一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.设集合 A.B.C.D.
（ ）
，
，则
（ ）
2.若复数 的模为5，虚部为-4，则复数 A.B.C.D.
或
中，
，数列
3.已知等比数列 A.3 B.6 C.7 D.8
是等差数列，且 ，则 （ ）
4.刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 边形等分成 个等腰三角形如图1所示，当 变得很大时，这 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到 近似值为（ ）
的
A. B. C. D.5.设
，
，
，则（ ）
A.B.C.D.
，
，若
，则
的最大
6.已知平面向量 ， 满足， 值为（ ） A.1 B.C.D.2
7.为了加强新冠疫苗的接种工作，某医院欲从5名医生和4名护士中抽选了3人(医生和护士均至少有一人)分配到 ， ， 三个地区参加医疗支援工作(每个地区一人)，方案要求医生不能去 地区，则分配方案共有（ ） A.2种 B.224种 C.200种 D.236种 8.已知函数
（
且
）．若函数
的图象上有且只有两
个点关于原点对称，则 的取值范围是（ ） A.B.C.D.
二、多选题(每小题4分，共20分)
9.甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均值分别为 （ ）
､
，则
A.每次考试甲的成绩都比乙的成绩高 B.甲的成绩比乙稳定 C.
一定大于
D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 10.已知 A.B.C.D.
11.关于函数 A.B.C.D.
是偶函数 在 在
上有3个零点 上单调递增
有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）
，则下列结论一定正确的是（ ）
的最大值为2
各棱的长度均相等， 为
的中点， ､ 分别是线段
和
12.如图所示，正三棱柱 线段
上的动点(含端点)，且满足 ，当 ､ 运动时，下列结论中正确的是（ ）
A.B.在
是等腰三角形 内总存在与平面 的体积是三棱柱
垂直的线段
的体积的
C.三棱锥 D.
三、填空题:每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置． 13.已知直线 ________.
14.已知随机变量 ， 满足
，
，
________.
是函数
的一条对称轴，写出 的一个可能值为
15.已知 16.已知扇形 则
的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．
半径为1，
，弧 上的点 满足 最小值是________.
，
的最大值是________；
四、解答题(共70分． ) 17.在
中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
（1）求 ； （2）若
的面积为
， 为 的中点，求 的最小值.
有
.
18.已知正项数列 （1）求数列 （2）若 19.如图，矩形
的前 项和为 ，对
的通项公式；
，求 中，
的前项和 . ，
， 为 的中点，把
沿 翻折，满足
.
（1）求证：平面 （2）求二面角
平面 ；
的余弦值.
20.足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机App(应用程序)公司为了了解居民使用这款App使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展5个月的调查活动，从使用这款App的人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 （1）请利用所给数据求不满意人数与月份之间的回归直线方程这款App不满意人数：
（2）工作人员发现使用这款App居民的年龄近似服从正态分布
，求
的值；
，并预测该小区10月份的对
（3）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到如表： 使用App 不使用App 女性 48 男性 22 12 18 能否据此判断有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关？ 参考公式：
，
.附：随机变量：
，则
，
(其中
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 ，
且圆心 在直线
上.
)
，
21.已知圆 经过两点 （1）求圆 的方程；
（2）设 ， 是圆 上异于原点 的两点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 求证：直线 经过一定点，并求出该定点的坐标.
，
22.某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都举行“快乐体育”活动.在一次“套圈圈”的游戏中，规则如下：在规定的4米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于3次称为“最佳拍档”，甲､乙两人同一组，甲､乙两人丟圈套中的概率为别为pi ， p2，假设两人是否套中相互没有影响. （1）若 （2）若
，
设甲､乙两人丟圈套中的次数之和为 ，求 的分布列及数学期望
.
，则游戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数为16次，则理论上至少要进
行多少轮游戏才行？并求此时 ， 的值.
答案解析部分
一、单选题 1.设集合 ，
，则
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 C
【考点】交集及其运算 【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】 根据交集的定义求出A∩B即可. 2.若复数 的模为5，虚部为-4，则复数 （ ）
A. B. C. 或
D.
【答案】 C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数求模 【解析】【解答】设 ， ，
∴ ，解得 ，
∴
.
故答案为：C
【分析】 设复数 ，
， 根据复数的模求出x的值，即可求出复数z的值。 3.已知等比数列 中，
，数列
是等差数列，且
，则
（ A.3 B.6 C.7 D.8
【答案】 D
【考点】等差数列的性质 【解析】【解答】因为
等比数列，且
，解得
，
数列
是等差数列，则
，
）故答案为：D.
