高一数学(人教A版)圆柱圆锥圆台球的表面积和体积1教案

教学基本信息 课题 学科 教材 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 本节课主要是通过类比棱柱、棱锥、棱台的相关方法与结论，研究圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式；再类比圆面积公式的推导过程，将知识进行迁移，运用微积分思想推导球的体积公式。通过同类型的例题，达到让学生理解并掌握公式，能熟练运用公式解决实际问题的目的。教学过程中重点关注学生的空间想象能力和数算能力及直观想象素养的培养。 重点： 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式. 难点： 球的体积公式的推导. 教学过程(表格描述) 教学环节 数学 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学段： 高一 年级 高一 书名：人教A版数学必修第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年8 月 主要教学活动 设置意图 基 一、 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 （一）表面积 1. 通过展示圆柱、圆锥、圆台的平面展开图， 得到三者的表面积公式； S圆柱2r22rl2r(rl) S圆锥r2rlr(rl) 础 知 2S圆台（r'+r2+r'l+rl）识 2. 用运动变化的观点，从结构特征上体会圆柱、圆锥、圆台表面积公 式之间的关系，从而加深记忆。 当上底扩大，使r’=r时，圆台变化为圆柱，当上底缩小，使r’=0时，圆 台变化为圆锥。所以在公式体系中，令圆台表面积公式中r’=r时,则可以 得到圆柱的表面积公式（，令r’=0时,则可以得到圆锥的表面积公式 （二）、体积 1.体积公式 1ShSh通过圆柱的体积公式为、圆锥的体积为 3， 让学生直观感受公式的形成过程，体会知识之间的联系，从而加深对公式的了解 给学生提供“思考、总结、归纳”的机会 培养学生“观察——猜想——证 基 棱台的体积公式V棱台（S'+S'S+S)h3再类比棱柱、棱锥、棱台的体积公式，让学生先猜想圆台的体积公式， 再证明 棱柱的体积公式V棱柱Sh 圆柱的体积公式V圆柱Shπr2h112 棱锥的体积公式V1Sh 圆锥的体积公式VShπrh圆锥棱锥3331 1圆台的体积公式V（S'+S'S+S)h棱台3 础 设圆锥SO 的底面圆O半径是r，平行于底面的平面截圆锥 获得截面圆O'，半径是r'．若截得的圆台OO'的高是h ，则 知 利用三角形相似，得SO'r'，SOr 识 即有SO'r'，解得SO'hr'．SO'+hrr-r' 所以圆锥SO'的高是hr'，圆锥SO的高是hr'+hrh． rr'rr'rr' 1rh1hr' 所以圆台OO'的体积VOO'VSOVSO'r2 r'23rr'3r-r' 1 =h(r2rr'r'2)． 3 体积公式可归纳为： V柱体=Sh 1 V锥体=Sh 3 1V台体=（S'+S'S+S)h 3 2.体积公式之间的关系 当上底扩大，使s’=s时，台体变化为柱体，当上底缩小，使s’=0时， 台体变化为锥体。所以在公式体系中，令台体的体积公式中s’=s时，则 可以得到柱体的体积公式V柱=Sh ，令s’=0时,则可以得到锥体的体积公 1 式V锥=Sh。 3 （二）球的表面积和体积 1.球的表面积 2S=4R (R是球的半径) 球 明”的数学思维 通过圆台的结构特征，利用相似关系证明圆台的体积公式，让学生了解推导过程 培养学生随时总结归纳的习惯 培养学生注重知识的形成过程，了解公式的简单推导，体会公式之间的联系，从而减小公式记忆的难度。 指引学生课 基 下可以通过查阅资料资料继续研究 表面积公式为4R2即可。 3. 球的体积 类比圆面积公式的推导方法：将圆n等分，可知圆内接多边形的面 积为n个全等的等腰三角形的面积之和。等于二分之一乘以小三角形的 础 高h再乘以各底边边长之和，即等于二分之一乘以高h再乘以正多边形 的周长。可以发现，当所分份数n越大，每一个小三角形的高h越近似 知 于圆的半径R,正多边形的周长也越近似于圆的周长2R。当n无穷大时， 1感受“先分2就得到了圆面积公式S圆=R2RR。 识 割，再求近2 似和、最后取极限”的“微积分思想” 体验用 微积分思想把球O 的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，推导球的体整个球体就被分割成n个小锥体.