大一下学期高等数学期末试题及答案--数套

高等数学（下)试卷一

一、 填空题(每空3分,共15分）

11zxyxy的定义域为 （1)函数

（2）已知函数

zarctan20zyx，则x

2yy2（3）交换积分次序，

dyf(x,y)dx＝

（4）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,则L

（5）已知微分方程y2y3y0，则其通解为

(xy)ds二、选择题(每空3分,共15分）

x3y2z10(1）设直线L为2xy10z30,平面为4x2yz20，则( ）

A. L平行于 B。 L在上 C. L垂直于 D。 L与斜交 （2)设

是由方程

xyzx2y2z22确定，则在点(1,0,1)处的

dz( ）

dx2dy C。2dx2dy D。dx2dy A.dxdy B。

（3）已知是由曲面4z25(xy)及平面z5所围成的闭区域,将

柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.

22222(xy)dv在

20dr3drdz002502r25 B.

20dr3drdz0022250045

C.

20dr3dr5dz D.

（ )

0drdrdznnxn2(4）已知幂级数n1，则其收敛半径

1A. 2 B. 1 C. 2 D. 2 x（5)微分方程y3y2y3x2e的特解y的形式为y（ ）

得分 A.

x(axb)cxeD。

xx(axb)xe(axb)ce B. C。

阅卷人 三、计算题(每题8分，共48分)

x2y1zx1y2z3LL211的平面方程 101121、 求过直线：且平行于直线:

zz22zf(xy,xy)，求x， y 2、 已知

1/23 高数（下）试题

3、 设

D{(x,y)xy4},利用极坐标求

2x2222xdxdyD

4、 求函数f(x,y)e(xy2y)的极值

xtsint(2xy3sinx)dx(x2ey)dyLL5、计算曲线积分， 其中为摆线y1cost从点

O(0,0)到A(,2)的一段弧

xy1的特解 xyyxe6、求微分方程 满足 x1

四。解答题(共22分）

1、利用高斯公式计算

22xzdydzyzdzdxzdxdy22zxy，其中由圆锥面与上

22z2xy半球面所围成的立体表面的外侧 (10)

n1n(1)3n1的敛散性，若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛；2、（1）判别级数n1（6）

（2)在x(1,1)求幂级数n1

nxn的和函数（6）

高等数学(下）试卷二

一．填空题(每空3分，共15分)

4xy2z22ln(1xy)的定义域为 ； （1）函数

xy(2）已知函数ze，则在(2,1)处的全微分dz ；

（3）交换积分次序，

e1dxlnx0f(x,y)dy2＝ ；

(4）已知L是抛物线yx上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧,则

Lyds ;

（5）已知微分方程y2yy0,则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分）

xy3z0(1）设直线L为xyz0，平面为xyz10，则L与的夹角为（ ）；

A. 0 B。 2 C。 3 D. 4

z33zf(x,y)z3xyza（2）设是由方程确定,则x（ ）；

2/23 高数（下）试题

yzyzxzxy2222xyzzxyxyzzxy A。 B。 C。 D。

2xy5y6yxeyy（3）微分方程的特解的形式为（ );

2x2x2x2x(axb)e(axb)xe(axb)ce(axb)cxeA。 B。 C. D.

2222xyza(4）已知是由球面所围成的闭区域， 将三次积分为（ ）; A

dv在球面坐标系下化成

a200d2sindrdr0a2 B.

20d2drdr002

a0C.

20ddrdr00a D.

0dsindr2dr0

2n1nxn（5)已知幂级数n12,则其收敛半径

（ )。

1A。 2 B. 1 C。 2 D.

得分

阅卷人 2 三．计算题（每题8分,共48分)

5、 求过A(0,2,4)且与两平面1:x2z1和2:y3z2平行的直线方程 。

zzxyzf(sinxcosy,e)，求x， y . 6、 已知

7、 设得分 D{(x,y)xy1,0yx}，利用极坐标计算

22arctanDydxdyx .

22f(x,y)x5y6x10y6的极值. 8、 求函数

xx(esiny2y)dx(ecosy2)dy9、 利用格林公式计算

L，其中

222L为沿上半圆周(xa)ya,y0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段. 3yy(x1)2x16、求微分方程 的通解.

