圆的基本性质教案(含答案)

基础知识回放

集合：

圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹：

1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理:

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：〔1〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 〔2〕弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

〔3〕平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ BC  BD ⑤ AC AD推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD

A DC OO BAEDC

B圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对E 的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只F 要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个O D结论也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE

A ③OC=OF ④ BAED CB C圆周角定理

圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半

O即：∵∠AOB和∠ACB是 所对的圆心角和圆周角 B ∴∠AOB=2∠ACB A

学习文档 仅供参考

圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧

即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 BO即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵∠C=90°

∴∠C=90° ∴AB是直径

推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC中，∵OC=OA=OB

∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN是切线，AB是弦 ∴∠BAM=∠BCA N

切线的性质与判定定理 〔1〕判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线

〔2〕性质定理：切线垂直于过切点的半径〔如上图〕

M 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN是切线 ∴MN⊥OA

切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA=PB

PO平分∠BPA

CDCBCOAACBOA

OBAMOAN

BOPA学习文档 仅供参考

圆内相交弦定理及其推论：

〔1〕相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等 DOB即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P

∴PA·PB=PC·PA PA C〔2〕推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的

C比例中项。

B即：在⊙O中，∵直径AB⊥CD AOE ∴ CE2DE2EAEBD

〔3〕切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线

A ∴ PA2PCPBE DO PC〔4〕割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的B交点的两条线段长的积相等〔如上图〕

A即：在⊙O中，∵PB、PE是割线

∴ PCPBPDPE

弧长、扇形面积公式

nRO〔1〕弧长公式： llS180 nR21SlR〔2〕扇形面积公式：

3602

中考热点难点突破

B例1：如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是〔 〕

A．45 B．60 C．75 D．90

BCAODPC O A D 例2图

E B A C O D 例3图

B 例1图 AOB的度数为m，C是ACB上一点，D，E是AB上不同的两点例2：如图，在O中，〔不与A，B两点重合〕，则DE的度数为〔 〕

学习文档 仅供参考

A．m B．180m 2

C．90m 2D．

m 2例3：高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，假设它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=〔 〕

A．5 B．7 C．

375 D．377 试题演练

一、选择题

1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为3cm，则弦CD的长为〔A．

32cm

B．3cm C．23cm D．9cm

第1题图

第2题图

第3题图

第4题图

2．如图，△ABC内接于⊙O，假设∠OAB＝28°，则∠C的大小为〔 〕 A．28° B．56°

C．60° D．62°

3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,∠CDB＝30°, ⊙O的半径为3cm，则弦CD的长为〔A．

32cm B．3cm C．23cm D．9cm

4．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为〔 〕 A．2 B．3 C．4 D．5

5．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是〔 A．120° B．125° C．135° D．150°

6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．假设∠BOC＝80°，则∠A等于〔 〕 A．60°

B．50°

C．40° D．30°

C 第6题图

第7题图

第8题图

A B 第D 9题图

学习文档 仅供参考

〕

〕 〕

7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形〔劣弧〕，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米

8．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如下图，其中有水部分水面宽，最深处水深，则此输水管道的直径是〔 〕 A．

B． C．

D．1米

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，假设以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于〔 〕 A．53

B．5 C．52 D．6

10.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，假设∠D ＝ 35°，则∠OAC的度数是〔 〕 A．35° B．55° C．65° D．70°

第10题图

第11`题图

第12题图

第13题图

二、填空题

11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BOC＝44°，则∠A的度数为 ． 12．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB10，A30°，则BC的长为 ． 13.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上 ，OD∥AC，假设BD＝1，则BC的长为 . 14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，假设∠CEA＝28，则∠ABD＝

E°.

CABD

第15题图

第16题图

第17题图

第14题图

15．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝42°，则∠BAD＝ __________°.

学习文档 仅供参考

16．如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分ACB，假设AB＝2,∠CBA＝15°，则CD的长为 ．

17．已知⊙O的直径AB＝8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC＝30则BC＝______cm.

