1 •试计算连续功率均为1W的两光源，分别发射
=0.5000 m
=3000MHZ勺
光，每秒从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？ 答：粒子数分别为：m
1
34
0.5 10
34
8
2.5138 1018
6.63 10
c -
6.63 10 3 10
q
1
6.63 10 34 3 109
5.0277 1023
2 •热平衡时，原子能级 巳的数密度为n2,下能级E1的数密度为n1,设g1
g2 ,
求：⑴ 当原子跃迁时相应频率为 =3000MHz T= 300K时nJ n1为若干。(2)若
原子跃迁时发光波长 =1 ,压/n 1= 0.1时，贝U温度T为多高？ Rm / m
答: (1) e kT 则有:
n n/gn
h
g
(
E
m
E)
R
n2
ekT exp[
]
]
6.63 10 34 3 109]
]
23
(2)世 e
n1
kT
exp[
6.63 10 34 3 108 1.38 10 23 1 10 6 T
0.1 T 6.26 10K
3
3•已知氢原子第一激发态(E2)与基态(Ed之间能量差为1.64 X 10 “J,设火焰(T =2700K)中含有1020个氢原子。设原子按玻尔兹曼分布，且 4g— g2。求：(1)能 n2为级巳上的原子数 多少？ (2)设火焰中每秒发射的光子数为10 门2，求光的功 率为多少瓦?
答：(1)互型
m g2
且 n1 n2
10
20
8
n1
exp[ q 身驚 丫 ] 3.11 10 可求出n2 31
8
(2)功率二 10
189
31 1.64 10 5.084 10 W
4. (1)普通光源发射 =0.6000 m波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密
度之比q自=2000，求此时单色能量密度为若干？⑵在心
Ne
激光器中若
5.0
10 J s/m ,
43
,q
为 0.6328 m 设=1, 求 •为若干？
激
答: (1)
q激 q自
3
c
3
1 2000 8
3
(0.6 10 )
63
8 h 3
q
8 h
3
6.63 10 34
34
3.857 10 17J s/m
(2)
激
c
(0.6328 10 6)3 8
6.63 10 34
q自 8 h
3
8 h
5 10
4
7.6 109
5 •在红宝石Q调制激光器中，有可能将全部 Cr3+ （铬离子）激发到激光上能级并 产生巨脉冲。设红宝石直径 0.8cm,长8cm铬离子浓度为2X 10cm,巨脉冲 宽度为10ns。求：（1）输出0.6943 m激光的最大能量和脉冲平均功率； ⑵ 如 上能级的寿命 二10「2s，问自发辐射功率为多少瓦？ 答：（1）最大能量
r2 d h —
18
3
0.0042 0.08 2 1018
2.3 10 6
9
106 6.63 10 34
0.6943 10
6
2.3J
脉冲平均功率二半
2.30 10 瓦
8
10 10
N自
dt n2o
0 n 20 e
A21
t
(2)
P自
2.3 1 145瓦
8 he 1
hc
6 •试证单色能量密度公式，用波长 来表示应为
e市1
证明:
dw dVd
dw c dVd
2
8 hc 1
e
h kT 5
h
e kT 1
1 1
m
7.试证明, 黑体辐射能量密度 （ ）为极大值的频率
由关系mT 2.82kh给
8
答：(1)由
h 3
3 hv
1
c TT _ ekT 1
3
可得:
8 h( 3 2 * 4 c e讦1
h
1
令x
h
2
ekT丄
kT
x
kT
解上面的方程可得：x 2.82 即：「 2.82
kT
m
，则上式可简化为：
3(e 1)
x
xe
T 1 2.82kh 1
(2)辐射能量密度为极大值的波长
m
与m的关系仍为
8•由归一化条化证明(1 — 65a)式中的比例常数A
4\" °； (1/2)2，由归一化条件且0是极大的正数可得: 证明： N
1
f()
证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按(1-26 )式变化:
屯(t)= n2°e
自发辐射的平均寿命可定义为
4 2(
9 •试证明：自发辐射的平均寿命
A21为自发辐射系数。
A ________________
d
n2 t dt
n
20
式中n2 t dt为t时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔 dt产生的总时间，因 此上述广义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子 总数平均，就得到自发辐射的平均寿命。将（1-26）式代入积分即可得出
o
e
A
2l
t
dt
A21
10•光的多普勒效应中，若光源相对接收器的速度为 的频率
■1 C 1
c
0 ,
c,证明接收器接收到
在一级近似下为:
2
0
(1
2
证明： 即证
(1 —)(1 —)
c c
(1
c
）（1
2
) 0
(1 )
0
c C
11 •静止氖原子的3S
2R谱线的中心波长为0.6328
m设氖原子分别以
0.1 c, 0.5c的速度向着接收器运动，问接收到的频率各为多少?
