1. (2017 四川省南充市) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，
E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
答案：
考点ME：切线的判定与性质．
分析（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；
（2）设⊙O的半径为r，由OD+DF=OF，即r+4=（r+2）可得r=3，即可得出答案． 解答解：（1）如图，连接OD、CD，
2
2
2
2
2
2
∵AC为⊙O的直径， ∴△BCD是直角三角形， ∵E为BC的中点， ∴BE=CE=DE， ∴∠CDE=∠DCE， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠ACB=90°， ∴∠OCD+∠DCE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为r， ∵∠ODF=90°，
∴OD+DF=OF，即r+4=（r+2）， 解得：r=3， ∴⊙O的直径为6．
2
2
2
2
2
2
20171012131129796082 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-10-12
2. (2017 山东省潍坊市) 2017山东潍坊，22，9分）如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一
条弦，D为BC(︵)BC的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）求证：EF为半圆O的切线； （2）若DA＝DF＝6
（结果保留根号和π） 3，求阴影区域的面积．
︵
答案：
思路分析：（1）已知D为⊙O上的一点，故要证明EF为⊙O的切线，只需证明OD⊥EF．于是连接OD，充分利用∠E＝90°及D为BC(︵)BC的中点，证∠ADO＋∠EDA＝90°，或OD∥AE； （2）连接OC与CD，由题设可证△AOC或△COD为等边三角形，进而得CD∥AB，则△ACD与△OCD面积相等．于是阴影区域的面积等于Rt△AED与扇形COD的面积差，这样通过解直角三角形计算求解即可．
解：（1）证明：连接OD，∵D为BC(︵)BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD． ∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO． ∴∠CAD＝∠ADO． ∵DE⊥AC，∴∠E＝90°．
∴∠CAD＋∠EDA＝90°，即∠ADO＋∠EDA＝90°．
︵
︵
∴OD⊥EF．
∴EF为半圆O的切线．
（2）连接OC与CD．
∵DA＝DF，∴∠BAD＝∠F，∴∠BAD＝∠F＝∠CAD． 又∵∠BAD＋∠CAD＋∠F＝90°， ∴∠F＝30°，∠BAC＝60°． ∵OC＝OA，∴△AOC为等边三角形． ∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°． ∵OD⊥EF，∠F＝30°，∴∠DOF＝60°． 在Rt△ODF中，DF＝6
3，
∴OD＝DF·tan30°＝6． 在Rt△AED中，DA＝6∴DE＝DA·sin30°＝3
3，∠CAD＝30°，
3，EA＝DA·cos30°＝9．
∵∠COD＝180°―∠AOC―∠DOF＝60°，∴CD∥AB．故S△ACD＝S△COD． ∴S阴影＝ S△AED－S扇形COD＝
1602732
×9×33－×π×6＝－6π． 23602点拨：本题重点考查了切线的判定、求不规则图形的面积，主要知识点有：圆心角、弦、弧之间的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，扇形面积，还体现了数形结合、转化思想．
20171012114502843057 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-10-12
3. (2017 山西省太原市) 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，
与过点C的⊙O的切线交于点D．
（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．
（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
答案：
答案（1）
5；（2）∠CDE=2∠A． 2（2）∠CDE=2∠A．理由如下：
连结OC，∵OA=OC，∴∠1=∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE．∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．
考点：切线的性质；探究型；和差倍分．
20171012112655468098 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-10-12
4. (2017 四川省自贡市) AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，
则∠B等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
答案：
考点切线的性质．
分析由切线的性质得：∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA=50°，最后利用同圆的半径相等得结论． 解答解：∵PA切⊙O于点A， ∴∠PAB=90°， ∵∠P=40°，
∴∠POA=90°﹣40°=50°， ∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO=25°， 故选B．
20171012105804140920 4.5 切线的判定与性质 选择题 基础知识 2017-10-12
5. (2017 山东省滨州市) 2017山东滨州）（本小题满分10分） 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC． （1）求证：直线DM是⊙O的切线；
2
（2）求证：DE＝DF·DA．
A
O·BMD E·CF
答案：
思路分析：（1）①连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；②证明∠BAD＝∠DAC；③证明
2
∠G＝∠BAD；④证明∠MDB＝∠G；⑤证明∠GDM＝90°；（2）①利用相似证明BD＝DF·DA；②利用等角对等边证明DB＝DE．
证明：（1）如答图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG； ∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC． ∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，
∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°． ∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；
G O·EO··E·FFDDA A BBMMCC答图1
（2）如答图2，连接BE．
答图2
∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD． ∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD． ∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．
∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD＝DF·DA． ∴DE＝DF·DA．
2
2
20171012102116859646 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-10-12
6. (2017 湖南省邵阳市) 2017湖南邵阳，24，8分）如图（十三）所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P.过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B.作平行四边形ABCD，连结BE,DO,CO.
（1）求证：DA＝DC；
（2）求∠P及∠AEB的大小．
答案：
思路分析
（1）利用平行四边形的性质、圆的切线的性质得出∠DAO ＝90°，∠DCO ＝90°．再根据“HL”得Rt△DAO≌Rt△DCO，从而得到DA＝DC. （2）根据垂径定理与平行四边形的性质得出CF＝
12AD，由△PCF∽△PDA以及（1）中得出的结
论，可知DA＝
12PD，
从而得出在RtΔDAP中，∠P＝30°，再根据平行线的性质与直径所对的
圆周角是直角得∠AEB＝60°.
答案解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC, ∵CB⊥AE，∴AD⊥AE．∴∠DAO ＝90°.