18．如下图，A、B、C、D是圆上的点，170°，A40°，则C— 度．

DOAB

第18题图 第20题图

C

19. 在⊙O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝ ．

20．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________． 三、解答题

21．如图，AB为⊙O直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O交于D，AD的延长线交BC于E，假设∠C = 25°，

求∠A的度数．

22．如图，AB是OD的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的

数量关系，并给予证明．

学习文档 仅供参考

23．如图，P为正比例函数y3x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为〔x，y〕． 2 〔1〕求⊙P与直线x2相切时点P的坐标；

〔2〕请直接写出⊙P与直线x2相交、相离时x的取值范围．

四、解答题〔每题8分，共24分〕

24．从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4cm×11cm，如图甲．用尺量出整卷卫生纸

的半径〔R〕与纸筒内芯的半径〔r〕，分别为和，如图乙．那么该两层卫生纸的厚度为多少cm？〔π取，结果精确到〕

图① 图②

25．如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿圆周逆时针运动，当

点P回到A地立即停止运动．

〔1〕如果∠POA＝90o，求点P运动的时间；

〔2〕如果点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙

O的位置关系，并说明理由．

学习文档 仅供参考

26．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C． 〔1〕用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；

〔2〕假设A点的坐标为〔0，4〕，D点的坐标为〔7，0〕，试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物

线上；

〔3〕在〔2〕的条件下，求证直线CD是⊙M的切线．

五、解答题〔每题8分，共16分〕

27．如图，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏。铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环

相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图②．已知铁环的半径为5个单位〔每个单位为5cm〕，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝，且sin0.6． 〔1〕求点M离地面AC的高度MB〔单位：厘米〕；

〔2〕设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度〔单位：厘米〕．

28．图①是用钢丝制作的一个几何探究具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB＝6，AC＝3．现

将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中〔如图②〕，然后点A在射线OX由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动〔如图③〕，当点B滑动至与点O重合时运动结束． 〔1〕试说明在运动过程中，原点O始终在⊙G上； 〔2〕设点C的坐标为〔x，y〕，试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

〔3〕在整个运动过程中，点C运动的路程是多少？

图① 图② 图③

学习文档 仅供参考

参考答案

中考效能测试

1．B 【解析】∠ＣＤＢ＝30，所以∠ＣＯＢ＝60，所以在直角⊿ＣＯＥ中，ＯＥ＝

0

0

13ＣＯ＝，根据22勾股定理可得ＣＥ＝

3，所以ＣＤ＝2ＣＥ＝3 cm. 22．D【解析】此题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以∠AOB=2∠C。∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA, 又∵∠OAB=28°, ∴∠AOB=124°，所以∠C=62°.故选D.

3．Ｂ【解析】∠ＣＤＢ＝30，所以∠ＣＯＢ＝60，所以在直角⊿ＣＯＥ中，ＯＥ＝

0

0

13ＣＯ＝，根据22勾股定理可得ＣＥ＝

3，所以ＣＤ＝2ＣＥ＝3 cm. 2 4．B 【解析】由垂径定理，可得DH=2,所以BH=BD2BH21,又可得△DHB∽△ADB.,所以有

BD2BH•BA,(3)21BA,AB3.此题考查了垂径定理及相似三角形判定与性质。

5．C【解析】由ICA=

CD

为腰上的高,I

为△ACD

的内心，则∠IAC+∠

111(BACBCA)(1800ADC)(1800900)450, 2220000所以AIC180(IABICA)18045135.又可证△AIB≌△AIC,得 ∠AIB=∠AIC=135。

6．C【解析】考查圆周角定理.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以∠A是∠BOC的一半，答案为C.

7．B【解析】此题主要考查直角三角形和垂径定理的应用。因为跨度AB=24m，拱所在圆半径为13m，所以找出圆心O并连接OB，延长CD到O，构成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出DO=5，进而得拱高CD=CO-DO=13-5=8。故选B。

8．D【解析】考查点：此题考查圆的垂径定理和解直角三角形的有关知识。解题思路：根据题意，我们可以通过添加辅助线得到如下列图形：

0学习文档 仅供参考

O A C D

设圆的半径为R，则OA=R，由垂径定理可得AC=

B 10.80.4，OC=R-0.2，在RtOAC中，利用勾股定2理可得：R20.42(R0.2)2，解得R=0.5，故该圆的直径为0.521〔米〕。

9．A【解析】此题考查圆中的有关性质，连接CD，∵∠C＝90°，D是AB中点，AB＝10，∴CD＝∴BC＝5，根据勾股定理得AC＝53，故选A．

10．B【解析】此题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系。法1：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆角角的2倍，所以∠ＡＯＣ＝2∠Ｄ＝70，而⊿ＡＯＣ中，ＡＯ＝ＣＯ，所以∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ，而180－∠ＡＯＣ＝110，所以∠ＯＡＣ＝55.法2：因为ＢＣ是直径，所以∠ＢＡＣ＝90，则∠ＯＡＣ＝90