3 101.1 c 1.1 1 c 14
5 241 10 Hz 答：0.1c 06 5.24 1 10 Hz 1 c ,0.9 0.9
0.6328 10
同理可求：
0.1c
4.288 1014Hz ； 8.211 10Hz ；
14
0.5c 0.5c
2.737 10Hz
14
12•设氖原子静止时发出0.6328 m红光的中心频率为4.74 X10Hz,室温下氖 原子的平均速率设为560m/s。求此时接收器接收频率与中心频率相差若干？
560
0(1 -) 0(1 8) (1 1.8667 10 ) 0 c 3 10 1.8667 10
6
14
6
答:
4.74 10
14
8.848 10 Hz
8
13. (1) 一质地均匀的材料对光的吸收为 O.OImmi、光通过10cm长的该材料后, 出射光强为入射光强的百分之几？ (2)—光束通过长度为1m的均匀激活的工作 物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。 答； (1)丨⑵
Az
l(0)e
I ( z) 0.01100 1
丄 0.368 l(0) e e eG1 2 G
(2) l(z) I(0)e
Gz
l(z
) In 2 0.693m
I(0
思考练习题2
1.利用下列数据，估算红宝石的光增益系数
n2- n1= 5 1018cm3
, 1/f ( ) = 2X
10 11
1
-3
21
3 10s, 入=0.6943 m = l.5 ,
gl = g2o
答:
G()
nB21 —c
h f (
3 n
A8 3h 3
G()
/
2
3
ch
f()
n A
21
厂
f()
3
B21
c
510
18
G()
侖
(0.6943 10 4)2
1
1
8 1.52
2 1011
0.71cm
2. He-Ne激光器中，Ne原子数密度n°= n计n2= 10 12
cm
-3
1/f (
-
1
)=15X 10 s ,
入=0.6328 m, t自发=A1
10 s, g3
3= , g2= 5,
1,又知巳、 E能级数
密度之比为4,求此介质的增益系数
G值。
12
3
11
答.n。m n2
10 cm
10
ng2 2 n1 11
口 ' E2和E1能级数密度之比为4比1
n2
丿
g10
1
3,
3
3
A21
8 h 8 h A\"3
B
21
c
c
Bn^f()匕 11
1017 (0.6328 10 6)2
G(
) n
21；hf()
8
3 10
9
1.5 10
3. (a)要制作一个腔长L= 60cm的对称稳定腔，反射镜的曲率半径取值围如何？
(b)稳定腔的一块反射镜的曲率半径 R = 4L,求另一面镜的曲率半径取值围。 答：(a) R1 R2 R;
0 (1 丄)(1 丄)1 R
30cm
R R
L
L 3 L (b) 0 (1 —)(1 一)
1 0 - (1 —)
1 R2
L或R2
3L
R1
R2
4 R2
4. 稳定谐振腔的两块反射镜,其曲率半径分别为 R=40cm R= 100cm求腔长 L的取值围。 答：
0.72cm
0 (1 —)(1 —) 1 0 (1 —)(1
—) 1 0 L 40c m 或 100 L 140cm
R R2R2
40 100 5.
试证非均匀增宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式
(2-28) o
GD(
n B21 h f D ( c GD( o)
n B
21 — h 0 f D (
0)
2 (ln 2)12
c
证明：fD
D(
GD(
n0
B21
—h
o
(叫* 2
c
D
即证。
6.推导均匀增宽型介质，在光强
I，频率为 的光波作用下，增益系数的表达
式(2-19)
[
0
)2
(
)2]G0
() 证明
: G(
G°() 1 (
2
-1 f()
I 2
2
s f( o)
I
0
)
(1 厂)()
而 Is 2
: G0() n0B21 h 0 f ()
___________ 1 _______
c G0
( n0
B(~~ G0()
0)
21 h 0 f( 0)
G厂°()
o
)
c 2T3
f( o)
2
(*
0(
0)
依据上面两式可得：G()
7.设均匀增宽型介质的小讯号增益曲线的宽度为
，求证，I = IS时的稳定工
作时讯号增益曲线的线宽为.2 ，并说明其物理意义。 证明：(1)
G(
0
)
G
o(
) [( o)
2
2 3 4
G()-
I f ( ) 1
Is f( 0)
( o)2
( )]G( ) 2 I 2
(1 —)( )2 (
Is 2
G(o)乩；
20
( )G( 0) 2 ------
I 2 2 2
o) (1 -)( )2
Is 2
20
当l」s 1时，增益系数的最大值为:
当增益系数的最大值为增益系数的最大值的一半时，即
0( )
G
( )2G0( 0)
G
o()
G()-
2cf() 1
G( ) A21 证明：
B21 e(
nB21 h f()
c 8
3
h
3
3
c G() n
e
(
3
1
( ) (cm)概念，它与增益
2
8
8.研究激光介质增益时，常用到“受激发射截面”
系数G( ) (cm-1)的关系是e( ) G^-)，
n
c
e
n为反转粒子数密度，试证明：具
有上能级寿命为，线型函数为 f()的介质的受激发射截面为
9.饱和光强Is()是激光介质的一个重要参数。证明均匀增宽介质在中心频率
一口
f( ) LL±
- ( f( 0)
-
2 0
2
一时，对应有两个频率为:
4
4
) 2 (
2
2
)
2
'•.2()以及 2
4
0
—2()
2
处的饱和光强Is( 0)
0
)
e(
，并计算均匀增宽介质染料若丹明 6G在0 =
