【玄武区数学】2020年八(下)期末试卷+答案

【玄武区数学】2020年八（下）期末试卷+答案

一、选择题

1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2、在一个不透明的盒子里装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸 出3个球．下列事件中，不可能事件是（ ）

A．摸出的3个球都是红球 B．摸出的3个球都是白球 C．摸出的3个球中有2个红球1个白球 D．摸出的3个球中有2个白球1个红球 3、下列运算中，正确的是（ ）

113xy3

  B．A．

xyxy2xy2yx1x2y2

C． xy D．2

xy2xyxy

4、下列说法正确的是（ ）

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形

C．每一条对角线都平分一组对角的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

k

5、如图，点A在反比例函数yx0的图像上，C是y轴上一点，过点A作AB⊥x轴，

x垂足为B，连接AC、BC．若△ABC的面积为3，则k的值为（ ）

A．9 B．6 C．3 D．1.5

yADCAGFOBx

（第5题） （第6题）

6、如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点E在BC边上，且BE=2，F为AB边上的一 个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG 的最小值为（ ） A．3 B．2.5 C．4 D．23

1 / 14

BEC

二、填空题

7、若式子x1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．

x24

8、若分式的值为0，则x的值是 ．

x29、计算：2a8a(a0) ．

10、一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外都相同的小球，小明每次从袋子中随机摸出一

个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验3000次，记录结果如下：

实验次数n 摸到红球的次数m 摸到红球的频率m n100 65 0.65 200 124 0.62 300 178 0.593 500 302 0.604 800 481 0.601 1000 620 0.620 2000 1240 0.620 3000 1845 0.615 估计从袋子中随机摸出一个球恰好是红球的概率约为 ．(精确到0.1) 11、用配方法解一元二次方程x26x10时，配方后方程可化为 ．

m1

12、已知点A(1,y1)、B(2,y2)在反比例函数y的图像上，且y1y2，则m的取值范

x围是 ．

13、如图，顺次连接菱形ABCD的各边中点E、F、G、H．若ACa，BDb，则四边形

AEFGH的面积为 ． (用含a、b的代数式表示)

EH

BD

FG

C

14、已知一次函数y1k1xb (k1，b为常数)与反比例函数y2

y1、y2与自变量x的部分对应值分别如表1、表2所示：

k2

(k2为常数)，函数 x

表1： 表2： x

… …

2 3

0 1

3 2

… …

x

… …

1 6

3 2

6 1

… …

y1

y2

则关于x的不等式k1xb

k2

的解集是 ． x

15、如图，菱形纸片ABCD，AB=4，∠B=60°，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在CD边

的中点B'处，折痕与边BC、BA分别交于点M、N．则BM的长为 ．

2 / 14

C'NADBB'CB'D'BMCAD

（第15题） （第16题）

16、如图，将边长为2的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到正方形AB'C'D'，

连接BB'、BC'，在旋转角从0°到180°的整个旋转过程中，当BB'BC'时，△BB'C' ．．．．．．的面积为 ． 三、解答题 17、（8分）计算：

⑴1331248； ⑵5205112． 3 18、（8分）解分式方程：

5x233x

⑴2； ⑵2． xxx1x12x2

19、（10分）解一元二次方程：

⑴x22x10； ⑵(x3)22x6．

3 / 14

20、（6分）先化简，再求值：(x

111

)(1)，其中x．

2x2x2

21、（7分）某中学图书馆将全部图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、哲学等四个类

别．为了了解图书的借阅情况，图书管理员随机抽取了某月图书的借阅情况进行统计， 并绘制成如下尚不完整的统计表和统计图．

⑴该月四类图书的借阅册数一共是____册，其中“自然科学”类所占的百分比是____； ⑵补全条形统计图，并算出扇形统计图中“哲学”对应扇形的圆心角度数为____°； ⑶若该中学打算购买四类图书共10000册，根据上述信息，请你估算“哲学”类图书 应购买多少册？

22、（8分）一辆货车和一辆轿车从南京出发，均沿沪宁高速公路匀速驶向目的地上海．已

知沪宁高速公路全长约300km．设货车的速度是x km/h，到达上海所用的时间为y h． ⑴写出y关于x的函数表达式； ⑵沪宁高速公路规定：货车的速度不得超过90km/h，求货车到达上海所需的最短时间； ⑶若轿车的速度是货车的1.5倍，轿车到达上海所用的时间比货车少1小时15分钟， 求轿车的速度．

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23、（8分）如图，在□ABCD中，将对角线BD分别向两个方向延长至点E、F，且BE=DF.

