2003年高考试题——数学理(江苏卷)

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）如果函数yax2bxa的图象与x轴有两个交点，则点(a,b)在aOb平面上的区域

（不包含边界）为（ ）

（2）抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为

（A）

（ ） （D）－8 （ ）

1 82（B）－

1 8（C）8

（3）已知x(

（A）

,0),cosx4,则tg2x 57 24（B）－

7 24（C）

24 7（D）－

24 72x1,x0,（4）设函数f(x)若f(x0)1,则x0的取值范围是（ ） 12x,x0 （A）（－1，1） （B）(1,)

（C）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D）（－∞，－1）∪（1，+∞）

（5）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABOPOA(AB（A）外心

AC的轨迹一定通过ABC的 0,则,P),AC（C）重心

（B）内心 （D）垂心

（6）函数yln

x1,x(1,)的反函数为（ ） x1ex1ex1,x(0,) ,x(0,) （A）yx（B）yxe1e1ex1ex1,x(,0) ,x(,0) （C）yx（D）yxe1e1（7）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

a3（A）

3a3（B）

4a3（C）

6a3（D）

12

（8）设a0,f(x)ax2bxc，曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取

,则P到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为 （ ） 4bb111 （A）0, （B）0, （C） （D） 0,0,a2a2a2a值范围为0,（9）已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，则

4|mn| （ ）

3 （A）1 （B）3 （C）1 （D）

824（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为2，则此双曲线的方程是 （ ） 322xyx2y2x2y2x2y2 （A）1 1 （C）1 （D）1 （B）

235234（11）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB的夹角的方向射到BC上的点P依次反射到CD、DA和AB上的点1后，

，设P4的坐标为（x4，0），若1x42，则tg的P2、P3和P4（入射角等于反射角）

取值范围是 （ ） （A）（1，1） （B）（

321221，） （C）（，） （D）（2，）

333525（C）33

（D）6

（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

（A）3

（B）4

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学（理工农医类） 第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 9（13）(x21)9的展开式中x系数是

2x（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆 （15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答） 5

6 2 1 3 4

（16）对于四面体ABCD，给出下列四个命题

①若ABAC,BDCD,则BCAD ②若ABCD,ACBD,则BCAD

③若ABAC,BDCD,则BCAD④若ABCD,ACBD,则BCAD 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 （17）（本小题满分12分）

有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验 （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；

（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）

（18）（本小题满分12分）

已知函数f(x)sin(x)(0,0是)R上的偶函数，其图象关于点

M(3,0)对称，且在区间0,上是单调函数求和的值 42

（19）（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱

AA12，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G

（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离

C1A1DEGB1CBA

（20）（本小题满分12分）

已知常数a0,向量c(0,a),i(1,0)经过原点O以ci为方向向量的直线与经

过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于P，其中R试问：是否存在两个定点E、F，使得PEPF为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由

（21）（本小题满分12分）

已知a0,n为正整数 （Ⅰ）设y(xa)，证明y'n(xa)nn1；

nn（Ⅱ）设fn(x)x(xa)，对任意na，证明fn1'(n1)(n1)fn'(n)

（22）（本小题满分14分）

设a0，如图，已知直线l:yax及曲线C:yx2,C上的点Q1的横坐标为交直线l于点P，再从点Pn1作直a1(0a1a).从C上的点Qn(n1)作直线平行于x轴，n1线平行于y轴，交曲线C于点Qn1. Qn(n1,2,3,…）的横坐标构成数列an

（Ⅰ）试求an1与an的关系，并求an的通项公式；

n1（Ⅱ）当a1,a1时，证明(akak1)ak21

232k1（Ⅲ）当a1时，证明(akak1)ak2k1n1 3y r2 r1 Q1 O c Q3 Q2 l

a1a2a3x

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学 试 题（江苏卷）答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.

1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．21 14．6,30,10 15．120 16．①④

2三、解答题

17．本小题要主考查相互事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.