0.5950 m处的饱和光强。 (已知 =5.5 X l 0 s, 答:
Is(
0
2
)
9
=4.66 X 10HZ, = 1.36)
13
c
21
B
C ；f
Is( 0)
h
0
)
(1) e( )
G()
G() n
2 2
e
( 0)
Is(
)亠
e( 0)
0
—h n B21 c f()
f( 0)
Is( 0)
2
h
e
0
( 0 )
⑵ e( 0)
c f( 0)
2 2 0 0
8 h
e
Is( 0)
4 hc
3
22
5 2
( 0)
3.213 10 W/cm
10.实验测得He-Ne激光器以波长 =0.6328 工作时的小讯号增益系数为G=
3 10「4/d(cm-1) , d为腔毛细管径(cm)。以非均匀增宽计算腔光强I = 50WT cmf的增益系数G(设饱和光强Is = 30Wcnl时，d= 1mm)并问这时为保持振 荡稳定，两反射镜的反射率(设r—r2,腔长0.1m)最小为多少(除透射损耗外, 腔其它损耗的损耗率&内=9 10「'em)?又设光斑面积A= 0.11mm，透射系数
1
7
11.求He-Ne激光的阈值反转粒子数密度。已知 =6328? , 1/f()
=0.008，镜面一端输出，求这时输出功率为多少毫瓦
0
4
1
答：(1) GD( ) DD)
(
(1 -)12
Is
(2) K
色 1.837 10 3cm 1
(1 聖)12
30
2
3
r1r2 exp(G a 内)2L 1 rexp(1.837 10
A I 0.008 0.11 10 2
9 10 ) 20 1 r 0.99
4
(3) P0 50 103
0.44mW
10Hz, = 1,设总损耗率为a总，相当于每一反射镜的等效反射率 R= l — La总 =98.33 %,
= 10 s，腔长 L= 0.1m。
10 7 00167
0.1
(0.6328 10 6)2
答:
c2f()
2
109
15 3
f()
1.048 10 /m
12.红宝石激光器是一个三能级系统，设 Cr 的 n°= 10/cml,
3+19
21
=3 10s，今
-3
以波长入二0.5100 m的光泵激励。试估算单位体积的阈值抽运功率。
341019
6.63 10 3 10 10 答: 2 旦
3
2 21 2 21 2 0.51 10 3 10
3
650W/cm
13. YAG激光器为四能级系统。已知
口阈=1.8 x 10cm,
16
3
32
=2.3 10s。如
-4
以波长0.75 m的光泵激励。求单位体积的阈值功率并与上题比较红宝石的阈值 功率是它的几倍 答：
(1)
R
阈 4
= n阈 h 14V / 32
n阈hc 1.8 1016 3 1010
32
6.63 10 34
0.75 10 2.3 10
21W/cm3
⑵倍数=65/2.1=31
思考练习题3
1. 腔长为0.5m的氩离子激光器，发射中心频率° = 5.85 IO °Hz,荧光线宽 =6 IO8 Hz，问它可能存在几个纵模？相应的q值为多少？(设=1) 答:
6 108 3 10
qc 2 L
8
1
3 10 2 1 0.5
8
3 10Hz，
8
2，则可能存在的纵模数有三个，它们对应的
14
q值分别为:
5.85 10 3 10
8
1.95 10，q+ 1= 1950001，q- 1 = 1949999
6
2. He-Ne激光器的中心频率 。=4.74 X 1014Hz,荧光线宽 =1.5 10 °Hz。今 腔长L= Im,问可能输出的纵模数为若干？为获得单纵模输出，腔长最长为多 少？ 答:
3 10 2 1 1
8
1.5 108Hz， n
1.5 109 1.5 10
8
10
即可能输出的纵模数为 10个，要想获得单纵模输出，则:
3 10 1.5 10
8
9
0.2m
故腔长最长不得大于0.2m
3. (1)试求出方形镜对称共焦腔镜面上 TEM 30模的节线位置的表达式(腔长L、 光波波长、方形镜边长a) (2)这些节线是否等间距?
F（X）
H3（X）e
8X3
12X
x1 0,
答：（1） H3（X）
X
(2)这些节距是等间距的
4 •连续工作的 CO激光器输出功率为 50W聚焦后的基模有效截面直径 2w = 50 m计算（1）每平方厘米平均功率（50W为有效截面的功率）（2）试与氩弧焊 设备（10W亦）及氧乙炔焰（10Wcnf）比较，分别为它们的多少倍？ 答：（1）每平方厘米的平均功率为:
50W
50
4~2
6 2
4
/
2.546 10 W/cm
(25 10 )
(2)
2.546 106
10
4
254.6 ;是氩弧焊的254.6倍
2.546 106
10
2.546 103;是氧乙炔焰的2546倍
5. （a）计算腔长为1m的共焦腔基横模的远场发散角，设入=6328? , 10km处的 光斑面积多大。（b）有一普通探照灯，设发散角为 2 ，则1km远处的光斑面积 多大？
( 2 )
[1 (
10km
处 1010f1
[
的 4 10]
8
光 6.347m
2
斑
z 10
2
)
L
]
6328
V
2
2
1
2
S 10k m处的光斑面积
6.347 126.5572m
（3） 1km处的光斑尺
r 1000 tg1o 17.455m
寸
答: (1)基横模的远场发散角2 2
8
2
9 6328 10
1.269 10 rad
3
斑衍射极限角来近似。 试计算腔长为30cm的氦氖激光器，所发波长入= 6328?的远场发散角和以放电管直径 d = 2mn为输出孔的衍射极限角。 1km处的光斑面积S
r2
17.4552 957.1711m2
答：（1）远场发散角
2 6328 10
2
10
1.1588 10 3rad
30 10 2
10
⑵衍射极限角号
「
22 6328 10
3