又∵DP 和圆 O 相切于点 C，∴DC⊥OC．∴∠DCO ＝90° . ∴在 Rt△DAO 和 Rt△DCO 中，
DO＝DO， AO＝CO, ∴Rt△DAO≌Rt△DCO．∴DA＝DC. （2）∵CB⊥AE，AE 是⊙O 的直径，∴ CF＝FB ＝
12BC. 12∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC．∴ CF＝∵CF∥DA，∴△PCF∽△PDA.
AD.
1PD.∴DC＝PD.
PDDA222
1由（1）知DA＝DC，∴DA＝PD.
2
∴在RtΔDAP中，∠P＝30°.
∴
PCCF1.∴PC＝
1∵DP∥AB，∴∠FAB＝∠P＝30°. 又∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°.
∴∠AEB＝60°.
点评采用逆向思维法，要结合所给的条件，看还缺什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样等等，这样就找到了解题思路．
20171012100648671446 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-10-12
7. (2017 青海省西宁市) 】．（10分）（2017•西宁, 26, 10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以
AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F． （1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=10，AE=8，求BF的长．
答案：】．考点MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
分析（1）连接OD、AD，由AB=AC且∠ADB=90°知D是BC的中点，由O是AB中点知OD∥AC，根据OD⊥DE可得； （2）证△ODF∽△AEF得
=
，据此可得答案．
解答解：（1）连接OD、AD，
∵DE切⊙O于点D，
∴OD⊥DE， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=AC， ∴D是BC的中点， 又∵O是AB中点， ∴OD∥AC， ∴DE⊥AC； （2）∵AB=10， ∴OB=OD=5， 由（1）得OD∥AC， ∴△ODF∽△AEF， ∴
=
=
，
设BF=x，AE=8， ∴=解得：x=经检验x=∴BF=
． ， ，
是原分式方程的根，且符合题意，
点评本题主要考查等腰三角形的性质、切线的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20171012095016281914 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-10-12
8. (2017 湖南省怀化市) 如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上
一点，且AB=AD，AC=CD． （1）求证：△ACD∽△BAD； （2）求证：AD是⊙O的切线．
答案：
考点S9：相似三角形的判定与性质；MD：切线的判定．
分析（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD； （2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论． 解答证明：（1）∵AB=AD， ∴∠B=∠D， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠D， ∴∠CAD=∠B， ∵∠D=∠D， ∴△ACD∽△BAD； （2）连接OA， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB， ∴∠OAB=∠CAD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， ∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
20171012092855828732 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-10-12
9. (2017 湖北省襄阳市) 】．（8分）（2017•襄阳, 22, 8分）如图，AB为⊙O的直径，C、D
为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若DE=1，BC=2，求劣弧
的长l．
答案：】．
考点ME：切线的判定与性质；MN：弧长的计算．
分析（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；
（2）连接OD，DC，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC，根据三角函数的定义得到∠ECD=30°，得到∠OCD=60°，得到∠BOC=∠COD=60°，OC=2，于是得到结论． 解答（1）证明：连接OC， ∵OA=OC，
∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°， ∴EF是⊙O的切线； （2）连接OD，DC， ∵∠DAC=
DOC，∠OAC=
BOC，
∴∠DAC=∠OAC， ∵ED=1，DC=2， ∴sin∠ECD=∴∠ECD=30°， ∴∠OCD=60°， ∵OC=OD，
∴△DOC是等边三角形， ∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2， ∴l=
=π．
，
点评本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
20171012083538171303 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-10-12
10. (2017 河北省) 如图，AB16，O为AB中点，点C在线段OB上(不与点O，B重合)，
将OC绕点O逆时针旋转270后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧CD于点P，Q，
且点P，Q在AB异侧，连接OP．
(1)求证：APBQ； (2)当BQ43时，求QD的长(结果保留)；
(3)若APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
答案：
答案(1)见解析；(2)
14；(3)4＜OC＜8. 3考点：全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，外心.
20171011153312375557 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-10-11
11. (2017 福建省龙岩市) 如图，四边形ABCD内接于eO，AB是eO的直径，点P在CA的延长线上，CAD45．
o
（Ⅰ）若AB4，求弧CD的长； （Ⅱ）若弧BC
弧AD，ADAP，求证：PD是eO的切线．
答案：答案（Ⅰ）CD的长 =π；（Ⅱ）证明见解析.
解析
试题分析：（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧长公式即可得； （Ⅱ）由
BC=AD，可得∠BOC=∠AOD，从而可得∠AOD=45°，再由三角形内角和从而可得∠
ODA=67.5°，由AD=AP可得∠ADP=∠APD，由∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，继而可得∠ODP=90°，从而得 PD是⊙O的切线.
试题解析：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=AB=2，∴CD的长=
1 2902 =π；
180
20171011145919843603 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-10-11
12. (2017 浙江省舟山市) 如图，已知ABC，B40.
（1）在图中，用尺规作出ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB,AC的切点D,E,F（保留痕迹，不必写作法）.
0（2）连结EF,DF，求EFD的度数.
答案：答案(1)详见解析；（2）∠EFD=70°.
解析
试题分析：（1）用尺规作图的方法，作出∠A和∠C的角平分线的交点即为内切圆O；（2）由切线的性质可得∠ODB=∠OEB=90°，已知∠B的度数，根据四边形内角和360度，可求得∠DOE，由圆周角定理可求得∠EFD. 试题解析：（1）如图，圆O即可所求.
（2）解：连结OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥BC， 所以∠ODB=∠OEB=90°，又因为∠B=40°， 所以∠DOE=140°， 所以∠EFD=70°.