（Ⅰ）P(A)0.90,P(B)P(C)0.95， P(A)0.10,P(B)P(C)0.50. 因为事件A，B，C相互，恰有一件不合格的概率为

P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) 20.900.950.050.100.950.950.176答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为

P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)

0.900.05220.100.050.950.100.0520.012 解法二：三件产品都合格的概率为

P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.900.9520.812

由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为 1[P(ABC)0.176]1(0.8120.176)0.012.

答：至少有两件不合的概率为0.012.

（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。 解：由f(x)是偶函数,得f(x)f(x), 即sin(x)sin(x), 所以cossinxcossinx对任意x都成立,且0,所以得cos0.

依题设0,所以解得2.33x)f(x),44333取x0,得f()sin()cos,4424333f()sin()cos,442433cos0,又0,得k,k1,2,3,,4422(2k1),k0,1,2,.322当k0时,,f(x)sin(x)在[0,]上是减函数;3322由f(x)的图象关于点M对称,得f(当k1时,2,f(x)sin(2x当k0时,)在[0,]上是减函数;2210,f(x)sin(x)在[0,]上不是单调函数; 3222所以,综合得或2.319．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空

间想象能力和推理运算能力. 满分12分. 解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC平面ABC,CDEF为矩形连结DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形EFD中1EF2FGFDFD2,EF1,FD3.3126于是ED2,EG.33FCCD2,AB22,A1B23,EB3.sinEBGEG612.EB3332.3

A1B与平面ABD所成的角是arcsin（Ⅱ）连结A1D，有VA1AEDVDAA1E

EDAB,EDEF,又EFABF,

ED平面A1AB, 设A1到平面AED的距离为h， 则SAEDhSA1ABED 又SA1AE1116 SA1ABA1AAB2,SAEDAEED.2422h22622626

.即A1到平面AED的距离为.33

解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， 则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)

A1(2a,0,2),E(a,a,1),G(2a2a1,,).33322GEBDa20.解得a1.33

aa2CE(,,),BD(0,2a,1).333241BA1(2,2,2),BG(,,).333cosA1BGBA1BG14/37.13|BA1||BG|232137A1B与平面ABD所成角是arccos.3（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1) AEED(1,1,1)(1,1,0)0,AA1ED(0,0,2)(1,1,0)0,ED平面AA1E,又ED平面AED.

（Ⅰ）当a2时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

2（Ⅱ）当0a211a11a时，方程①表示椭圆，焦点E(a2,)和F(a2,) 2222222（Ⅲ）当a2时,方程①也表示椭圆，焦点E(0,1(aa21))和F(0,1(aa21))为合乎题22222意的两个定点. （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.

证明：（Ⅰ）因为(xa)nCk0n

nkn(a)nkxk，

所以ykC(a)knk0nnkxk1k1nkk1xn(xa)n1. nCn1(a)k0

（Ⅱ）对函数fn(x)xn(xa)n求导数:

fn(x)nxn1n(xa)n1,所以fn(n)n[nn1(na)n1].当xa0时,fn(x)0.当xa时,fn(x)xn(xa)n是关于x的增函数.因此,当na时,(n1)n(n1a)nnn(na)n

∴fn1(n1)(n1)[(n1)n(n1a)n](n1)(nn(na)n)

(n1)(nnn(na)n1)(n1)fn(n).

即对任意na,fn1(n1)(n1)fn(n).

22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解

决问题的能力，满分14分. （Ⅰ）解：∵Qn(an1,an),Pn1(an,an),Qn1(an,∴an121a221a214an). a21212112211222an, ∴anan(a)()an2 1n2aaaaa112221122223()12(an)()an2 3aaan2n1n1an1an111n1()122a12()21a12a(1)2， ∴ana(1)2. aaaa2 （Ⅱ）证明：由a=1知an1an, ∵a11, ∴a21,a31. 2416∵当k1时,ak2a31. 16nn∴(akak1)ak21(akak1)1(a1an1)1.

16k11632k12 （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，ana1nnn1,

因此(akak1)ak2(ak1k12k11a)a2n12k12k11(a1ia1i1)a12i2

i12n1a13a151 (1a1)aa(1a1)a = . 321a11a1a13i1213i121