2 10
3.86 10 ° rad
7•—共焦腔(对称)L= 0.40m,
入=0.6328 m 束腰半径 w0 0.2mm，求离腰
56cm处的光束有效截面半径。
I
答:
z 0.56 0
Z、2 2
1 ( ~ )2 0.2 10
0
10
3
6328 10 0.56 2 *
1 ( ------------ 0.6mm 4 2—)
8 •试讨论非共焦腔谐振频率的简并性、 纵模间隔及横模间隔，并与共焦腔进行
比较。
答：非共焦腔的谐振频率表达式为:
mnq
q 丄 m n 1 cos1 Jg©
！简并性：对于纵模来说非共焦腔的谐振频率一般不具有简并性，除非
cos gig2 —（k为整数）时才出现纵模的简并；如果纵模序数一定，不同的
k
1
横模可以存在一定的简并，只要 m+ n不变，谐振频率就相同。 2）纵模间隔:
纵
=无，与共焦腔是一致的;
3）横模间隔:
横
T ! =C co；―严亚，不仅与腔长有关还与介质的折射率、镜面
的曲率半径有关, 这与共焦腔是不同的。
9•考虑一用于氩离子激光器的稳定球面腔，波长入= 0.5145 m腔长L= 1m
腔镜曲率半径R=1.5m, R=4m试计算光腰尺寸和位置，两镜面上的光斑尺寸， 并画出等效共焦腔的位置。 答：（1）束腰半径
2
L(R1 L)(R2 L)(R1 R2 L)
(R1 R2 2L)2
L(R2 L) (R1 R2
2L)
]；[(0.5145 10 6)2 1.5 4.5
3.52
Zi
]4 0.348666mm
(2) 束腰位置 Zi
(3) 两镜面上的光斑尺寸分别为:
2 1
si
R1(R2 L) ]4 L(R1 L)(R1 R2
]L)L
R；(Ri L) L(R2 L)(R
2
0.5145 10 6
[
1
]
0.5 4.5
2.25 3
4
0.532596mm
s2
R2 L)「
0.5145 10 6
[
3
0.355064mm
(4)
L(Ri L)(R2 L)(Ri R2 L)
R R2 2L
,0.5 3 4.5
3.5
2.6 5.2
m
3.5 7
10•欲设计一对称光学谐振腔，波长入=
10.6 m,两反射镜间距L=2m,如选
择凹面镜曲率半径R=L，试求镜面上光斑尺寸。若保持 L不变，选择R L,并 使镜面上的光斑尺寸 ws = 0.3cm，问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大? 答：（1）镜面光斑尺寸（此时可把它看作对称共焦腔）
10
s1
s2
・
6 10 6 2
2.5977mm
（2 ）此时不能当作对称共焦腔，但是仍然是对称光学谐振腔，只是
R1 R2 R L，根据（3-50 ）式可得镜面光斑尺寸为
等的 解）： 2
L R R L
L R L (2R L)
2 1 R2 R
]4 2.5977
2 (2R 2)
（舍去一个
与
L近似相
5.91m
L(2R L)
2
2
W0
(3)
L R1 L R2
R
L R1
R2 2
，
]4 2.734mm
L 2R
1 R2 2 L
「,10.6 10 、2 2 (2 5.911 2)=
6
[( )
11 •试从(3-81)式出发，证明非均匀增宽激光器最佳输出功率若用最佳透射
tm
率表示有：Pm AIs -
----
(a 。 2
0 tm)
证明：由(3-82 )有: 2LGD( ) 1
ai t1
7 1A's[(|
LG
t)]
21
-AtIs[2
2LG a t
，式中t即为最佳透 t) 整理上式可得: 4L G (a t) (a
a t
射率tm
Pm £ Atm Is[(晋_)2 1] 1AtmIs[(a阳 @ ⑺
12
(a tm) 2 a tm
] 则最佳输出功率 2
t
AIs上
a tm 12•考虑如图(3- 18)所示的He-Ne激光器，设谐振腔的腔镜为圆形镜。
2 2
3
(2LG)
2 (a t)
问 :
试求TEM0和TEM0模之间的频率差。假定 TEM0q模的单程衍射损耗S。。＜0.1%,试
维持该激光器振荡的最小增益系数为多大?
激活长度
—— --- H
C7
激活长度
(3— 18) 习题三第12题
(1 ^^)(1 °^) 0.75 3
1，因此此谐振腔为稳定
1)因为(1 —)(1丄) 答:
R-! R2
腔;
圆形镜 般稳定球面腔的谐振频率为
mnq
所以TEM00与TEM10之间的频率差为: 丄1曲52 4丄cos 7 .0.75 4.6 10
2 L 2 0.75
2）考虑激光器的部损耗完全由单程衍射损耗造成，由（ 2-36）式有: 2L q 丄 m n 1 cos Tg©
C
2 LG
La内 In
r1r2
2La内 In r1r2
2L
—ln r1r2 2L 1
2 °.001 ln°.95 0.0533m
2 0.5
思考练习题4
1 •腔长30 cm的氦氖激光器荧光线宽为1500MHz可能出现三个纵横。用三反 射镜法选取单纵横，问短耦合腔腔长(L2 La)应为若干。
8
9
答： 短=
c 3 10
;
1.5 10
2 L L2 L3 0.2m
短
2 (L2 La) 2 L
短
2. He-Ne激光器辐射6328?光波，其方形镜对称共焦腔，腔长 L= 0.2m。腔同 时存在TEM 00, TEMn , TEM 22横模。若在腔接近镜面处加小孔光阑选取横模， 试问： (1) 如只使TEM 00模振荡，光阑孔径应多大？
(2) 如同时使TEM 00，TEMn模振荡而抑制TEM 22振荡，光阑孔径应多大？
L
0-6328 10
答: (1)TEM00模在镜面处的光斑半径为 所以光阑孔径应该为0.2mm (2)TEMn模在镜面处的光斑半径为 所以光阑孔径为0.35mm
s
s
—— 0.20mm
0.2
<2m 1 s 3 0.2 0.35mm
3.