连接AF、CF、CE、AE.

⑴求证：四边形AECF是平行四边形； ⑵若AD=4，BE=3，∠ADB=∠CBD=90°，当四边形AECF是矩形时，则BD的长为_____.

FDCBA （第23题）

24、（8分）已知关于x的一元二次方程xm2xm0（m为常数）.

⑴求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.

⑵若该方程有一个根为4，求m的值.

25、（6分）如图，在下列方格纸中，A、B是两个格点，请用无刻度的直尺在方格纸中完成

下列画图.（不写画法，保留画图痕迹） ⑴画出一个∠ABC，使得∠ABC=45°； ⑵画出线段AB的垂直平分线.

2

E

BA

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26、（9分）

⑴如图①，在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD上的点，连接AP、AQ，且 ∠PAQ=∠B．求证：AP=AQ．

AQDADQBPCBPC

① ②

下面是小文对这道试题的思考，先研究特殊情况，再证明一般情况．

（Ⅰ）如图②，当AP⊥BC于点P时，请在下列框图中补全他的证明思路．

小文的证明思路

要证AP=AQ，只要证△ABP≌△ADQ．由已知条件知四边形ABCD是菱形，可得

AB=AD， ，故只要证∠APB=∠AQD．由 ，得∠APB=∠APC=90°，

即证∠AQC=90°．易证∠PAQ+∠APC+∠C+∠AQC=360°，故只要证 ，

由已知条件知∠PAQ=∠B，易证∠B+∠C=180°，即可得证． （Ⅱ）如图①，当AP与BC不垂直时，……请你完成证明．

小文完成证明后，又进一步思考，提出下列问题，请你完成解答．

⑵如图③，在菱形ABCD中，P、Q分别是BC、CD延长线上的点，且∠PAQ=∠B． 若AB=4，∠B=60°，∠APB=45°，则四边形ABCQ的面积是 ．

QADBCP

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27、（10分）在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分

别作x轴，y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长 与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“奇点”．例如：如图①，过点 P（4，4）分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是奇点．请根据以上材料回答下列问题：

、E（⑴已知点C（2，2）、D（4，4）

10

，5），其中是平面直角坐标系中的奇点的 3

有 ；（填字母代号）

⑵我们可以从函数的角度研究奇点．已知点P（x，y）是第一象限内的奇点． Ⅰ．求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； Ⅱ．借鉴研究一次函数和反比例函数的经验，类似地可以对Ⅰ中所求出的函数的图像

和性质进行探索，下列结论正确的是_______（填写所有正确的序号）； ①图像与坐标轴没有交点

②在第一象限内，y随着x的增大而减小

③对于图像上任意一点（x，y），x2y2是一个定值

⑶在第一象限内，直线ykx8（k为常数）上奇点的个数随着k的值变化而变化，直接写出奇点的个数及对应的k的取值范围．

y1086421086yBP（4,4）42-2O-2A246810x-2O-2246810x

① 备用图

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【玄武区数学】2020年八（下）期末参考答案

一、选择题 题号 答案

1 D

2 B

3 D

4 C

5 B

6 C

第6题解析：

如图，以CE为边在矩形内部作等边△CEM，连接FM、GC 易证：△FEM≌△GEC ∴FM=GC

求GC最小值，即求FM最小值 当MF⊥AB时，FM最小，为4

二、填空题 题号 答案 题号 答案 7 x1 AMGFB10 0.6 15 14 5DE11 C8 2 9 4a x328 12 m1 13 1ab 414 x2或0x3 16 23或23 第15题解析：