四．解答题（共22分）

1、（1）（6)判别级数n1敛;

(1)n12nsin3n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收

xn(1,1)4（2)（）在区间内求幂级数n1n的和函数 。

2、(12)利用高斯公式计算

zx2y2(0z1)的下侧

2xdydzydzdxzdxdy，为抛物面

3/23 高数（下）试题

高等数学（下）模拟试卷三

一． 填空题(每空3分，共15分)

1、 函数yarcsin(x3)的定义域为 .

(n2)2lim22、n3n3n2= 。

2yln(1x),在x1处的微分dy 。 3、已知

4、定积分

11(x2006sinxx2)dx57 .

dyy2yx3x05、求由方程所确定的隐函数的导数dx 。

二．选择题（每空3分，共15分）

x21y2x2x3x2的 间断点 1、是函数

（A）可去 (B）跳跃 （C)无穷 (D）振荡

1x2、积分= 。

（A）  （B)

（C） 0 （D） 1

xyex1在(,0]内的单调性是 。 3、函数

10x2dx （A）单调增加； （B)单调减少；

（C)单调增加且单调减少； (D)可能增加；可能减少。

4、

1xsintdt的一阶导数为 .

（A)sinx （B）sinx （C）cosx (D）cosx

1,1,k}与b{2,2,1}相互垂直则k . 5、向量a{（A）3 (B）-1 （C）4 (D）2

三．计算题（3小题,每题6分，共18分）

2x3x1)x2x11、求极限

xsinxlimx32、求极限x0

dyx3、已知ylncose，求dx

lim(四．计算题（4小题，每题6分，共24分）

t2x2d2yy1t21、已知，求dx

4/23 高数（下）试题

x2、计算积分2cosxdx

3、计算积分

10arctanxdx24、计算积分0

五．觧答题(3小题，共28分）

1、(8)求函数y3x4x1的凹凸区间及拐点。

422x2dx1x01xf(x)21x0f(x1)dxx1(8)01e2、设求

22yxyx所围图形的面积；(6) 3、（1)求由及

(2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。(6)

高等数学（下)模拟试卷四

一． 填空题(每空3分,共15分）

5/23 高数（下）试题

y1、 函数

11x2x的定义域为 .

= .

2、

0eaxdx,a03、已知ysin(2x1)，在x0.5处的微分dy 。

sinxdx11x24、定积分= .

15、函数y3x4x1的凸区间是 . 二．选择题(每空3分，共15分）

43x21yx1的 间断点 1、x1是函数

（A）可去 (B）跳跃

（C）无穷 （D）振荡

a0,f(0)0,f(0)1,lim2、若

(A）1 (B）a

(C）-1 （D） a

x0f(ax)x=

3、在[0,2]内函数yxsinx是 。

（A）单调增加； （B)单调减少；

(C)单调增加且单调减少； (D)可能增加；可能减少。

}则ab为 . 4、已知向量a{4,3,4}与向量b{2,2,1（A)6 （B)—6 （C)1 （D)-3

f(x0)为极值，ye5、已知函数f(x)可导,且

0 (C）0 (D)（A）e （B）

三．计算题（3小题，每题6分，共18分)

f(x0)f(x)，则

dydxxx0 。

f(x)f(x0)

1、求极限x0lim(1-kx)1kx

2、求极限x0lim1cosx2sint2dt

xsinx1x3、已知

四． 计算题（每题6分，共24分）

yelnsindy，求dx

2、计算积分

dyy1、设exy10所确定的隐函数yf(x)的导数dxarcsinxdx

0x0。

3、计算积分

sin3xsin5xdx

6/23 高数（下）试题

3ax4、计算积分

五．觧答题（3小题，共28分）

3a0x22dx,a0

3atx1t22y3at1t2，求在t2处的切线方程和法线方程。 1、(8)已知1lnalnb1(8)abb 2、求证当ab0时，a3yx3、（1)求由及y0,x2所围图形的面积;(6)

(2）求所围图形绕

y轴旋转一周所得的体积。(6)