0.6328 ，今用一焦距f为3cm的短
一高斯光束束腰半径 w。= 0.2mm =
焦距透镜聚焦，已知腰粗W0离透镜的距离为60cm在几何光学近似下求聚焦后 光束腰粗。 答:
0
— 0
s — 0.2 0.01mm 60
4. 已知波长 =0.6328 的两高斯光束的束腰半径W10，W20分别为0.2mm 50 试问此二光束的远场发散角分别为多少？后者是前者的几倍？ 答:
2 0.6328 0.2 10
3
3
2.0 10 rad
2
2=—
2 0.6328
-
3
50 8.0 10 rad ；
2 i 1 27 4
5. 用如图（4- 33）所示的倒置望远镜系统改善由对称共焦腔输出的光束方向性。 已知二透镜的焦距分别为f 1 = 2.5cm, f2 = 20cm， wo = 0.28mm l1 f1 ( Li紧靠 腔的输出镜面），求该望远镜系统光束发散角的压缩比。
L1
W0
L2
|
图（4-33） 第5题
答：M
20 — 竺.2 2.5
11.31
7.
器，声光材料为碘酸铅晶体，声频可调制度为 设一声光偏转=300MHz声
波在介质中的速度s = 3X 103m/s，而入射光束直径D= 1mm求可分辨光斑数。 答：当声频改变
时，衍射光偏转的角度为：
——
s
而高斯光束的远场发散角为:
可分辨光斑数为：n —
300 106 0.5 10 3
3
3 10
8. 有一多纵模激光器纵模数是1000个，腔长为1.5m，输出的平均功率为1W， 认为各纵模振幅相等。
157
（1）试求在锁模情况下，光脉冲的周期、宽度和峰值功率各是多少?
(2)米用声光损耗调制元件锁模时，调制器上加电压 u V0cos2 ft。试问
电压的频8率f为多大? 答：(1)周期T
2L 2 1.5 c
3 10
8
10 s ；宽度
8
T 2N 1
10 8 2 1000 1
12
5.0 10 s
峰值功率 I (2N 1)210 20012 1 4.0 106w (2)频率f
12
c 2L
3 10 2 1.5
8
108HZ
9. 钕玻璃激光器的荧光线宽 F = 7.5 X 10HZ,折射率为1.52 ,棒长I = 20cm 腔长L= 30cm如果处于荧光线宽的纵模都能振荡，试求锁模后激光脉冲功率是 自由振荡时功率的多少倍。 答:
c
口
0
3.7 10HZ ； N
8
―
F
2.0 10
4
2 L 2(1.52 0.2 0.1)
倍数=N= 20000倍
思考练习题6
1•图6-2a所示的角锥棱镜反射器中，0为三面直角的顶点，OA=OB=O( 1)试 证明当三直角均没有误差时，由斜面ABC上入射的光线的出射光线与原入射光线 反向平行；(2)若一个直角误差为Sa试计算出射光线与原入光线的夹角 答：1)在棱镜部入射的光经过三次反射后由「4射出
面的法线方向分别为:
m ay; n2
ax ； n3
az ； 1
r
r
0
射ri
1xx
ar
1 y
经过第一次反射:
r2 (r1xax
2(『1 ay)ay r1
r
所以佔
rZz) rZz
2( r1y)ay
rara
(也是在棱镜部)，只要能证明ri和r 4平行，则它们在棱 镜外的共轭入射和出射光线也是反向平行的。假设三个反射
经过第二次反射后:
r
3
r
2
2( r
2
a
xx
)a(r
ixx
ar
1yy
ar
1z z
a)2r
1xx
ar
1x
a
r
1y y
ar
1zz
a
经过第三次反射:
「 £ 2( £ 3)3
z
z
(r
1xx
a
r
1yy
ar
1zz
a
)
2( r
1zz
)ar
1xx
ar
1yy
ar
1zz
a
因此经过三次反射后矢量r1和矢量r4是反向平行的，说明角锥棱镜的入射和出 射光肯定是反向平行的。
2)假设y轴和z轴的直角有一点偏差
n3 si n( )ay cos(
，则第三个反射面的法线就变成:
)az sin
ay az
则经过第三次反射后：
2(
r
a
g)n 3 r1
a
( gax r1yay
2
Gaz) 2(gax ) ^))3n( )a
r1yay
y z
r1zaz) [si n( )ay az] %
1xx 1xx
a
a
y
y
r
Saz 2(5 sin( a) 2r1y sin()
( r1y 2r1y sin ( ) 2r1zSin( ))ay (s ( r1y
2
2r1z)az
r
1xx
a
2r1y
2s )ay ( s 2咕
)az
则入射光束r 1与出射光束「4的夹角B应满足:
「1_
cos
「4
2
rrr
2riy
(r；
2
riz riz 2riy
r；)
2 iy
2 2 2 2 伸(riX riy
riz) 2riy 2
(riX riy ri2)
r
2( 2 2 2) (rix riy riz)
2 (ri
riy
3•在图6-8双频激光干涉仪测量空气折射率装置中，真空室长度为 L,激光在 真空中的波长为°，记录下来的累计条纹数 N，试证明被测气体折射率可以用 （6-8 ）式表示。
证明：图6-8双频激光干涉仪可测量出真空室外气体折射率不同造成的光程差, 若被测气体折射率为nm，真空折射率为i,长为L的真空室造成的光程差为
2L n i
根据（6-6）式有：L nm i ° N ； 2 故被测气体折射率为：nm —N i