过B'作B'EBC交BC延长线于E，易知B'CE60°

1

∴CEB'C1，由勾股定理可得B'E3

2设BMx，则B'Mx，

MECMCE4x15x 在Rt△MB'E中，ME2B'E2MB'2

14

解得：x

5

第16题解析： ∵BB'BC'

∴B在B'C'的垂直平分线上 ∴B也在AD'的垂直平分线上

连接BD'，过B作EFB'C'交B'C'和A'D'于E、F 易证△ABD'是边长为2等边三角形 如上图，BF=3，则BE23 ∴S△BB'C'23 如下图，同理可得S△BB'C'23 综上：△BB'C'的面积为23或23

NADB'BMCE 8 / 14

三、解答题 17、⑴解：原式 

36343 373 3 ⑵解：原式

55

205

112 3 144

=1

18、⑴解：方程两边同乘x(x1)，得5x23x 解这个一元一次方程，得x1 检验：当x1时，x(x1)0， ∴x1是增根，原方程无解.

⑵解：方程两边同乘2(x1)，得2x32(2x2) 解这个一元一次方程，得x 检验：当x 故x

7 6

7

时，2(x1)0， 6

7

是原方程的解. 6

19、⑴解：a1，b2，c1

b24ac2241(1)80 ∴方程有两个不相等的实数根

bb24ac2822212， x2a212 即x112，x212.

（另解：配方得(x1)22，解得x12，即x112，x212.） ⑵解： (x3)22x6 (x3)22(x3)0 (x3)(x32)0

(x3)(x5)0 x30或x50 解得：x13，x25.

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x22x1x1

20、解：原式

x2x2

(x1)2x2

· x2x1x1

113

当x时，原式1

222

21、⑴2000，20%

⑵图略，18

⑶解：10000(1002000)500(册)

答：估计“哲学”类图书应采购500册较合适. 22、⑴y

300

x

30030030010

，得y 

x903x

⑵把x90代入y

根据反比例函数的性质，当x0时，y随x的增大而减小，

10

所以当x90km/h，货车到达上海所需的最短时间为小时.

3

⑶根据题意，得

3003005

 x1.5x4

解这个方程，得x80

经检验，x80是所列方程的解，且符合题意. 则1.5x120

答：轿车的速度为120km/h. 23、⑴证明：连接AC

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. ∵BE=DF，

∴BE+OB=DF+OD. ∴OE=OF. ∵OA=OC，

A∴四边形AECF是平行四边形.

法2：

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD=AB. ∴∠ABD=∠CDB.

∵∠ABD+∠ABE=180°，∠CDB+∠CDF=180°， ∴∠ABE=∠CDF.

在△ABE与△CDF中，

ABCD

ABECDF BEDF

FDCOBE 10 / 14

∴△ABE≌△CDF（SAS）. ∴AE=CF，∠AEB=∠CFD. ∴AE∥CF.

∴四边形AECF是平行四边形. ⑵73

当AECF为矩形时，AC=EF，则OA=OF 设OD=x，则OA=OF=OD+DF=x+3

在Rt△OAD中，OD2AD2OA2，即x242x32

解得x76，则BD2OD73

24、⑴证明：

方法1：xm2

2xm0，即xmxm20

∴x1m，x2m2

∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.

方法2：∵xm2

2xm0，即x22mxm22x2m0即x222mxm22m0 a=1，b22m，cm22m

∴b24ac22m2

4m22m40

∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.

⑵解：方法1：

∵该方程有一个根为4， ∴m=4或m24 ∴m=4或6. 方法2：

∵该方程有一个根为4，

∴4m2

24m0.

即m210m240，解得m=4或6. 方法3：

xbb24ac2a2m2422m222，.

解得x1m，x2m2

∴m=4或m24，即m=4或6.

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25、⑴如图，∠ABC即为所求；

⑵如图，直线l即为所求.