考点：圆周角定理，切线的性质，三角形的内切圆与内心
20170919153623421488 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
13. (2017 浙江省温州市) 本题10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O
在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形； （2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．
AEFGOCDB
答案：答案(1)证明见解析；（2）2．
解析
试题解析：（1）连接CE，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠B=45°， ∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°， ∴∠CEO=45°， ∵DE∥CF，
∴∠ECD=∠FEC=45°， ∴∠EOC=90°， ∴EF∥OD，
∴四边形CDEF是平行四边形； （2）过G作GN⊥BC于N， ∴△GMB是等腰直角三角形， ∴MB=GM，
∵四边形CDEF是平行四边形， ∴∠FCD=∠FED，
∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°， ∴∠CGM=∠ACD， ∴∠CGM=∠DEF， ∵tan∠DEF=2，
∴tan∠CGM=∴CM=2GM，
CM=2， GM∴CM+BM=2GM+GM=3， ∴GM=1， ∴BG=2GM=2．
考点：切线的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形．
20170919152808640273 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
14. (2017 浙江省丽水市) 2017·丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交
AB于点D，切线DE交AC于点E.
(1)求证：∠A=∠ADE；
(2)若AD=16，DE=10，求BC的长.
答案：】．答案（1）证明：连结OD，∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°， ∴∠ADE+∠BDO=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， 又∵OD=OB， ∴∠B=∠BDO， ∴∠ADE=∠A.
（2）解：连结CD，∵∠ADE=∠A， ∴AE=DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°.
∴EC是⊙O的切线，∴DE=EC， ∴AE=EC. 又∵DE=10， ∴AC=2DE=20， 在Rt△ADC中，DC= 设BD=x，
在Rt△BDC中，BC=x+12, 在Rt△ABC中，BC=(x+16)-20, ∴x+12=(x+16)-20,解得x=9， ∴BC=
.
2
2
2
22
2
2
2
2
2
.
考点切线的性质
解析分析（1）连结OD，根据切线的性质和同圆的半径相等，及圆周角所对的圆周角为90°，得到相对应的角的关系，即可证明；（2）由（1）中的∠ADE=∠A可得AE=DE；由∠ACB=90°，可得EC是⊙O的切线，由切线长定理易得DE=EC，则AC=2DE，由勾股定理求出CD；设BD=x，再可由勾股定理BC= x+12=(x+16)-20,可解出x的值，再重新代入原方程，即可求出BC.
2
2
2
2
2
20170919150525593305 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
15. (2017 浙江省湖州市) 如图，已知30，在射线上取点1，以1为圆心的
圆与相切；在射线1上取点2，以2为圆心，21为半径的圆与相切；在射线
2上取点3，以3为圆心，32为半径的圆与相切；；在射线9上取点10，
以10为圆心，109为半径的圆与相切．若是 ．
1的半径为1，则10的半径长
答案：答案512（或29）
考点：1、圆的切线，2、30°角的直角三角形
20170919145713812005 4.5 切线的判定与性质 填空题 基础知识 2017-9-19
16. (2017 浙江省杭州市) 如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠
ATB= ．
答案：答案50
解析
试题分析：根据切线的性质即可求出∠BAT=90°，然后根据互余的性质，由∠ABT=40°，求得∠ATB=50°， 故答案为：50°
考点：切线的性质
20170919144912828586 4.5 切线的判定与性质 填空题 基础知识 2017-9-19
17. (2017 四川省宜宾市) 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O
于点D，且AE⊥CD，垂足为点E． （1）求证：直线CE是⊙O的切线． （2）若BC=3，CD=3
，求弦AD的长．
答案：考点ME：切线的判定与性质．
分析（1）连结OC，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）由△CDB∽△CAD，可得推出AB=CA﹣BC=3，出k即可解决问题．
解答（1）证明：连结OC，如图， ∵AD平分∠EAC， ∴∠1=∠3， ∵OA=OD， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠2， ∴OD∥AE， ∵AE⊥DC， ∴OD⊥CE，
=
==
=
，推出CD=CB•CA，可得（3
2
）=3CA，推出CA=6，
2
2
2
，设BD=K，AD=2K，在Rt△ADB中，可得2k+4k=5，求
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵∠CDO=∠ADB=90°， ∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C， ∴△CDB∽△CAD， ∴
2
==，
∴CD=CB•CA， ∴（3
）=3CA，
2
∴CA=6， ∴AB=CA﹣BC=3，
2
=
2
=，设BD=K，AD=2K，
在Rt△ADB中，2k+4k=5， ∴k=∴AD=
， ．
20170919140905421502 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
18. (2017 山东省枣庄市) 如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD
相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则
的长为 ．
答案： π ．
考点MC：切线的性质；L5：平行四边形的性质；MN：弧长的计算．
分析先连接OE、OF，再求出圆心角∠EOF的度数，然后根据弧长公式即可求出解答解：如图连接OE、OF，
的长．
∵CD是⊙O的切线， ∴OE⊥CD， ∴∠OED=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°， ∴∠A=∠C=60°，∠D=120°， ∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA=60°， ∴∠DFO=120°，
∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°， 的长=故答案为：π．
=π．
20170919111620015493 4.5 切线的判定与性质 填空题 基础知识 2017-9-19
19. (2017 山东省威海市) 】．已知：AB为⊙O的直径，AB=2，弦DE=1，直线AD与BE相交于点
C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC于点F．
（1）如图1，若DE∥AB，求证：CF=EF；
（2）如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理
由．
答案：】．分析（1）如图1，连接OD、OE，证得△OAD、△ODE、△OEB、△CDE是等边三角形，
进一步证得DF⊥CE即可证得结论；
（2）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论． 解答证明：如图1，连接OD、OE， ∵AB=2，
∴OA=OD=OE=OB=1， ∵DE=1， ∴OD=OE=DE，
∴△ODE是等边三角形， ∴∠ODE=∠OED=60°， ∵DE∥AB，
∴∠AOD=∠ODE=60°，∠EOB=∠OED=60°， ∴△AOD和△△OE是等边三角形， ∴∠OAD=∠OBE=60°，
∴∠CDE=∠OAD=60°，∠CED=∠OBE=60°， ∴△CDE是等边三角形， ∵DF是⊙O的切线， ∴OD⊥DF，
∴∠EDF=90°﹣60°=30°， ∴∠DFE=90°， ∴DF⊥CE， ∴CF=EF；
（2）相等；
如图2，点E运动至与点B重合时，BC是⊙O的切线， ∵⊙O的切线DF交BC于点F， ∴BF=DF， ∴∠BDF=∠DBF， ∵AB是直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°， ∴∠FDC=∠C， ∴DF=CF， ∴BF=CF．