2L
4.分离间隙法的测量原理如图6-i3所示，试证明狭缝宽度b和间隔z、级次&、 k2、暗条纹的位置Xki、Xk2，以及工作距离之间的关系为（6-i9）式。
证明：对于产生ki暗条纹的R点来讲，在平行光照明下，下边沿与上边沿衍射 时对应的光程差为由虚拟的对称下边沿衍射边出发通过实际的下边沿再衍射到 Pi点的光程和直接由上边沿衍射到 Pi点的光程之差：
2
i
AAR AR bsin i z zcos i bsin i 2zsin
2
同理，对于产生k2暗条纹的R点来讲，在平行光照明下，有
2
AAP2 AP2 bsin 2 2zsin2
2
2
2z Xk2
4L
上两式对应的光程差分别等于
ki , k2 ，因而在分离间隙时狭缝宽度可以用
（6-19 ）式表示。
5•在一拉制单模光纤生产线上测量光纤直径，若光纤外径为 125微米，外径允 差为土 1微米，不考虑光纤芯的折射率变化的影响，用图（6-10）右半部所示的 检测系统，若接收屏处放置的2048元线阵CCD象素间距为14微米，为保证测量 系统的分辨率为允差的五分之一，所用的透镜焦距至少为多大？
答：设光纤的外径为b,第k个暗条纹的位置为Xk，透镜焦距为f，光波波长为
，则
1252 kf 0.6328
b kf . xk
kf
Xk
14 1.73m
6.
18所示的激光脉冲测距方法测量地球到月球之间的准确距离。
用如图6-若使
用调Q技术得到脉宽为10-9S而脉冲峰值功率达到109W的激光巨脉冲，激光的发 散角通过倒置望远镜压缩到0.01毫弧度，光电接收器最低可以测量的光功率为 10W大气层的透过系数为 5X 10，试问，送上月球的角锥棱镜反射器的通光 口径至少要有多大（不考虑角锥棱镜的角度加工误差）？
答：激光束达到月球上的光斑半径为：
3.8 108 0.00001 3800m
-2
-6
激光束达到月球上的脉冲峰值功率为： P 109 5 10 2 5 107W 设角锥棱镜的通光口径的直径为 a,则有：
激光束达到月球上后再被反射回接收器的总功率为：
P' 5 10 2 3800
a2 5 10 2 10 6 a 4.8 10 3m 4
这里没有考虑角锥棱镜的角度加工误差，实际上角锥棱镜的角度加工误差至少要
有0.1弧秒，对应返回地球的光束发散角在
5X 10-8以上，即使接收透镜的口径
达到半米以上，实际送上月球的角锥棱镜反射器的通光口径至少还要再大一到两 个数量级。
7.
若激光相位测距量程要求达到 试说明相位测距的原理。5Km测量最小可分
辩距离为1mm而测相灵敏度为2n /1000 ,那么至少要几个调制频率才能满足上 述技术要求？ 答：
^ 5m ；增加一个测距频率的测相灵敏度可达： V巴 5mm ;如果要求 1000 1000
km
1的测距分辨率，则测距信号调制频率至少要有三个。
8. —台激光隧道断面放样仪，要在离仪器50米远的断面处生成一个激光光斑进 行放样工作，要求放样光斑的直径小于 3厘米。（1）如果使用发散（全）角为3 毫弧度的氦氖激光器，如何设计其扩束光学系统以实现这个要求？ （
用发光面为1X3卩的半导体激光器，又如何设计其扩束光学系统？ 答：（1）在远场情况下，光斑半径可以表示为
Z
z0
2
2）如果使
0
其中¥为倒置望远镜的发散角压缩比。代入有关参数可计算出所要求的最小压 缩比为:
0
鬲
z0
0.003 50 10
3
30
因此，所设计的扩束光学系统的最小压缩比为 5倍。
（2）半导体激光器的发散角在发光面的长短两个不同方向上不同，为了充 分利用其能量，在扩束系统前需要对光束进行整形。但是在要求不十分高的场合， 可以对其中发散比较小的方向进行处理以达到要求， 对发散比较大的部分用光栏 挡住一部分光，形成所需要的放样光斑。
按照在远场情况下光斑半径和发散角的关系，用透镜变换后的发散角应为:
Z0
Z0
该发散角对应的束腰半径为
2
0 —
讲半导体激光器放在透镜前焦点处产生的束腰与透镜焦距之间关系是
因此所要求的透镜焦距为
Jzo
2 3 10 3
0 J
50 103 10mm
0z
30
9•用如图6-33中双散射光路测水速。两束光夹角为 45°，水流方向与光轴方向 垂直，流水中掺有散射颗粒，若光电倍增管接收到的信号光频率为 光源为He-Ne,其波长为632.8nm，求水流的速度。 答：
i
1MHz所用
0.6328 10 6 106
0.623m/s
2 1.33 sin22.5
——' 2 sin —
11 •图6-39所示的光纤陀螺仪中,以长度为L的光纤绕成直径为D的由N个圆 圈组成的光纤圈，以角速度 旋转时，试给出逆向传播的两束波长为
的激光产
生的差频公式。若耦合进光纤的半导体激光的波长为 650nm光纤绕成直径为1cm 的100个圆圈，以角速度0.1度/小时旋转时,该频差为多大？
答: (1)
LD
10
2
0.1
0.00746Hz
3600 180 650 10
思考练习题7
3•设半无限大不锈钢厚板的表面半径
1.0毫米围，受到恒定的匀强圆形激光束
的加热。如果激光束总功率为5kW吸收率为6%不锈钢的导热系数为0.26W/cm ? C,试问材料表面光束中心的最高温度是多少？ 答：根据（7-6）式有：
T 竺 °.