高等数学(下）模拟试卷五

一． 填空题（每空3分，共21分）

ln(xy)zy1．函数的定义域为 。

2．已知函数zex2y2,则dz 。

z3．已知zexy，则x(1,0) 。

224．设L为xy1上点1,0到1,0的上半弧段，则L2ds 。

5．交换积分顺序1edxlnx0f(x,y)dy 。

(1)n6.级数n1n是绝对收敛还是条件收敛? 。

7．微分方程ysinx的通解为 。

二．选择题(每空3分，共15分）

1．函数zfx,y在点x0,y0的全微分存在是fx,y在该点连续的（ ）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分，也非必要

2．平面1:x2yz10与2:2xyz20的夹角为（ ）。

A．6 B．4 C．2 D．3

7/23 高数（下）试题

(x5)nn3．幂级数n1的收敛域为（ ）。

A．4,6 B．4,6 C．4,6 D．4,6

y1(x)4．设y1(x),y2(x)是微分方程yp(x)yq(x)y0的两特解且y2(x)常数，则下列（ ）是其通解（c1,c2为任意常数).

A．yc1y1(x)y2(x) B．yy1(x)c2y2(x) C．yy1(x)y2(x) D．yc1y1(x)c2y2(x)

5．在直角坐标系下化为三次积分为( ）,其中为

x3,x0,y3,y0,z0,z3所围的闭区域.

A．D．

zdv03dxdyzdz0033 B．

30dxdyzdz0033 C．

30dxdyzdz3003

30dxdyzdz0330

三．计算下列各题（共21分,每题7分)

zz,zlnzexy0xy. 1、已知，求

x1y2z(1,0,2)23的直线方程。 2、求过点且平行直线13、利用极坐标计算一象限的区域。

D22(xy)d22xy4、y0及yx所围的在第,其中D为由

四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）

2x2(ye)dx(2xy5xsiny)dy1、利用格林公式计算曲线积分2、判别下列级数的敛散性:

L,其中L为圆域D：

x2y24的边界曲线，取逆时针方向。

(1)(1)n1n11

n2(2)nn n13

五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分,第3题7分)

1f(x,y)x3y23x3y121、求函数的极值。

dyyexy2的特解。 2、求方程dx满足x03、求方程y2y8y2e的通解。

x高等数学（下）模拟试卷六

8/23 高数（下）试题

一、填空题：(每题3分，共21分.)

1．函数zarccos(yx)的定义域为 .

2．已知函数zln(xy)，则

zx2,1 。

3．已知

zsinx2y2，则dz 。

4．设L为yx1上点(1,0)到0,1的直线段，则L2ds .

5．将01dx1x20f(x2y2)dy化为极坐标系下的二重积分 。

(1)n26.级数n1n是绝对收敛还是条件收敛? 。

7．微分方程y2x的通解为 .

二、选择题：（每题3分，共15分.)

1．函数zfx,y的偏导数在点x0,y0连续是其全微分存在的( ）条件.

A．必要非充分， B．充分， C．充分必要, D．既非充分，也非必要,

xy2z210与平面:x2yz3的夹角为（ ）2．直线1。

A．6 B．3 C．2 D．4

l:xnn23．幂级数n13n的收敛域为( ）。

A．(3,3) B．[3,3] C．(3,3] D．[3,3)

*4。设y(x)是微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的特解,y(x)是方程yp(x)yq(x)y

0的通解，则下列（ ）是方程yp(x)yq(x)yf(x)的通解。

***y(x)y(x)y(x)y(x)yA． B． C． D． (x)y(x)

5．

2zdv2222xyzR在柱面坐标系下化为三次积分为( ），其中为的上半

20球体。

A．

20drdrzdz00RR2 B．

drdrz2dz00Rr

9/23 高数（下）试题

C．

20ddr0RR2r20zdz2 D．

20drdr0RR2r20z2dz

三、计算下列各题（共18分,每题6分）

zz,31、已知z3xyz5，求xy

2、求过点(1,0,2)且平行于平面2xy3z5的平面方程.