0

0

0

0

0

0

0

1AB＝5，2－∠ＢＡＯ，而⊿ＡＯＢ中，ＡＯ＝ＢＯ，所以∠ＡＢＯ＝∠ＢＡＯ，而∠ＡＢＯ＝∠Ｄ＝35，从而问题得解。

11．22°【解析】此题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以此题的答案为4401220。 212．5【解析】因为AB是圆的直径，则它所对的圆周角为直角，又AB10，A30°，根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，则BC=5。

13．2【解析】此题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质.因为AB是直径,所以它所对的圆周角为直角,再根据两条直线平行,同位角相等,所以OD⊥BD,根据垂径定理,可知,D为BD的中点,所以BC=2BD=2. 14．28【解析】此题综合考查了垂经定理和圆周角的求法及性质。由垂径定理可知弧AC=弧AD，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD=28°.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解。

15．48【解析】连接OD，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可得，AOD84,又因OD=OA， 所以BADADO011(1800AOD)(1800840)480。 22学习文档 仅供参考

16．3【解析】OC，过点O作OE，使OE⊥CD，垂足为点E，因为∠ABC=15°，OB=OC，所以∠OCB= 15°，∠OCE=∠BCD-∠OBC=45°-15°=30°，在Rt△OCE中，CE= OC×cos30°=1×

3,所以CD=3. 21

17．4∠C为直角.再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半,所以BC=AB=4cm.

218．30【解析】∠1=∠A+∠B, ∠B=30°,又∵∠C=∠B=30°∠C=

1∠1=35°. 219．5【解析】此题考查垂径定理与勾股定理。如图，在⊙O中，AB=6，OC⊥AB于C，则AC=

1AB=3，在Rt△AOC中，OAOC2AC242325. 2

20．33【解析】因为AB＝BC，∠ABC＝120°，则∠CAB=∠ACB=30°，又AD为⊙O的直径，则∠ABD=90°，又AD＝6，AB=3，则BD=33。 三、解答题

yO1O CAOA B xB图2 21．∵AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，∴∠ABC = 90°，∵∠C = 25°，∴∠BOC = 65o，∵∠A =

1∠2BOD，∴∠Ao．

22．解：OE＝OF．证明：作OM⊥AM，垂足为M．根据垂径定理得AM＝BM．∵AE＝BF，∴AM－AE＝BM－BF，即EM＝FM．∴OE＝OF．

153〕或〔1，〕；〔2〕当1x5时，⊙22P与直线x2相交．当x1或x5时，⊙P与直线x2相离．

23．〔1〕当⊙P与直线x2相切时，点P的坐标为〔5，

四、解答题

2224．设该两层卫生纸的厚度为xm，则：1111.4x3005.82.311 ，解得x0.026，答：

设两层卫生纸的厚度约为0.026cm． 25．〔1〕3s；〔2〕当点P运动2s时，∠POA＝60o，∴OA＝AP＝AB，∴∠OPB＝90o，∴BP与⊙O相切． 26．〔1〕略；〔2〕y122xx4，点D不在抛物线上；〔3〕略． 63五、解答题

27．〔1〕过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．易求得铁环钩离地面的高度MB为1cm；〔2〕解Rt△FMN，结合勾股定理与三角函数可得，铁环钩的长度FM为50/3cm． 28．〔1〕连OG，OG＝AG＝BG，∴点O始终在⊙G上；〔2〕作CD⊥x轴，CE⊥y轴垂足分别为D，E，可得△CAD∽△CBE，得y333333x6；x，〔3〕线段的两个端点分别为C1〔，〕，C2〔33，2232学习文档 仅供参考

3〕，当OA0时，C1〔的路程为633

333933，〕；当OA6时，C3〔，〕；C1C2＝3，C2C3＝333，点C运动2222学习文档 仅供参考