06 5 103
3.673 103OC
r0 t 0.1 0.26
4•上一题中，如果圆形激光束是TEM0模的高斯光束，它在不锈钢厚板表面上的 有效光束截面半径是1.0毫米，材料表面光束中心得到的最咼温度有多咼？它是 匀强圆形激光束所得到的最高温度的几倍？
0
qS(r)2 rdr 5000
2
2
答：qs(r) qs°exp( 2二)
r
5
2
r . 2
qs0 0 exp 2飞 dr
1 qs0 r2 5000
qs0 3.18 105W/cm2 T Aqso r
1
5
'
T
2 t
高斯
3 2
0.06 3.1.25
18 10
3 2
Z • 2 0.26
4.6
103 °C
4.6
T匀强匀强 3.673
5•假设Nd: YAG激光照射在半无限大铁板上，恒定的匀强圆形激光束直径为1.0 毫米，激光脉冲宽度为1毫秒。（1）若使表面温度控制在铁的沸点（3160K）以 下，试问需要激光单个脉冲的能量是多大？ （2）试求激光光轴处铁的熔化深度。
已知铁的表面反射率为80%导热系数为0.82W/cm? C,密度为7.87g/cm3,比热 为0.449J/g ? C,且均不随温度而变化。 答: (1)
T
r。t
吩嚅
(3160 273)O
C
P 3722.473W
能量=Pt 3.722J
(2)令T z,t
2AP 仝 ierfc z ierfc
(3160 273)°C
r
2 o
2 J kt
2 kt
其中：A 1 0.2; P 3722.473W ;
0.82W / cm C ； r0 0.5mm ;
t 1ms; k
0.82W/cm C 2
7.87g /cm3
0.499J / g C
0.232cm /
根据以上条件用计算机编程，解上述方程可得熔化深度 Z O
7. （1）如（7-9 ）和（7-10 ）式表明的激光打孔的简化的几何一物理模型，对于算激光打孔的深度和半径有一定的参考价值，试由（
7-9）和（7-10）两式在
h t r。的条件下导出（7-11 ）和（7-12）两式。
（2）若硬质合金的蒸发气化比能 LB为11.2J/mm ,熔化比能LM为5.02J/mm , 对上式两边进行积分可得：
t
P t tg2
(L2B
2LM)h t dh
2
1 3
dt
tg2 （LB 2LM） ^h3
3E
1 3
激光的半会聚角为0.1弧度， 在厚度为 5毫米的硬质合金刀头上打通孔，需要的
激光总能量是多少？
、十卄
r t r° r t
tg ht
答: (1) 证明：
tg h t
h t r
dr tg dh
2
°
Pt dt LB r t dh LM2 r t h t dr Pt dt LB tg7 8
h2
t dh
L
M
2 (tg
ht) ht tg dh tg2
(LB 2LM)h2
tdh
tg LB 2 LM 1
同理有r htg
3Etg 即证。
7
1 3 2 180 1 3 (2) E tg2 (LB 2L3M) -h
tg2(0.1 )(11.2 2 5.02) - 53 28J
8
3
估 LB 2LM
思考练习题9
9. 种光盘的记录围为径50mm外径130mm的环形区域, 假设各轨道记录位的线密度均相同，记录微斑的尺寸为
记录轨道的间距为2 m 0.6 m，间距为1.2 m，
试估算其单面记录容量。
答：在径和外径之间存在的轨道数为： N 130 503 23
2 2 10 （50 n 0.0。），
其中 口 012,
每个轨道记录的容量为:
1.2 10 3
所以总的单面记录容量为:
2 10
4
104 个。
410,2
(50 n 0.002) 1.2 10
3
2 10
1.2 10
3
50
4
*； 3.67 1.2 10 3 0
210
109
10. 如图9-31所示的中继透镜激光扫描系统中，如果前后两个透镜组成的望远 镜系统的放大倍数为2，扫描镜（1）可以完成的扫描角度为20o，后透镜的焦 距为30mm试问前透镜的相对孔径为多大（相对孔径定义为透镜通光口径与其 焦距之比）？
答：前透镜的相对孔径仅与扫描镜（1）可以完成的扫描角度有关。扫描镜（1） 可以完成的扫描角度为20o，故其半扫描角
2htg
2tg10
X
为10o，对应的相对孔径为
0.353
思考练习题10
2. D-T核聚变，压缩点燃的燃料密度和半径之积
R=3~4g/cm,等离子的能量是
1500倍。
1kev，试证核聚变点火时，核聚变释放能是等离子体热能的
答：等离子的能量是1kev对应着等离子气体中粒子的一定的速度分布，对应着 等离子的温度，因此也常常说1kev是该等离子的温度。对于氘和氚聚变产生中 子和的反应，
D T N 17.6MeV