【分析】因为 数列，则
等比数列，且
可得答案。
可得
， 解得 ， 数列
是等差
4.刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 边形等分成 个等腰三角形如图1所示，当 变得很大时，这 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到 近似值为（ ）
的
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：将一个单位圆分成120个扇形， 则每个扇形的圆心角度数均为
，
这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，
，
故答案为：B．
【分析】 将一个单位圆分成120个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为3°，由这1820个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，能求出sin3°的近似值. 5.设 A.B.C.D.
，
，
，则（ ）
【答案】 D
【考点】对数的运算性质，换底公式的应用，对数函数的单调性与特殊点 【解析】【解答】 ∵ ∴
故答案为：D
【分析】 利用对数的换底公式、运算法则、对数函数的单调性即可得出大小关系. 6.已知平面向量 ， 满足， 值为（ ） A.1 B.C.D.2
【答案】 D
【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 【解析】【解答】由题意知： ∵ ∴ ∴ ∴当 故答案为：D
【分析】由题意知：
，则
可得当
时，
，则 ，易知△ 的最大值为2。
为等边三角形，
，
，
时， ， ，则
，又 的最大值为2.
，
，易知△
为等边三角形，则
，
，
，则
，
，
，若
，则
的最大
.
，而
，
，
，
，
7.为了加强新冠疫苗的接种工作，某医院欲从5名医生和4名护士中抽选了3人(医生和护士均至少有一人)分配到 ， ， 三个地区参加医疗支援工作(每个地区一人)，方案要求医生不能去 地区，则分配方案共有（ ） A.2种 B.224种
C.200种 D.236种 【答案】 C
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】当选取的是1名医生2名护士，共有
种选法，分配到A ， B ， C三个地
种，即一共
区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 种方案；
当选取的是2名医生1名护士，共有
种选法，分配到A ， B ， C三个地区参加医疗救援（每
种，即一共
种方案.
个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 综上所述：分配方案共有200种. 故答案为：C.
【分析】 分类计数，考虑选取1名医生2名护士和2名医生1名护士两类情况求解. 8.已知函数
（
且
）．若函数
的图象上有且只有两
个点关于原点对称，则 的取值范围是（ ） A.B.C.D.
【答案】 C
【考点】分段函数的应用 【解析】【解答】当
时，函数 ，若函数
与
关于原点对称的函数为
，即
的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数 只有一个交点，作出两个函数的图象如图：
若 当 若
时， 时，
时，要使
与函数
与函数
有唯一的交点，满足条件；
有唯一的交点，
则要满足 解得故
，即 ；
，
综上 的取值范围是 故答案为：C
【分析】 利用函数的对称性，画出函数的图象，通过数形结合转化求解即可. 二、多选题
9.甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均值分别为 （ ）
､
，则
A.每次考试甲的成绩都比乙的成绩高 B.甲的成绩比乙稳定 C.
一定大于
D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 【答案】 B,C
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差
【解析】【解答】对于A选项，第二次月考，乙的成绩比甲的成绩要高，A选项错误； 对于B选项，甲组数据比乙组数据的波动幅度要小，甲的成绩比乙稳定，B选项正确； 对于C选项，根据图象可估计出
，
，
一定大于
，C选项正确；
对于D选项，根据图象可知甲的成绩的极差比乙的成绩的极差小，D选项错误. 故答案为：BC.
【分析】 根据图象可判断A选项的正误;根据甲、乙两组数据的波动幅度大小可判断B选项的正误;根据图象判断甲、乙两组数据估计平均数的分布，可判断C选项的正误;根据图象判断甲、乙两组数据极差的大小关系，可判断出D选项的正误，由此可得出结论. 10.已知 A.B.
，则下列结论一定正确的是（ ）
C.D.
【答案】 A,B
【考点】对数函数的单调性与特殊点，基本不等式，不等式的基本性质 【解析】【解答】
，
又
，
，
取
故答案为：AB.
【分析】根据题目所给不等式判断a,b的大小及符号，然后运用不等式的性质判断A，利用基本不等式判断B选项，利用不等式的性质及对数函数的单调性判断C选项，举反例判断D选项。 11.关于函数 A.B.C.D.
是偶函数 在 在
上有3个零点 上单调递增
有下述四个结论，其中正确的结论是（ ）
时，
，B符合题意；
，
，此时
，C不符合题意；
，D不符合题意.
，则
， ，当且仅当
，A符合题意； 时取等号，
的最大值为2
【答案】 A,D
【考点】函数奇偶性的判断，函数的零点，正弦函数的零点与最值 【解析】【解答】A： 偶函数，正确； B： C：由B知： D：由B知：在 故答案为：AD
【分析】 利用奇偶性的定义判断A；利用特殊值判断B；求出函数的零点判断C；求出函数的最小值判断D。
12.如图所示，正三棱柱 线段
各棱的长度均相等， 为
的中点， ､ 分别是线段
和
上的动点(含端点)，且满足
，当 ､ 运动时，下列结论中正确的是（ ）
上 上，当
，零点有无数个，错误； 为常数，不单调，错误；
，
时最大值为2，正确.