当n越大，以这些“小球面片”为底，积公式这个球心为顶点的“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其过程。 高越近似于球的半径R． 1其中一个小锥体，它的体积是VO-ABCDSABCDR ． 这一推导过3由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”程，可以锻的底面积之和就是球的表面积． 练同学们的 空间想象能11432 因此，球的体积V球=S球R4πRRπR．力和直观想333 象素养 例 题 讲 例题 将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积 解：由题意可知，磨制成的最大球体的半径R为3cm ， 本题考查了同学们的空间想象力以及球的体积公式的由球的结构特征我们知道，球的大小只与球的半径有关，但是因为球是一个特殊的旋转体，球面是不能平面展开的图形，所以对于球的表面积公式的推导，有兴趣的同学可以课下查阅资料进行自主探究，去体会一下先贤们是如何解决这一问题的。在本节课中，我们只需了解球的44所以V球=πR3=π33=36πcm3．33 解 例题 已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上， 4，5，求球的表面积． 且长方体的棱长分别为3， 应用，目的是增强同学们运用几何直观和空间想象思考问题的意识。 本题考查了球的表面积公式的 解：由题设可知，球心O是长方体的体对角线的中点，直接应用以52 及同学们的又因为AC1=AB2+BC2+CC12=52，所以球的半径R=，2空间想象力2和数据分析522所以所求球的表面积为S=4πR=4π的能力。 2=50π． 例题 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，本题是 半球的直径是0.3m ，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防一道涉及组 合体的实际水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂 问题，考查 防水漆需要多少涂料？（π取3.14）同学们对所学知识的灵 解：一个浮标的表面积S=2rl4r2活应用及分2 =20.150.6+40.15析解决问题 =0.8478（m2）．的能力。 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料为本题主 0.51000=423.9 0.8478（kg）． 要是帮助同 学们巩固几 例题 如右图所示，圆柱的底面直径和高 何体的体积都等于球的直径 ，求球与圆柱的体积之比．公式以及体解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R．会这种“把4所求问题转 V球=πR3，V圆柱=πR22R2πR3，化为用同一342变量表示来  V球 ：V圆柱πR3:2πR3． 求比值”的33 方法。 ' 例题 圆锥PO 的底面直径和高均是a，过PO 的中点O本题考查 做平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，了同学们的 求剩下几何体的表面积和体积．空间想象力和运用公式解：表面积S=S圆锥侧+S圆锥底+S圆柱侧 1a5aaa 2πaπ()22π2222422+52 πa ；4体积VV圆锥V圆柱1a2aa π（）aπ()232425π3 a．96解决问题的能力。 本节课我们首先类比棱柱棱锥棱台的相关方法与结论，研究了圆柱圆锥圆台的表面积公式和体积公式，在这个过程中，请同学们注意用运动变化的观点，了解知识的形成过程，体会知识之间的联系；然后类比圆面积公式的推导方法，我们将知识进行迁移，得到球的体积公式。 总对于圆柱圆锥圆台和球的表面积公式与体积公式的应用，我们进行结 了求组合体的表面积与体积的练习，并且学习了如何用已知几何体的表面积与体积公式解决实际问题。从而既熟悉了公式，又锻炼了同学们分析问题与解决问题的能力。 2回顾本节课知识，并建立知识的结构框架. 1.已知圆锥的表面积为a m，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径．2.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积． 作业 通过课后作业，加深对知识的理解和掌握.