点评本题考查了切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．
20170919110518000243 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
20. (2017 山东省日照市) 如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点
C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（ ）
A． B． C．5 D．
】．答案A. 答案：
试题分析：过点D作OD⊥AC于点D， ∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A， ∴AB⊥AP， ∴∠BAP=90°， ∵∠P=30°， ∴∠AOP=60°， ∴∠AOC=120°， ∵OA=OC， ∴∠OAD=30°， ∵AB=10， ∴OA=5， ∴OD=
1AO=2.5， 2∴AD=AO2OD253 = ， 2∴AC=2AD=5故选A．
3，
考点：切线的性质．
20170919104908218738 4.5 切线的判定与性质 选择题 基础知识 2017-9-19
21. (2017 山东省聊城市) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O
于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）求证：△PBD∽△DCA；
（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．
答案：考点S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质．
分析（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；
（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （3）由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，得到DB=DC，根据（2）的相似，得比例，求出所求即可． 解答（1）证明：∵圆心O在BC上， ∴BC是圆O的直径， ∴∠BAC=90°，
连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠DAC， ∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC， ∵PD∥BC， ∴OD⊥PD，
∵OD为圆O的半径， ∴PD是圆O的切线；
（2）证明：∵PD∥BC， ∴∠P=∠ABC， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠P=∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°， ∴∠PBD=∠ACD， ∴△PBD∽△DCA；
（3）解：∵△ABC为直角三角形， ∴BC=AB+AC=6+8=100， ∴BC=10，
∵OD垂直平分BC， ∴DB=DC，
∵BC为圆O的直径， ∴∠BDC=90°，
在Rt△DBC中，DB+DC=BC，即2DC=BC=100， ∴DC=DB=5
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∵△PBD∽△DCA， ∴
=
，
则PB===．
20170919104123640327 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
22. (2017 山东省济宁市) 8分）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=8，D是BC的中点，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求AE的长．
（第19题）
答案：证明：（1）连接OD,
∵D是BC的中点，∴BDDC ∴BODBAE ∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，∴ADE90.∴AED90. ∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O 的切线．……………………………………………………………4分 （2）过点O作OF⊥AC于点F，∵AC10, ∴
11AFCFAC105.22∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°， ∴四边形OFED是矩形， ∴FE=OD=
1AB.∵AB12,∴FE=6 2∴AE=AF+FE=5+6=11.……………………………………………………… 8分
20170919103134906156 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
23. (2017 山东省东营市) 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D
作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F． （1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
答案：答案（1）证明见解析（2）8
解析
∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ODB=∠ACB， ∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径， ∴DE⊥OD， ∴DE⊥AC；
∵OH⊥AF， ∴AH=FH=
1AF， 2∴AF=2AH=2×8=16．学科&网
考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、矩形的判定与性质
20170919101157718492 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
RtABC,C90,D为BC的中点.以AC为直径的24. (2017 山东省德州市) 如图，已知
圆O交AB于点E.
（1）求证：DE是圆O的切线.
(2)若AE:EB1:2,BC6，求AE的长.
答案：考点：圆切线判定定理及相似三角形
解析：利用思路：知（连）半径，证垂直，证明DE是圆O的切线；利用射影定理或相似三角形证明：BE解答
2BEBA,再列方程，求AE的长.
20170919100322234976 4.5 切线的判定与性质 证明题 基础知识 2017-9-19
25. (2017 山东省滨州市) 2017山东滨州）（本小题满分10分） 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC． （1）求证：直线DM是⊙O的切线；
2
（2）求证：DE＝DF·DA．
A
O·BMD E·CF
答案：思路分析：（1）①连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；②证明∠BAD＝∠DAC；③证
2
明∠G＝∠BAD；④证明∠MDB＝∠G；⑤证明∠GDM＝90°；（2）①利用相似证明BD＝DF·DA；②利用等角对等边证明DB＝DE． 证明：（1）如答图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG； ∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC． ∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，
∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°． ∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；
G A
O·A
O·BME·CE·CBMDFD答图1
F答图2
（2）如答图2，连接BE．
∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD． ∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD． ∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．
∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BD＝DF·DA． ∴DE＝DF·DA．
2
2
20170919095455453980 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
26. (2017 内蒙古赤峰市) 如图，AB为⊙O的直径，D为AC的中点，连接OD交弦AC于
点F.过点D作DE//AC，交BA的延长线于点E. （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若OAAE4，求四边形ACDE的面积.
