2016年第21届“华杯赛”决赛初二组试题及参考答案

题

答

证

赛参

勿____

__ __请_名姓 _

_内______ ___线_校 学号 封 密

总分

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题（初二组）

（时间: 2016 年 3 月 12 日 10:00～11:30）

一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）

1. 设 a, b 是不小于 3 的实数,

a 2 2 则

b 2 的最小值是

.

2. 用[x]表示不超过 x 的最大整数, S 123设

99100,

那么 S 等于

.

3. 如右图, 在等腰三角形 ABC 中 AB AC , AD 垂直 BC 于

点 D, BE 垂直 AC 于点 E, AD 与 BE 交于点 P, BP 3 , PE 1, 那么三角形 BDP 的面积是 .

某停车场白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同．张明

4. 2 月份白天

的停车时间比夜间要多 40％, 3 月份白天的停车时间比夜间要少 40％. 若 3 月 份的总停车时间比 2 月份多 20％, 但停车费用却少了 20％．那么该停车场白 天时段与夜间时段停车费用的单价之比是

.

5. 将一个三位数的十位和百位上的数字交换后得到一个新数, 新数与原数之和

再加上 60 后刚好是一个完全立方数．那么原数的三个数字之和的最大值 是

.

6. 在 方程 2 x 2 4 x 4 6 x 6 8 x 8

x2 5x 4 的 实 数 解 中 ,

最大 的

是 .

7. 当 x, y 为整数时, 多项式 6x2 2xy2 4 y 8 的最小正值是 ．

4  3的长方形网格, 由相同的小正方形构成．8. 右图是 将其中

8 个小正方形涂上灰色, 要求每行每列都有涂色的小正方 形．经旋转后, 两种涂色的网格相同视为相同的涂法, 那么 有

种不同类型的涂色方式．

二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）

9. 化简 4 7 4  4 7 4 ． 3 3

10. 如右图, 在△ABC 的边 BC 上取点 F, 使得线段 AF 交

中线 BD 于点 E, 且 AE BC . 证明: BF FE .

11. 已知整系数多项式 x3 ax2 bx c , 当 x a , x b 时, 它的值分别为 a3 ,

a, b, c 为互不相等的非零整数, 试求 b3 , 并且 a b c 的值．

12. 如右图, 边长为 3 的正方形均分成 3 3 的方格, 每个方格

的 顶点叫做格点. 以格点为圆心, 半径为 1 画圆, 至少要画多少 个圆才能盖住这个正方形？

三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）

13. 如右图, 在正方形 ABCD 中, F 和 E 分别在边 AD 和边 DC

1 CAG OBH CAB ．如 上移动, 且 FOE

3 90,

果 EF 

2 , 求 GH 2

2OH 的最小值．

14. 已知 S0 5 , 对于任意的自然数 k,

Sk 1 

k 3 5 , 求 S100 . Sk k 1 k 1

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第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题参考答案

（初二组） 一、

填空题（每小题 10 分, 共 80 分）

题号 答案 1 1 2 25 3 4 25:1 5 24 6 7 4 8 235 32 25720

二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）

9. 【答案】6

10. 【证明】略

11. 【答案】18

12. 【答案】8

三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）

13. 【答案】 14. 【答案】12880．

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