且
，即
是
A.B.在
是等腰三角形 内总存在与平面 的体积是三棱柱
垂直的线段
的体积的
C.三棱锥 D.
【答案】 A,B,D
【考点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】对于A选项，依题意可知
和直角梯形 所以
，所以
分别是
全等（当
、 是
的中点、
，所以直角梯形
，即 和 重合、 和 重合时是全等的三角形），
是等腰三角形，A选项正确.
的中点，连接 是平行四边形，所以
中， ，由于
，且
，
对于B选项，设
，所以四边形
平面 所以
，由于在正三棱柱中，平面
，所以
平面
，两个平面的交线为 ，且等边三角形 平面
，所以B选项正确.
对于C选项，设正三棱柱的边长为 ， 所以正三棱柱
的体积为
的距离等于 到平面
.
的距离，结合等边三角形的性
根据正三棱柱的性质可知 到平面 质可知这个距离为 ，
所以 所以三棱锥
的体积是三棱柱
，
的体积的 ，C选项错误.
对于D选项，设
，
由余弦定理得
，则 ，
，
由于
，所以 ，
故答案为：ABD
【分析】根据正三棱柱的结构特征，逐项进行分析，可得答案。 三、填空题 13.已知直线 ________.
【答案】 (答案不唯一，形如
，
都可以)
是函数
的一条对称轴，写出 的一个可能值为
，
，所以D选项正确.
【考点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】解：因为直线 所以
是函数
.
，
都可以).
的一条对称轴，
，即
故答案为： (答案不唯一，形如
【分析】 利用x = 1是函数的对称轴，列出关系式，即可得到结果. 14.已知随机变量 ， 满足 【答案】 4
【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】【解答】解：因为随机变量 满足 所以 又因 所以 故答案为：4.
【分析】 由随机变量15.已知 【答案】 40 【考点】二项式定理 【解析】【解答】令x=1可得 分别求出
，即a=1，则
，
， 先求出E (X)=1，再由变量Y=3X+1，得
的值。
，
. ，
，
，
，
________.
的展开式中的各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．
的展开式中的含 和x和的项的系数分别为-40，80，所以展开式中的常数项为40.
按照二项式定理展开，可得
，弧 上的点 满足 最小值是________.
的展开式中常数项.
，
【分析】 先求出a的值，再把16.已知扇形 则
半径为1，
的最大值是________；
【答案】 2；
【考点】平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】以 为x轴，过 作 的垂线作 轴，建立平面直角坐标系，
,
，
所以
，所以
， ，则
，
，
因为 所以当 所以
，
因为 所以当
，所以 ，即
时，
，
取得最小值 .
，所以 ，即
时，
，
取得最大值2.
故答案为：2； .
【分析】 建立坐标系，设∠BOP=θ，用表示出P点坐标，得出λ+μ及 据θ的范围和三角函数的性质得出答案. 四、解答题 17.在
中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
关于的表达式，根
（1）求 ； （2）若
的面积为
， 为 的中点，求 的最小值.
【答案】 （1）由 可得： ∴ ∵
（2）由题意知 由余弦定理得 当且仅当
且
.
，即
，
∴
及正弦定理
，得 .
，
时取等号，
所以 的最小值为
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】 ( 1 )利用正弦定理化简已知条件，然后通过余弦定理求解角C的大小; （2） 利用三角形的面积公式和余弦定理及不等式的应用求出结果. 18.已知正项数列 （1）求数列 （2）若
【答案】 （1）∵ ∴当 当
时， 时，
的前 项和为 ，对
有
.
的通项公式；
，求
的前项和 . ，① ，解得
，②
，
，
有
，∴
.
；
由① ②得 化为 ∵ 数列 ∴ ∴
（2）由（1）得 ∵ ∴
，∴
，
.
是以首项为1，公差为1的等差数列.
.
.
【考点】数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】 (1)当n=1时计算可知 ， 当n≥2时通过作差整理可知 数列 是以首
项为1，公差为1的等差数列 ，进而计算可得结论; (2)通过(1)可知
19.如图，矩形
中，
，
， 为 的中点，把
沿 翻折，满足
.
， 进而利用错位相减法计算即得结论.
（1）求证：平面 （2）求二面角
平面 ；
的余弦值.
，
，在
中，满足
【答案】 （1）证明：由已知可得 ∴ ∵ 又
，且 平面
，∴平面
， 、
平面
平面 .