答案：答案（1）证明见解析（2）83 解析
（2）解：连接DC， ∵D为AC的中点， ∴OD⊥AC，AF=CF， ∵AC∥DE，且OA=AE，
∴F为OD的中点，即OF=FD， 在△AFO和△CFD中，
AFCFAFOCFD OFFD∴△AFO≌△CFD（SAS）， ∴S△AFO=S△CFD， ∴S四边形ACDE=S△ODE
在Rt△ODE中，OD=OA=AE=4， ∴OE=8， ∴DE=OE2OD2=43，
11×OD×DE=×4×43=83． 22∴S四边形ACDE=S△ODE=
考点：切线的判定与性质
20170919091601281674 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
27. (2017 内蒙古包头市) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB．
（1）求证：AE•EB=CE•ED； （2）若⊙O的半径为3，OE=2BE，
CE9，求tan∠OBC的值及DP的长． DE5
答案：答案（1）证明见解析；（2）tan∠OBC=2，解析
4． 3
（2）解：∵⊙O的半径为3，∴OA=OB=OC=3，∵OE=2BE，∴OE=2，BE=1，AE=5，∵∴设CE=9x，DE=5x，∵AE•EB=CE•ED，∴5×1=9x•5x，解得：x1=
CE9，DE511，x2=﹣（不合题意舍去），3351∴CE=9x=3，DE=5x=，过点C作CF⊥AB于F，∵OC=CE=3，∴OF=EF=OE=1，∴BF=2，在Rt
32△OCF中，∵∠CFO=90°，∴CF+OF=OC，∴CF=22
2
2
2，在Rt△CFB中，∵∠CFB=90°，∴tan
∠OBC=
CF22=2，∵CF⊥AB于F，∴∠CFB=90°，∵BP是⊙O的切线，AB是⊙O的直BF2径，∴∠EBP=90°，∴∠CFB=∠EBP，在△CFE和△PBE中，∵∠CFB=∠PBE，EF=EF，∠FEC=∠BEP，∴△CFE≌△PBE（ASA），∴EP=CE=3，∴DP=EP﹣ED=3﹣
54=．学科&网 33
考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形．
20170919085245625830 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
28. (2017 辽宁省营口市) 12分）如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是
C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．
的中点，过点
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAD=，BF=15，求AC的长．
答案：答案（1）见解析；（2）16.
解析
试题解析：（1）证明：连接OC，如图1所示． ∵点C是BE的中点，∴CEBC，∴OC⊥BE． ∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BE，∴AD∥OC． ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示． ∵点C是BE的中点，∴CEBC，∠BAC=∠CAE， ∴
EFBF． AEAB4EF34，∴，∴AB=BF=20． 5AE4314AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD=， 25∵cos∠CAD=
在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO=
∴AM=AO•cos∠OAM=8，∴AC=2AM=16．
考点：切线的判定与性质；解直角三角形；平行线的性质；垂径定理；圆周角定理角平分线的性质.
20170919084234828027 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
29. (2017 辽宁省铁岭市) 12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在∠ACB的内部
作∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF． （1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求
的长；
（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．
答案：答案（1）AG=4
解析
试题分析：（1）连接OB，首先证明四边形BOHF是矩形，求出AB、BF的长，由BF∥AC，可得
﹣4
．；（2）BF是⊙O的切线．
===，可得=，由此即可解决问题；
（2）结论：BF是⊙O的切线．只要证明OB⊥BF即可； 试题解析：（1）∵AC是直径， ∴∠CBA=90°， ∵BC=BA，OC=OA， ∴OB⊥AC， ∵FH⊥AC， ∴OB∥FH，
在Rt△CFH中，∵∠FCH=30°，
∴FH=CF， ∵CA=CF，
∴FH=AC=OC=OA=OB， ∴四边形BOHF是平行四边形， ∵∠FHO=90°， ∴四边形BOHF是矩形， ∴BF=OH，
在Rt△ABC中，∵AC=8， ∴AB=BC=4∵CF=AC=8， ∴CH=4
，BF=OH=4
﹣4，
，
∵BF∥AC，
∴∴
===﹣4
=， ．
，
∴AG=4
∴BF是⊙O的切线．
考点：切线的判定、矩形的判定．等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质、平行线分线段成比例定理 学科&网
20170919082933609979 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
30. (2017 辽宁省大连市) 如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切
线，AD与BC相交于点E． （1）求证：BD=BE； （2）若DE=2，BD=
，求CE的长．
答案：考点MC：切线的性质；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．
分析（1））设∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，进而求出∠D=∠BED=90°﹣α，从而可知BD=BE；
（2）设CE=x，由于AB是⊙O的直径，∠AFB=90°，又因为BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD=所以tanα=，从而可求出AB=解答解：（1）设∠BAD=α， ∵AD平分∠BAC ∴∠CAD=∠BAD=α，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
=2
，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．
，
∴∠ABC=90°﹣2α， ∵BD是⊙O的切线， ∴BD⊥AB， ∴∠DBE=2α，
∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α，
∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α， ∴∠D=∠BED， ∴BD=BE
（2）设AD交⊙O于点F，CE=x，则AC=2x，连接BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∵BD=BE，DE=2， ∴FE=FD=1， ∵BD=
，
∴tanα=， ∴AB=
=2
在Rt△ABC中，
由勾股定理可知：（2x）+（x+∴解得：x=﹣∴CE=
；
或x=
，
2
）=（2
2
），
2
20170919082002375998 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-19
31. (2017 江西省南昌市) 如图1，O的直径AB12,P是弦BC上一动点（与点B,C不重
合），ABC30，过点P作PDOP交
0O于点D.