22(xy)dxdyD3、计算

，其中D为yx、y0及x1所围的闭区域。

四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）

(x2y)dx(xsiny)dy21、计算曲线积分L,其中L为圆周y2xx上点(0,0)到

(1,1)的一段弧。

2、利用高斯公式计算曲面积分：

xdydzydzdxzdxdy，其中是由

z0,z3,x2y21所围区域的整个表面的外侧。

3、判别下列级数的敛散性:

1n(1)(2)4sinn(1)lnn3n2n1 五、求解下列各题（共21分，每题7分)

1f(x,y)3x26xy32y2131、求函数的极值。

dyyexy1的特解。 2、求方程dx满足x0nx3、求方程y5y6y(x1)e的通解.

高等数学（下）模拟试卷七

一． 填空题(每空3分,共24分）

1z2222(xy)25xy1．二元函数的定义域为

21yt1yt35的通解为 2．一阶差分方程

yzx3．的全微分dz _ 4．ydxxdy0的通解为 ________________

zyxx,则5．设______________________

6．微分方程y2y5y0的通解为

zarctan7．若区域D(x,y)|xy4，则

222dxdyD

10/23 高数（下）试题

1n8．级数n02的和s=

二．选择题：(每题3分，共15分）

1．fx,y在点a,b处两个偏导数存在是fx,y在点a,b处连续的 条件

（A）充分而非必要 （B）必要而非充分

（C）充分必要 (D）既非充分也非必要

 2．累次积分

10dxx0f(x,y)dy改变积分次序为

(A)

（C）

10dyf(x,y)dx01 （B）

(D）

10dyyx0f(x,y)dx

10dyy20f(x,y)dx10dy2f(x,y)dx1

3x3．下列函数中， 是微分方程y5y6yxe（A）y(axb)e23x3x3x的特解形式(a、b为常数)

3x （B） yx(axb)e(C）yx(axb)e （D） yae

4．下列级数中,收敛的级数是

(3)n(1)nnn2n122n1n1n1n1（A） （B） （C） （D） n1n

z222xyz4zx5．设,则 xxxx(A) z （B） 2z （C） z2 （D） z

得分 三、求解下列各题(每题7分，共21分）

zzx2 ,zulnv,而u,v3x4y阅卷人 y1. 设,求xy

13nnn2n12. 判断级数

的收敛性 3.计算

xeD2y2dxdy22xy1所围，其中D为

区域

四、计算下列各题(每题10分，共40分）

1yylnxx1。 求微分方程的通解。

2.计算二重积分

IxydxdyD，其中D是由直线yx,x1及x轴围成的平面区域。

32f(x,y)yx6x12y5的极值. 3。求函数

xn2nn44.求幂级数n1

的收敛域.

11/23 高数（下）试题

高等数学（下）模拟试卷一参考答案

一、填空题:（每空3分，共15分）

4xydxf(x,y)dy1220x21、 {(x,y)|xy0,xy0} 2、xy 3、

x3xyCeCe2124、 5、

二、选择题:（每空3分,共15分） 1.C2.D3。C4A5.D

三、计算题（每题8分，共48分）

1、解： A(1,2,3)s1{1,0,1}s2{2,1,1} 2

ijk 6

平面方程为 x3yz20 8

ns1s21201i3jk11vx2y 2

zzuzvf1y2f22xy xuxvx 6

zzuzvf12xyf2x2yuyvy 8

0r2, 3 3、解：D:022、解： 令uxy2232xdxdyrcosdrdDD20cos2dr3dr024 8

2x2fx(x,y)e(2x2y4y1)012x(,1)fy(x,y)e(2y2)04．解： 得驻点2 4

Afxx(x,y)e2x(4x4y28y4),Bfxy(x,y)e2x(4y4),Cfyy(x,y)2e2x 6

11f(,1)eA2e0,ACB24e20极小值为22 8

PQ2x,2yQxe，有yx5．解：P2xy3sinx,

曲线积分与路径无关 2 积分路线选择:L1:

Ly0,x从0，L2:x,y从02 4

(2xy3sinx)dx(x2ey)dyPdxQdyPdxQdyL1L2

3sinxdx(2ey)dy22e27002y6．解：

11yexP,Qexxx 2

8

12/23 高数（下）试题

11通解为

yeP(x)dxdxdxP(x)dxxxx[Q(x)edxC]e[eedxC] 4

11[exxdxC][(x1)exC]x x 6

1xy[(x1)e1]y1C1xx1代入，得,特解为 8

四、解答题

1、解：

22xzdydzyzdzdxzdxdy(2zz2z)dvzdv 4

r3cossindrdd 6

方法一： 原式＝方法二： 原式＝

20d4cossind020r3dr12 10

20drdr012r2rzdz2r(1r2)dr02 10

n1un131nn1nn1limlim1un(1)n1n3nn1nun3n13n32、解：（1）令收敛， 4

n(1)n1n13绝对收敛. 6 n1（2）令

s(x)nxxnxn1xs1(x)nn1n1xn1 2



x0s1(x)dxnxdxxnn10n1s(x)x(1x)2xx1s1(x)()1x1x(1x)2 5

x(1,1) 6

高等数学（下)模拟试卷二参考答案

一、填空题：（每空3分，共15分）

} 2、edx2edy 3、1、 {(x,y)|y4x,0xy12222210dyyf(x,y)dxee

1(551)xy(CCx)e12124、 5、

二、选择题:（每空3分，共15分） 1。 A 2.B3. B 4.D5。 A 三、计算题(每题8分，共48分）

1、解： A(0,2,4)n1{1,0,2}n2{0,1,3} 2

 13/23 高数（下）试题

sn1n210ijk022i3jk13xy2z4231 8 直线方程为

xy2、解： 令usinxcosyve 2

6

zzuzvf1cosxcosyf2exy xuxvx 6

zzuzvf1(sinxsiny)f2exyyuyvy 8

3、解：

D:040r1， 3

21yarctandxdyrdrd4drdr00x64 8 DDfx(x,y)2x60fy(x,y)10y100 得驻点(3,1) 4 4．解: Afxx(x,y)2,Bfxy(x,y)0,Cfyy(x,y)10 6 A20,ACB2200极小值为f(3,1)8 8

xPesiny2y,5．解：

Qexcosy2,

Qexcosy,x2

Pexcosy2,有y 取A(2a,0),OA:y0,x从02a 4

QP2()dxdy2dxdyaPdxQdyPdxQdyxyOADD L 6

2PdxQdy＝a20a2 8

原式＝a－OA31P,Q(x1)2x16．解： 2

通解为

yeP(x)dxdxdxP(x)dx[Q(x)edxC]ex1[(x1)2ex1dxC]12131 4

32(x1)[(x1)dxC](x1)[(x1)2C]3 8

四、解答题

n1un123limlim1nnun3un(1)n12nsinn2nsinn331、解：(1）令

2n1sin4

14/23 高数（下）试题

2sinnn13n收敛， n1xns(x)n1n（2）令

(1)n12nsin3n绝对收敛 6

nx1s(x)xn11x， 2 n1nn1s(x)s(x)dxs(0)ln(1x)0x2、解：构造曲面

1:z1,上侧

1 4

2xdydzydzdxzdxdy2xdydzydzdxzdxdy(211)dv4dv42011 2

0drdr2dz81(1r2)rdr20r 4 6 8

I22xdydzydzdxzdxdy1 10

2dxdyDxy 12

高等数学（下)模拟试卷三参考答案

一．填空题:(每空3分，共15分）

2210,0,X1且x01.；2.a；3. 2dx；4。0；5. 3或3 二．选择题：（每空3分，共15分） 1.A;2.D;3.A;4.A;5.C.

三．计算题：

1。

lim1kxx01cosx1(k)kx1kx2k4ek2

2 2.

limx0sint2dtx3(sincos2x)(sinx)limx03x2422

1lnsindy111excos21dxxxsinx 3。

四．计算题:

1lnsin112excotxx

15/23 高数（下）试题

eyyyxy02;x0,y01; 1。

2.原式

xarcsinxx11x2dydxx0y30eyxx0；

121x2d(1x2)2dx2xarcsinx2

32xarcsinx1x2c322

032 3。 原式 4。原式五．解答题： 1

2(sinx)cosxdx2(sinx)dsinx(sinx)dsinx3023a415

d(3a2x2)23a2x2303a2x203a23a3a23a1.