，∴ 平面
（2）解：法一：(几何法)如图所示，连接 ，取 中点 ，连接 ，
∴ ∵平面
，过 作 平面
，
交 于 点，连接 、 ，
平面 ∴ ∴ ∴ 所以 由
平面 平面 ，
平面 ，∴ ，
，
，又
，
即为所求的二面角的平面角，
，
∴ 又
，
，
，
∴ ∴二面角 的余弦值为 .
法二：(向量法)取 的中点 ，连接 ∵
∴ 平面 ∴
平面
∵平面 平面 ，
，
平面
，
如图所示，以 为坐标原点，
以 ， 分别为 ， 轴，过 作 的平行线为 轴，建立空间直角坐标系，则
，
∴ 设
， 为平面
，
的法向量，有
不妨令 ∴ 而平面
，则 ，
， ，
的其中一个法向量显然为
二面角 的余弦值为 .
【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1）根据勾股定理可证得 定定理可得平面
平面
； ， 取
中点 ， 连接
， 得
，得
平面
， 根据面面垂直的判
（2）法一：(几何法)如图所示，连接
，
法二：(向量法)以
即为所求的二面角的平面角， ，
分别为 ， 的法向量和平面
轴，过 作
；
的平行线为 轴，
建立空间直角坐标系，求出平面 面角
的余弦值.
的其中一个法向量，利用向量法可求出二
20.足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机App(应用程序)公司为了了解居民使用这款App使用者的人数及满意度，对一大型小区居民开展5个月的调查活动，从使用这款App的人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 （1）请利用所给数据求不满意人数与月份之间的回归直线方程这款App不满意人数：
（2）工作人员发现使用这款App居民的年龄近似服从正态分布
，求
的值；
，并预测该小区10月份的对
（3）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App与性别的关系，得到如表： 使用App 不使用App 12 18 女性 48 男性 22 能否据此判断有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关？ 参考公式：
，
.附：随机变量：
，则
，
(其中
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 ， )
，
【答案】 （1）由表中的数据可知，
，
所以
，
故 ，
所以所求的回归直线方程为 令
，则
； （ 人）
所以10月该小区对这款App的不满意人数为37人；
（2）依题意得
（3）由表中的数据计算可得：
根据临界值可得，有99%的把握认为是否使用这款App与性别有关 【考点】线性回归方程，性检验的基本思想 【解析】【分析】（1） 由表中的数据可知， 根据公式求出 满意人数； （2）依题意得
（3） 由表中的数据计算求得K ， 即可的结论。 21.已知圆 经过两点 （1）求圆 的方程；
（2）设 ， 是圆 上异于原点 的两点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 求证：直线 经过一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】 （1）设圆 的方程为： 由题意得：
，
，
，
，
且圆心 在直线
上.
2
，
， ，
， 即可求出回归直线方程， 令 ， 可求出小区10月份的对这款App不
计算即可；
圆 的方程：
（2）设直线 ： 由
.
，
，
，
设 ∴
， ， ，
，
，
∴ ，代入
.
得 ，
直线 必过定点
【考点】圆的一般方程，直线和圆的方程的应用 【解析】【分析】（1） 设圆 的方程为： 得：
，可得圆 的方程；
， 由题意
（2）设直线 由
： ， ， ，
， 利用韦达定理可得
，
，
.
， 解得
，进而得
出直线
必过定点
22.某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都举行“快乐体育”活动.在一次“套圈圈”的游戏中，规则如下：在规定的4米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于3次称为“最佳拍档”，甲､乙两人同一组，甲､乙两人丟圈套中的概率为别为pi ， p2，假设两人是否套中相互没有影响. （1）若 （2）若
，
设甲､乙两人丟圈套中的次数之和为 ，求 的分布列及数学期望
.
，则游戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数为16次，则理论上至少要进
行多少轮游戏才行？并求此时 ， 的值.
【答案】（1）两人丢圈套中的次数值和为，则的值可能为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
分布列如下表：
0 1 2 3 4 .
（2）他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率为
，
因为因为所以当
时，
，所以，，令，
，
，，以
， ，所以，则
，
，
，
他们小组在轮游戏中获“最佳拍档”次数满足由此时
，则，
，所以理论上至少要进行27轮游戏， ，
.
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1） 两人丢圈套中的次数值和为 出对应的概率，即可求出
的分布列及数学期望
， 则
；
的值可能为0，1，2，3，4， 求
（2） 他们在一轮游戏中获“最佳拍档”的概率为
， 由
，得
以
， 则
满足
，推导出
， 令 ， 当
， 时，
，
他们小组在 轮游戏中获“最佳拍档”次数
， 由此求出结果。
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