（1）如图2，当PD//AB时，求PD的长； （2）如图3，当DC①求证：DE是②求PC的长．
AC时，延长AB至点E，使BE1AB，连接DE． 2O的切线；
答案：
解：（1）依题意得：OPtan30?r23根据勾股定理可得PD=26（2）①证明：连接ODDOE60?又OE2OD12ODE是直角三角形，且ODE90?DE是O的切线②连接DB、AC，可知DBPOBP30?又BPBPDBOBDBPOBPBC63,BP333PC333
20170918165710828993 4.5 切线的判定与性质 复合题 基础知识 2017-9-18
32. (2017 江苏省无锡市) 如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边
AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（ ）
DCAC
A．5 B．6 C．25 D．32
答案：答案C.
解析
试题解析：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．
∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，
∴AB•DH=32O， ∴DH=16， 在Rt△ADH中，AH=∴HB=AB﹣AH=8， 在Rt△BDH中，BD=AD2DH2=12，
DH2BH285，
设⊙O与AB相切于F，连接AF． ∵AD=AB，OA平分∠DAB， ∴AE⊥BD，
考点：1.切线的性质；2.菱形的性质．
20170918164607750035 4.5 切线的判定与性质 选择题 基础知识 2017-9-18
33. (2017 江苏省盐城市) 如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心
为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）
（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．
答案：考点O4：轨迹；MC：切线的性质；N3：作图—复杂作图．
分析（1）作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可； （2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为
，先求出△ABC的三边长度，得出
其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，从而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．
解答解：（1）如图①所示，射线OC即为所求；
（2）如图，圆心O的运动路径长为
，
过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G， 过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O2B， 过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，
∴AC===9，AB=2BC=18，∠ABC=60°，
∴C△ABC=9+9+18=27+9，
∵O1D⊥BC、O1G⊥AB， ∴D、G为切点， ∴BD=BG，
在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，
∵，
∴△O1BD≌△O1BG（HL）， ∴∠O1BG=∠O1BD=30°，
在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，
∴BD===2，
∴OO1=9﹣2﹣2=7﹣2，
∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC， ∴O1D∥OE，且O1D=OE， ∴四边形OEDO1为平行四边形，
∵∠OED=90°， ∴四边形OEDO1为矩形，
同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形， 又OE=OF，
∴四边形OECF为正方形，
∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°， ∴∠GO1D=120°，
又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，
∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC， 同理，∠O1OO2=90°， ∴△OO1O2∽△CBA，
∴=，即=，
∴
=15+，即圆心O运动的路径长为15+．
20170918161057781265 4.5 切线的判定与性质 画(作)图题 基础知识 2017-9-18
34. (2017 江苏省徐州市) 如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB=BC=2，
则∠AOB= °．
答案：考点MC：切线的性质．
分析由垂径定理易得BD=1，通过解直角三角形ABD得到∠A=30°，然后由切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质可以求得∠AOB的度数． 解答解：∵OA⊥BC，BC=2，
∴根据垂径定理得：BD=BC=1． 在Rt△ABD中，sin∠A=∴∠A=30°．
∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABO=90°． ∴∠AOB=60°． 故答案是：60．
=．
20170918155223125322 4.5 切线的判定与性质 填空题 基础知识 2017-9-18
35. (2017 江苏省泰州市) 如图，⊙O的直径AB=12cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于
点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD． （1）求证：点P为BD的中点；
（2）若∠C=∠D，求四边形BCPD的面积．
答案：答案（1）详见解析；（2）183．
试题分析：（1）连接OP，根据切线的性质得到PC⊥OP，根据平行线的性质得到BD⊥OP，根据垂径
定
理
∵∠POB=2∠D， ∴∠POB=2∠C， ∵∠CPO=90°， ∴∠C=30°， ∵BD∥CP， ∴∠C=∠DBA， ∴∠D=∠DBA， ∴BC∥PD，
∴四边形BCPD是平行四边形，
∴四边形BCPD的面积=PC•PE=63×3=183．学科%网
考点：切线的性质；垂径定理；平行四边形的判定和性质.
20170918154203937769 4.5 切线的判定与性质 复合题 数学思考 2017-9-18
36. (2017 吉林省长春市) 如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB
交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
答案：答案D．
解析
考点：切线的性质．
20170918152030437777 4.5 切线的判定与性质 选择题 基础知识 2017-9-18
37. (2017 湖南省益阳市) 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，
且∠BCD=∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．
第20题图
答案：解：（1）如图，连接OC．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵OA=OC, ∠BCD=∠A ∴∠ACO=∠A=∠BCD ∴∠BCD +∠OCB=90°,即∠OCD=90° ∴CD是⊙O的切线．
（2）由（1）及已知有∠OCD=90°，OC=3，CD=4, 据勾股定理得：OD =5 ∴BD=ODOB=53 = 2．
5分
10分
第20题
20170915103014515058 4.5 切线的判定与性质 证明题 数学思考 2017-9-15
38. (2017 湖南省湘潭市) 如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不
与点A、B及AB的中点F重合），连接OM.过点M作MEAB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过M点作
O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN.
