答】解：设△ABC的中心为O，取AB中点D，连结OD，VD，VO， 设OD=a，VO=h，则VD=

=

．

AB=2AD=2．

过O作OE⊥VD，则OE=2， ∴S△VOD=∴ah=2

，整理得a2=

，

（h＞2）．

∴V（h）=S△ABC•h=

a2h=a2h=

．

∴V′（h）=4×=4×．

令V′（h）=0得h2﹣12=0，解得h=2．

当2＜h时，V′（h）＜0，当h时，V′（h）＞0， ∴当h=2时，V（h）取得最小值． 故答案为2．

三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．B、C所对的边分别为a、b、c，在△ABC中，角A、且满足cos2C﹣cos2A=2sin（•sin（

﹣C）．

+C）

（1）求角A的值；

（2）若a=且b≥a，求2b﹣c的取值范围． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．

【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可解得：cos2A=﹣，结合2A∈（0，2π），可得A的值．

（2）由b≥a，由（1）可得：A=，又a=，由正弦定理可得：sin（B﹣

），结合范围B﹣

=2，从∈[

，

而利用三角函数恒等变换的应用可得2b﹣c=2），可得2b﹣c取值范围．

【解答】解：（1）∵cos2C﹣cos2A=2sin（=2（

cosC+sinC）（

cosC﹣sinC）

+C）•sin（﹣C）

=cos2C﹣sin2C =•=+cos2C，

∴﹣cos2A=，解得：cos2A=﹣． ∵A∈（0，π），2A∈（0，2π）， ∴当2A=当2A=

时，解得：A=时，解得：A=

， ．

，

﹣•

（2）∵b≥a，∴A为锐角，由（1）可得：A=又∵a=

，

=

∴由正弦定理可得：=2，

∴2b﹣c=2（2sinB﹣sinC）=4sinB﹣2sin（cosB=2∵B∈[∴2b﹣c=2

sin（B﹣，

），

∈[）∈[

，，2

﹣B）=4sinB﹣（cosB+sinB）=3sinB﹣

），B﹣sin（B﹣

），可得sin（B﹣）．

）∈[，1），

18．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表： 年龄 [5，15） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） 5 10 15 10 5 5 频数 5 12 8 2 1 支持“生育二胎” 4

（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”的支持度有差异：

（2）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？ 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 a= c= 支持 d= 不支持 b= 合计 参考数据： P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 K2=

．

【考点】性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；

（2）利用列举法确定基本事件的个数，即可得出恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率． 【解答】解：（1）2×2列联表 合计 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 a=3 c=29 32 支持 d=11 18 不支持 b=7 40 50 合 计 10 … ＜6.635…

所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”的支持度有差异．… （2）设年龄在[5，15）中支持“生育二胎”的4人分别为a，b，c，d，不支持“生育二胎”的人记为M，…

则从年龄在[5，15）的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，M），（b，c），（b，d），（b，M），（c，d），（c，M），（d，M）．… 设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件A，… 则事件A所有可能的结果有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）， ∴

．…

所以对年龄在[5，15）的被调查人中随机选取两人进行调查时，恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为．…

19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1 （Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；

（Ⅱ）点P是线段EF上运动，且=2，求三棱锥E﹣APD的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）根据平面几何知识计算AB，BD，根据勾股定理的逆定理得出AD⊥BD，由平面BFED⊥平面ABCD得出AD⊥平面BFED；

（2）以△PDE为棱锥的底面，则AD为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算． 【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，

∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，

∴AB=2．∴BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos120°=3． ∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD．

∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，AD⊂平面ABCD，DE⊥DB， ∴AD⊥平面BFED．

（2）∵四边形BFED为矩形，∴EF=BD=，DE=BF=1， ∵

=2，∴

=

=

．

，

=

．

∴S△PDE=

∴VE﹣APD=VA﹣PDE=

20．已知曲线C的方程是mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），且曲线C过A（

）两点，O为坐标原点

（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），向量（=0，若直线MN过点（0，

，），B（，

x1， y1），=（x2， y2），且•

），求直线MN的斜率．

【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）将A，B代入曲线C的方程，解方程组，可得m=4，n=1，即可得到所求曲线的方程；