ClBA

26、

⑴ ∠B=∠D，AP⊥BC，∠PAQ+∠C=180° ⑵ 方法一：

过点A分别作AM⊥BC、AN⊥CD，垂足为M、N ∵AM⊥BC 、AN⊥CD，∴∠AMB=∠AND=90° ∵四边形ABCD是菱形

∴AB=AD，∠B=∠D

AD 在△ABM和△ADN中 Q

BD

ABAD

N

AMBAND ∴△ABM≌△ADN（ASA）

BMPC

∴AM=AN

∵∠MAN+∠C+∠AMC+∠ANC=360°，即∠MAN+∠C+90°+90°=360° ∴∠MAN+∠C=180°

∵菱形ABCD中AB∥CD ∴∠B+∠C=180° ∴∠MAN=∠B ∵∠PAQ=∠B ∴∠PAQ=∠MAN

∴PAQPANMANPAN

∴∠MAP=∠QAN 在△AMP和△ANQ中 

MAPNAQ

AMAN



AMPANQ

∴△AMP≌△ANQ（ASA） ∴AP=AQ．

【备注】此题方法较多，同学们可以多多尝试~比如作垂线再连接AC，等等

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此处再分享一个不作垂直的方法二： A如图，在BC上截取AE=AP，则∠AEP=∠APE ∴180AEP180APE，即∠AEB=∠APC ∵菱形ABCD中AB∥CD ∴∠B+∠C=180° ∵∠PAQ=∠B

BCPE∴∠PAQ+∠C=180°

∵四边形APCQ中∠APC+∠C+∠AQC+∠PAQ=360°，∴∠APC+∠AQC=180° ∴∠AEB+∠AQC=180°

∵∠AQD+∠AQC=180°，∴∠AEB=∠AQD ∵菱形ABCD中AB=AD，∠B=∠D ∴△ABE≌△ADQ（AAS） ∴AP=AQ． ⑶ 636

【解析】过点A分别作AM⊥BC、AN⊥CD，垂足为M、N 由⑵同理可知△AMP≌△ANQ，APAQ

连接AC

∵AB=BA，∴△ABC是等腰三角形 又∵∠B=60°，且∠PAQ=∠B

∴△ABC、△PAQ是等边三角形， 易知△ABP≌△ACQ（手拉手）

BQADDQN由AB=4易知BM=CM=2, AM23 ∵∠APB=45°，AM⊥BC

∴△AMP是等腰直角三角形，∴MPAM23 ∵S四边形ABCQS△ABCS△ACQ=S△ABCS△ABP S△ABC

BC·AM

43 2

MCPS△ABP

BP·AMAM(BMMP)23(223)236 222

∴S四边形ABCQ636．

27、（本题10分）

⑴ 点D、E 【解析】由“奇点”定义可知：奇点P（x，y）满足2(|x||y|)|xy|

将点坐标代入检验即可知点D、E符合条件； 4

2x2 x2

⑵ Ⅰ． y

Ⅱ．①②③

【解析】已知奇点P（x，y）满足2(|x||y|)|xy|，且在第一象限

则2(xy)xy（x0，y0）

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∴2x2yxy ∴y

2x

x2

2(x2)44

2

x2x2

分离常数可得y由x0，y

2x

0可知x2 x2

42，且x2； x2∴y关于x的函数表达式为y⑶

当k1时，0个奇点； 当k0或k1时，1个奇点； 当1k0时，2个奇点． 【解析】本题考查函数与方程结合的思想

由⑵知，若奇点P（x，y）在第一象限内，则y作出y42的函数图像： x242，且x2 x2 O O （可由y4向右平移2个单位，向上平移2个单位得到） x4

2与ykx8的交点 x2

4

2与ykx8的交点个数 x2

∴直线ykx8上的奇点，即为函数y

∴直线ykx8上的奇点的个数，即为y

易知直线ykx8经过（0，8）

∴直线ykx8可看作一条经过（0，8）并可绕着（0，8）任意旋转的直线 特别地：

当k0且只有一个交点时，方程∴通过直线旋转可知： 当k1时，0个奇点；

当k0或k1时，1个奇点； 当1k0时，2个奇点．

4

2kx8有唯一解，此时k1 x2

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