（1）探究：如左图，当M动点在AF上运动时； ①判断OEM②设
MDN是否成立？请说明理由；
MENCk，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
MN③设MBN，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）拓展：如右图，当动点M在FB上运动时；
分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）
答案：
20170915100239140740 4.5 切线的判定与性质 复合题 数学思考 2017-9-15
39. (2017 湖南省常德市) 如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．
答案：答案（1）证明见解析；（2）4.8．
解析
试题分析：（1）由BE∥CO，推出∠OCB=∠CBE，由OC=OB，推出∠OCB=∠OBC，可得∠CBE=∠CBO； （2）在Rt△CDO中，求出OD，由OC∥BE，可得
DCDO，由此即可解决问题；学科网 CEOB试题解析：（1）证明：∵DE是切线，∴OC⊥DE，∵BE∥CO，∴∠OCB=∠CBE，∵OC=OB，∴∠OCB=
∠OBC，∴∠CBE=∠CBO，∴BC平分∠ABE． （2）在Rt△CDO中，∵DC=8，OC=0A=6，∴OD=∴
CD2OC2=10，∵OC∥BE，∴
DCDO，CEOB810，∴EC=4.8． CE6考点：切线的性质．
20170915090045281607 4.5 切线的判定与性质 证明题 数学思考 2017-9-15
40. (2017 湖北省黄石市) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，
连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE． （1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线．
答案：答案（1）证明见解析；（2）证明见解析．
解析
试题分析：（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DBE=∠DEB； （2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；
试题解析：（1）证明：∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，∵∠BED=∠BAE+∠
EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．
考点：三角形的内切圆与内心；切线的判定．
20170914151806375674 4.5 切线的判定与性质 证明题 数学思考 2017-9-14
CD是⊙O的直径，41. (2017 湖北省恩施自治州) 如图11，AB、且BE∥CD，BE是⊙O的弦，
过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC. (1)求证：BC平分∠ABP； (2)求证：PC2=PB?PE；
(3)若BE-BP=PC=4，求⊙O的半径.
答案：答案（1）详见解析；（2）详见解析；（3）5.
试题分析：（1）由BE∥CD知∠1=∠3，根据∠2=∠3即可得∠1=∠2；（2）连接EC、AC，由PC是⊙O的切线且BE∥DC，得∠1+∠4=90°，由∠A+∠2=90°且∠A=∠5知∠5+∠2=90°，根据∠1=∠2得∠4=∠5，从而证得△PBC∽△PCE，即可得结论；（3）由PC2=PB•PE、BE﹣BP=PC=4求得BP=2、BE=6，作EF⊥CD可得PC=FE=4、FC=PE=8，再Rt△DEF≌Rt△BCP得DF=BP=2，据此得出CD的长即可． 试题解析：
∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCD=90°， 又∵BE∥DC， ∴∠P=90°， ∴∠1+∠4=90°，
∵AB为⊙O直径， ∴∠A+∠2=90°， 又∠A=∠5， ∴∠5+∠2=90°， ∵∠1=∠2， ∴∠5=∠4， ∵∠P=∠P，
∵∠P=∠PCF=90°， ∴四边形PCFE为矩形，
∴PC=FE=4， FC=PE=8，∠EFD=∠P=90°， ∵BE∥CD， ∴
DEBC，
∴DE=BC，
在Rt△DEF和Rt△BCP中， ∵
，
DEBCEFCP∴Rt△DEF≌Rt△BCP（HL）， ∴DF=BP=2， 则CD=DF+CF=10，
∴⊙O的半径为5．
考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
20170914142624125324 4.5 切线的判定与性质 复合题 数学思考 2017-9-14
42. (2017 贵州省遵义市) 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并
延长与⊙O交于C点，连接AC，BC． （1）求证：四边形ACBP是菱形；
（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．
（2）菱形ACBP的面积=答案：答案（1）.证明见解析；
33． 2试题解析： （1）连接AO，BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=
1∠APB=30°， 2∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，∴∠ACO=30°， ∴∠ACO=∠APO，∴AC=AP，
同理BC=PB，∴AC=BC=BP=AP，∴四边形ACBP是菱形；
考点：切线的性质；菱形的判定与性质．
20170914090825078988 4.5 切线的判定与性质 复合题 数学思考 2017-9-14
43. (2017 贵州省黔南州) 如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两
点．
（1）求证：PT=PA•PB； （2）若PT=TB=
，求图中阴影部分的面积．
2
答案：考点S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．
分析（1）连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得
=
，由此即可解决问题；
（2）首先证明△AOT是等边三角形，根据S阴=S扇形OAT﹣S△AOT计算即可； 解答（1）证明：连接OT．
∵PT是⊙O的切线， ∴PT⊥OT， ∴∠PTO=90°， ∴∠PTA+∠OTA=90°， ∵AB是直径， ∴∠ATB=90°， ∴∠TAB+∠B=90°， ∵OT=OA， ∴∠OAT=∠OTA，
∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P， ∴△PTA∽△PBT， ∴
2
=，
∴PT=PA•PB．
（2）∵TP=TB=
，
∴∠P=∠B=∠PTA， ∵∠TAB=∠P+∠PTA， ∴∠TAB=2∠B， ∵∠TAB+∠B=90°，
∴∠TAB=60°，∠B=30°， ∴tanB=∴AT=1，
∵OA=OT，∠TAO=60°， ∴△AOT是等边三角形， ∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=
﹣
•12=
﹣
．
=
，
20170914084245937988 4.5 切线的判定与性质 复合题 数学思考 2017-9-14
44. (2017 贵州省毕节地区) 如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC
是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）求AE的长．
答案：考点ME：切线的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
分析（1）利用圆周角定理得到∠DBC=90°，再利用平行四边形的性质得AO∥BC，所以BD⊥OA，加上EF∥BD，所以OA⊥EF，于是根据切线的判定定理可得到EF是⊙O的切线；
（2）连接OB，如图，利用平行四边形的性质得OA=BC，则OB=OC=BC，于是可判断△OBC为等边三角形，所以∠C=60°，易得∠AOE=∠C=60°，然后在Rt△OAE中利用正切的定义可求出AE的长．
解答（1）证明：∵CD为直径， ∴∠DBC=90°， ∴BD⊥BC，
∵四边形OABC是平行四边形， ∴AO∥BC， ∴BD⊥OA， ∵EF∥BD， ∴OA⊥EF，
∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接OB，如图， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA=BC， 而OB=OC=OA， ∴OB=OC=BC，
∴△OBC为等边三角形， ∴∠C=60°， ∴∠AOE=∠C=60°， 在Rt△OAE中，∵tan∠AOE=∴AE=3tan60°=3
．
，
20170913161917109817 4.5 切线的判定与性质 复合题 数学思考 2017-9-13
45. (2017 广西玉林市) 如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交
AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．
（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；
（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．
答案：考点MC：切线的性质．
分析（1）首先证明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根据两锐角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；
（2）连接OF交AC于O′，连接CF．只要证明四边形AFCO是菱形，推出△AFO是等边三角形即可解决问题；
解答解：（1）连接OC． ∵DE是⊙O的切线， ∴OC⊥DE， ∵AD⊥DE， ∴AD∥OC， ∴∠DAC=∠ACO， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∴∠DAE=2α， ∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠E=90°，
∴2α+β=90°（0°＜α＜45°）．
（2）连接OF交AC于O′，连接CF． ∵AO′=CO′， ∴AC⊥OF， ∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA=∠CAO， ∴CF∥OA，∵AF∥OC， ∴四边形AFCO是平行四边形， ∵OA=OC，
∴四边形AFCO是菱形， ∴AF=AO=OF，
∴△AOF是等边三角形， ∴∠FAO=2α=60°， ∴α=30°， ∵2α+β=90°， ∴β=30°， ∴α=β=30°．
20170913150609750685 4.5 切线的判定与性质 复合题 解决问题 2017-9-13
46. (2017 江苏省连云港市) 如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，
AB=12，AC=8，则⊙O的半径长为 ．
答案：答案5
解析
试题分析：连接OB，根据切线的性质可知OB⊥AB，可设圆的半径为r，然后根据勾股定理可得
r2AB2(rAC)2，即r2122(8r)2，解得r=5.
故答案为：5.
考点：1、切线的性质，2、勾股定理
20170907160150554799 4.5 切线的判定与性质 填空题 数学思考 2017-9-7
47. (2017 甘肃省陇南市) 如图，AN是
M的直径，NB//x轴， AB交M于点C．
（1）若点A(0,6),N(0,2),ABN30，求点B的坐标；
M的切线．
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是
答案：(8分)解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2）
∴AN=4， 1分 ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8， 2分 ∴由勾股定理可知：NB=43，
∴B（43，2） 3分 （2）连接MC，NC 4分 ∵AN是⊙M的直径， ∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°， 5分 在Rt△NCB中，D为NB的中点， ∴CD=
y AC MNOD Bx 1NB=ND， 2∴∠CND=∠NCD， 6分 ∵MC=MN， ∴∠MCN=∠MNC． ∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°， 7分 即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线． 8分
20170907092201085430 4.5 切线的判定与性质 填空题 数学思考 2017-9-7
48. (2017 甘肃省天水市) 如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外
一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C． （1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．
答案：考点MD：切线的判定．
分析（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD，出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；
（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长． 解答（1）证明：连接OB，如图所示： ∵E是弦BD的中点， ∴BE=DE，OE⊥BD，
=
，
=
，由圆周角定理得
∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°， ∵∠DBC=∠A， ∴∠BOE=∠DBC， ∴∠OBE+∠DBC=90°， ∴∠OBC=90°， 即BC⊥OB， ∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB， ∴OC=
=10，
∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC， ∴BE=
=
=4.8，
∴BD=2BE=9.6， 即弦BD的长为9.6．
20170821161949640347 4.5 切线的判定与性质 应用题 数学思考 2017-8-21
49. (2017 甘肃省白银九市) 如图，AN是
M的直径，NB//x轴，AB交M于点C．
（1）若点A0,6,N0,2,ABN300，求点B的坐标；
M的切线．
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是
答案：(8分)解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2）
∴AN=4， 1分 ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8， 2分 ∴由勾股定理可知：NB=43，
∴B（43，2） 3分 （2）连接MC，NC 4分 ∵AN是⊙M的直径， ∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°， 5分 在Rt△NCB中，D为NB的中点， ∴CD=
y AC MNOD Bx 1NB=ND， 2∴∠CND=∠NCD， 6分 ∵MC=MN， ∴∠MCN=∠MNC． ∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°， 7分 即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线． 8分
20170821135529453402 4.5 切线的判定与性质 应用题 数学思考 2017-8-21
50. (2017 福建省宁德市) 10分）如图，BF为⊙O的直径，直线AC交⊙O于A，B两点，点D在
⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若 BF=10，sin∠BDE=
，求DE的长．
答案：考点ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．
分析（1）先连接OD，根据∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，再根据DE⊥AC，可得OD⊥DE，进而得出直线DE是⊙O的切线；
（2）先连接DF，根据题意得到∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，根据得BD=2DE的长．
解答解：（1）如图所示，连接OD， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD， ∵BD平分∠OBC， ∴∠OBD=∠DBE， ∴∠ODB=∠DBE， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径， ∴直线DE是⊙O的切线；
（2）如图，连接DF， ∵BF是⊙O的直径， ∴∠FDB=90°， ∴∠F+∠OBD=90°，
∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°， ∴∠F=∠BDE，
，在Rt△BDE中，根据sin∠BDE=
=
=sinF=sin∠BDE=
，可
，可得BE=2，最后依据勾股定理即可得到
在Rt△BDF中，∴BD=10×
=2
=sinF=sin∠BDE=，
=
，
∴在Rt△BDE中，sin∠BDE=∴BE=2
×
=2，
，
∴在Rt△BDE中，DE===4．
点评本题主要考查了切线的判定以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形以及直角三角形，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
20170821131912843118 4.5 切线的判定与性质 应用题 数学思考 2017-8-21
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