（Ⅱ）设直线MN的方程为

，代入椭圆方程为y2+4x2=1，运用韦达定理，由向量

的数量积的坐标表示，化简整理，解方程可得所求直线的斜率．

【解答】解：（Ⅰ）将A，B代入曲线C的方程，可得：，

解得m=4，n=1．

所以曲线C方程为y2+4x2=1； （Ⅱ）设直线MN的方程为

．

，代入椭圆方程为y2+4x2=1得，

∴∴

，

=（2x1，y1）•（2x2，y2）=4x1x2+y1y2=0，

）（kx2+

）=k2x1x2++

，

k（x1+x2），

由y1y2=（kx1+

∴

即

21．已知函数f（x）=

．

．

（Ⅰ）讨论函数y=f（x）在x∈（m，+∞）上的单调性；

（Ⅱ）若m∈（0，），则当x∈[m，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在函数g（x）=x2+x的图象上方？请写出判断过程．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出f（x）在[m，m+1]的最小值，问题转化为判断ex与（1+x）x的大小，其中

，令m（x）=ex﹣（1+x）x，根据函数的单调性判断即可．

【解答】解：（Ⅰ），

当x∈（m，m+1）时，f′（x）＜0，当x∈（m+1，+∞）时，f′（x）＞0， 所以f（x）在（m，m+1）递减，在（m+1，+∞）递增； （Ⅱ）由（1）知f（x）在（m，m+1）递减， 所以其最小值为f（m+1）=em+1． 因为

，g（x）在x∈[m，m+1]最大值为（m+1）2+m+1，

所以下面判断f（m+1）与（m+1）2+m+1的大小， 即判断ex与（1+x）x的大小，其中

令m（x）=ex﹣（1+x）x，m′（x）=ex﹣2x﹣1， 令h（x）=m′（x），则h′（x）=ex﹣2，

，

因，

所以h′（x）=ex﹣2＞0，m′（x）单调递增； 所以x＜﹣6，﹣2x≤13故存在使得

，

，所以﹣6≤x≤5在11≤12上单调递减，在﹣6≤x≤5单调递增，

，

所以x＞5所以2x≤11时，即

，也即f（m+1）＞（m+1）2+m+1，

所以函数y=f（x）的图象总在函数g（x）=x2+x图象上方．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接BF并延长交CD于点E． （1）求证：E是CD的中点； （2）求EF•FB的值．

【考点】与圆有关的比例线段． 【分析】（1）由题意得EA为圆D的切线，由切割线定理，得EA2=EF•EC，EB2=EF•EC，由此能证明AE=EB．

（2）连结BF，得BF⊥EC，在RT△EBC中，由射影定理得EF•FC=BF2，由此能求出结果 【解答】解：（1）由题可知是以为A圆心，DA为半径作圆，而ABCD为正方形， ∴ED为圆A的切线

依据切割线定理得ED2=EF•EB …

∵圆O以BC 为直径，∴EC是圆O的切线， 同样依据切割线定理得EC2=EF•EB… 故EC=ED∴E为CD的中点．… （2）连结CF，

∵BC为圆O的直径， ∴CF⊥BF … 由

又在Rt△BCE中，由射影定理得

得

… ．…

[选修4-4：坐标系与参数方程]．

23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为

．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．

（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值． 【考点】简单曲线的极坐标方程．

【分析】（1）曲线C：（x﹣1）2+y2=1．展开为：x2+y2=2x，把

代入可得曲线

C的极坐标方程．直线l的参数方程为：，（t为参数）．

B两点对应的参数分别为t1，t2．t2（（2）设A，把直线l的参数方程圆的方程可得：+）t+m2﹣2m=0，利用|PA|•|PB|=1，可得|m2﹣2m|=1，解得m即可得出． 【解答】解：（1）曲线C：（x﹣1）2+y2=1．展开为：x2+y2=2x，可得ρ2=2ρcosθ，即曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．

直线l的参数方程为：，（t为参数）．

（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程代入x2+y2=2x，可得：t2+

（）t+m2﹣2m=0，∴t1t2=m2﹣2m．

∵|PA|•|PB|=1，∴|m2﹣2m|=1，解得m=1或1±．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x+6|﹣|m﹣x|（m∈R） （Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）≥5的解集；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（1）通过讨论x的范围，得到各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）根据绝对值的几何意义求出m的范围即可． 【解答】解：（1）当m=3时，f（x）≥5即|x+6|﹣|x﹣3|≥5， ①当x＜﹣6时，得﹣9≥5，所以x∈ϕ；

②当﹣6≤x≤3时，得x+6+x﹣3≥5，即x≥1，所以1≤x≤3；

③当x＞3时，得9≥5，成立，所以x＞3； 故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≥1}．

（Ⅱ）因为|x+6|﹣|m﹣x|≤|x+6+m﹣x|=|m+6|， 由题意得|m+6|≤7， 则﹣7≤m+6≤7， 解得﹣13≤m≤1．

2016年8月1日