如果等离子的温度是1keV，反应所产生的两个电子与 D和T处于热平衡，那么 等离子体在聚变中消耗的热能为4keV。燃烧率与压缩点燃的燃料密度和半径之 积有关，参考《受控核聚变导论》(M.O.哈格勒，M.克利蒂安森；银安等译；：原 子能，1981, 11)可得，压缩点燃后实际聚变燃烧的等离子体占总等离子体的比 率为
R (6 R) 0.3 ~ 0.4。
因此产生的总能量为{17.6 106
(0.3〜0.4)}
0
而核聚变释放的能量倍率为：{17.6 106 (0.3 ~ 0.4)} /(4 103) 1300 ~ 1700 即核聚变释放能量是等离子热能的1500倍左右。
4. 试描述激光操纵微粒
的几何光学原理。 如在图10-7中a,b两束光之间的夹角 为120度，夹角平分线与z轴平行，焦点f位于y 0,z
0.2处，微粒直径为
1微米，微粒主要有水组成(折射率假定为 1.33 )，周围是空气。若两束光的波 长为633纳米，功率均为1纳瓦，试求微粒所受到的作用力的方向和大小。 答：由于对称性可以得出微粒所受到的作用力的方向在图 10-7中是沿z轴的反 方向向上的。其大小则需要进行计算。首先微粒表面方程和a,b两光线方程可以 分别表示为：
z 0.2
3
y
z 0.2
9
将这几个方程联立可以解出
a
b两光束的入射点坐标为： 、
y
0.5931
z
0.5424
在该点的入射角为：
tg 1 y 30
z
47.56 30
17.56
出射角为：
sin 1 1 . sin
n
・ 1
sin sin 17.56
1.33
1
在微粒中的光程为
nl 2 1.33 1 cos13.11 2.591
如果光在通过微粒同时除了折射以外没有损失，其进入微粒时和离开微粒时具有 的动量大小相等，方向有一个小的偏转，如果光子的动量为p，其通过微粒产生 的动量变化为
p 2p sin
0.1562 p
a、b两光束的单个光子引起的动量变化矢量和为
2 pcos 2 0.1562p cos34.45 其中
90 60
0.2576p 34.45
作用力的大小与动量的变化率相等，因此要求出光在微粒中穿过需要的时间: nl 2.591 t 86c 3 10 10
单个光子造成的受力大小为
f
8.637 10 0.1562h
nl
13
_p
0.1562h t c t
功率为P的入射光在dt时刻照射在微粒上的总能量为:
E Pdt
相应光子总数为
E Pdt
两束光强度相同，具有相同的光子数，因此功率为 射在微粒上引起的微粒总的动量变化为
dp N p
受力为
罟
01562
P的两束入射光在t时刻照
- 0.1562
h
c
Pdth
0.1562巴
c
7
1 10
0.1562 3 108
0.521 10 18 牛
5. Si-Si结合键的离解能是337kJ/mol。试用eV单位，频率单位表示该能量 并计算对应的波长
答：（1） 一个Si-Si结合键的离解能是
19
而 1eV 1.6 10 J
337 103
23
5.6 10 19 J
6.02 1023
所以一个 Si-Si 结合键的离解能为
5.6 337kJ / mol 3.49eV。
1.6 (2)用频率表示的能量为h
337 103 6.02 10
23
，则有：
8.443 1014s 1
5
6.63 10 1.1963 10
入
34
(3) D。
5
1.1963 10
355 nm
c
6•试说明多光子吸收的原理。如果光源是
CO激光会发生怎样的多光子吸收?
如果要实现C6H5SiH3 C6H6 SiH2的光离解反应，1MolC6H5SiH3需要多少
Mol CCb激光光子才能够完成上述反应（根据图 10-11作近似计算）？ 答：CeHsSiHs
C6H6 SiH2的光离解反应需要离解一个 Si H键，要发生上
述离解反应，从图10-11可查出1mol的C6H5SiH3需要的能量约为380kJ;另一 方面，CC激光光子的波长为1060nm 1molCC激光光子的能量为:
D0
113kJ/mol
1060
380
因此，离解1MolC6H5SiH3需要的CQ激光光子mol数为：
113
3.36。
2 2 2
d
( 0) (1/2 )
1
2
0
2
(14
d 2)
2
1
4 arctg[4 ']
;即证。
2
I Is 2
2
( 0) (1 「)()
—尸' 2
(2)物理意义：当光强I Is时，介质只在 2 围对光波有增益作用，在此围
1
外增益可忽略不计，而光波也只在这个线宽围对介质有增益饱和作用。
6 •激光的远场发散角 （半角）还受到衍射效应的限制。它不能小于激光通过输 出孔时的衍射极限角 衍（半角）二1.22入/d。在实际应用中远场发散角常用爱里
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