．

112t46a12a11y,t2,k,x,y,切线:4x3y12a0,法线：3x-4y+6a=01t2355 2.

1lnalnb1设f(x)lnx,xb,a,ab0,lnalnb(ab),ba,aabb22123.（1）

S20x43xdx4022242

82253642Vy4y3dy4yy320505 （2）、

8

高等数学(下）模拟试卷四参考答案

一．填空题：（每空3分，共15分）

121x12425y2x4dx331.；2.；3。 ；4. ;5. 。

二．选择题:(每空3分，共15分）

1。 C；2. D；3. B;4. B;5。 C。

6 16/23 高数（下）试题

2x332三．1.

312xlimx112xx331512x2xlime232x(2)x11112x2x3

1cosx2122lim2x03x26 2.x03x

dy1xx3xx3(sine)eecotex 3。dxcose 四．

2121d2yt2y,2t32tdxt 1。;2。

limx2dsinxx2sinxsinx2xdx22sin2x2x2sinx2xcosx2sinxc21204

3。

xarctanx10x011ln(1x)2dx1x24224ln222

1 4.

x2sint,201sin2t22cost2costdtt22。 02五．解答题

y12x312x2,y36x224x,222x10,x2为拐点，3224，0、，为凹区间，0， 为33 1。

凸区间

2.

1,x11211xf(x1),(2)dxdx(2)lnexx01e1x1,x11ex1ln(1e)2ln2(2)

102ln(1ex)10lnx1(2)

3。(1)、

102xxx2dx4x30332312132

17/23 高数（下）试题

1 （2）、

Vxxx4dx01x2x5425023102

高等数学（下）模拟试卷五参考答案

一、填空题：(每空3分，共21分）

x2y2x2y2(x,y)xy,y02xedx2yedy12、

， 、

，3、0,4、2,

5、01dyeeyf(x,y)dx，6、条件收敛，7、ycosxc（c为常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、A，2、D，3、A，4、D，5、B

zF(x,y,z)lnzexy1 1三、解：、令

FzyzxxFz1zez 4

FyzxzzyF1zez 7

1,2,32 2、所求直线方程的方向向量可取为x1yz2237 则直线方程为:13、原式

四、解：1、令

4dr3dr0024

 7

P(x,y)y2ex,Q(x,y)2xy5xsin2y,(DPQ2y,2y5yx3

原式

QP)dxdyxy6

20 8

2、(1) 此级数为交错级数 1

nn1(n1,2,) 4

故原级数收敛 6

(2) 此级数为正项级数1

因

nlim1n01 ，

1 18/23 高数（下）试题

(n1)2n113lim1n3n23n 因 4 故原级数收敛 6 fx(x,y)3x230fy(x,y)3y0(1,3),(1,3)1五、解:、由

，

得驻点

2

Afxx(1,3)6,Bfxy(1,3)0,Cfyy(1,3)1在(1,3)处

2ACB0,，所以在此处无极值 5 因

在(1,3)处

Afxx(1,3)6,Bfxy(1,3)0,Cfyy(1,3)1f(1,3)1528

2ACB0,A0，所以有极大值 因

2、通解

y[exedxc]edx1dx 3

xx xece 6

yx0c2

xy(x2)e特解为 8

3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 r22r80

有两不相等的实根r12,r24 所以对应的齐次方程的通解为 yc1e 2)设其特解y(x)ae

*x2xc2e4x（c1,c2为常数）

3

5aex2ex,a将其代入原方程得

25

2y*(x)ex56 故特解

3)原方程的通解为yc1ec2e

2x4x2ex57

高等数学（下)模拟试卷六参考答案

一、 填空题：(每空3分，共21分）

1(x,y)x1yx12232xcos(x2y2)dx2ycos(x2y2)dy1、， 、,、，

2yxc(c为常数）, 67，、绝对收敛，、

二、选择题：（每空3分，共15分）1、B，2、B，3、B，4、D,5、D

4、22，5、

20df(r2)rdr01 19/23 高数（下）试题

三、解：

31、令F(x,y,z)z3xyz52

Fzyzx2xFzzxy 4

Fyzxz2Fzzxy 6 y2、所求平面方程的法向量可取为2,1,32

则平面方程为：2(x1)y3(z2)06

03、原式013 6

dx(x2y2)dy1x4

四、解：1、令

原式

P(x,y)x2y,Q(x,y)(xsiny),11PQ1yx3

(x20)dx(1siny)dy006

53 7

2、令Px,Qy,Rz2

cos1原式

(PQR)dvxyz5

7  98

3、(1) 此级数为交错级数 1

3dv111lim0nlnn 因 ，lnnln(n1)(n2,3) 4

故原级数收敛 5

(2) 此级数为正项级数1

n143lim1n34nsinn3 因 4 故原级数发散 5

2f(x,y)4yy0f(x,y)6x60五、解：1、由x，y得驻点(1,0),(1,4)

3

Afxx(1,0)6,Bfxy(1,0)0,Cfyy(1,0)4在(1,0)处

4n1sin因ACB0,A0，所以有极小值f(1,0)2 5 在(1,4)处

2Afxx(1,4)6,Bfxy(1,4)0,Cfyy(1,4)4

2ACB0,，所以在此处无极值 7 因

20/23 高数（下）试题

2、通解

y[exe1dxdxc]edx 3

(xc)e 5

xyx0c1,

xy(x1)e特解为 7

1)对应的齐次方程的特征方程为 r25r60 ，3、 有两不相等的实根r12,r23

2x3xycece3 12所以对应的齐次方程的通解为 （c1,c2为常数）

*x2)y(x)(axb)e 设其特解

2ax3a2bx1,a将其代入原方程得

15,b24

15y*(x)(x)ex24 故特解

3)原方程的通解为yc1e

2x6

c2e3x15(x)ex247

高等数学(下）模拟试卷七参考答案

一．填空题:（每空3分，共24分)

2t3yC()y1yt(x,y)|0xy25yxdxxlnxdy 351。 2。 3.

yx22 4。 yCx 5。1xy 6。ye(C1cos2xC2sin2x) 7。88. 2

22二．选择题:（每题3分,共15分）

1。 D 2。 D 3。 B 4。 C 5。 B 三．求解下列微分方程（每题7分,共21分）

zzuzv2x3x22ln(3x4y)(3x4y)y2 ………（4分) 1.解：xuxvxyzzuzv2x24x23ln(3x4y)yuyvyy(3x4y)y2 ………（7分）

21/23 高数（下）试题

3n1(n1)2n13nn2n2.解：limun1limxuxn(5分)(6分)(7分)

312所以此级数发散 x3. 解：eD2y2dxdy(5分)= 2 0 2derrdr012

四．计算下列各题（每题10分，共40分）

1.解：原方程的通解为1r21=ed 020(e1)(7分)ye1dxx[lnxexdx1dxc] (6分)1=x[lnxdxC]x[lnxdlnxC]x1x[(lnx)2C](10分)2 2. 解：xydxdy=dxD 0 11x 0xydy(6分) 1312x1=xyydxx2dx(10分) 0 02022 fx(x,y)2x603.解： 得驻点(3，2)和(3，-2)2f(x,y)3y120yfxx(x,y)2,fxy(x,y)0,fyy(x,y)6y(4分)在点(3，2)处，A=-2，B=0，C=12，ACB2=-24<0，故点(3，2)不是极值点2)是极大值点，极大值f(3,2)30 故点(3，(7分)在点(3，-2)处，A=-2，B=0，C=-12，ACB2=24>0，且A<0，(10分)

22/23 高数（下）试题

4.解：此幂级数的收敛半径：R=limnanan11n24nlim4n1(n1)24n1(6分)x4时幂级数变为1是收敛的p-级数2nn=1(-1)nx4时幂级数变为2绝对收敛n=1nxn 所以2n收敛域为[-4，4]n1n4 (8分)(10分)

23/23 高数（下）试题