如何减少解析几何中的计算量

在解析几何的学习中,因为计算量大,运算复杂,使得很多的学生大伤脑筋,甚至望而却步.每年高考中因此失分的也不少,在解题中,尽量减少计算则成为迅速、准确地解题的关键.现举数例,指出如何在解题中减少计算量的一些途径. 一、利用有关定义

例1、如图所示,长度为2的线段AB的两个端点A,B在 抛物线y=x上移动,求线段AB的中点P到x轴的最小距离.

2解:设点P的纵坐标为y0,由抛物线的定义知AM=AF,BN=BF, 由梯形位线性质得PQ=1(

2AM+BF),即

y P A F x B y01412(AFBF)1214AM341

所以y0的最小值为1

（当且仅当线段AB过双曲线的焦点F 时取到最小值).

二、利用设而不求,点坐标代入法 例2、过椭圆16x2M Q N y241内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分

求这条弦所在直线的方程.

解:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)

M(2,1)为AB的中点，x1x24,y1y22 .

又A,B在椭圆上,则x1以上两式相减得(x1

224y116,x24y222222216x2)4(y1y2)0.

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于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.

y1y2x1x2x1x24(y1y2)44212

y112(x2)即kAB12.故所求直线的方程为

即x2y40.

三、利用曲线的参数方程. 例3、已知P(x,y)是椭圆144围?

x12cos解:设椭圆的参数方程y5sin(是参数，且0，2)x2y2251上的点,试求xy的取值范

xy12cos5sin13(1213cos513sin)13(sincoscossin（其中)sin1213,cos513）13sin()

1sin()1

xy的取值范围为(13,13)

四、利用曲线的极坐标方程

例4、A,B为椭圆bxay12222ab(ab0)上的两点,O为

22 原点,若OAOB,求证:

OA21OB2为定值.

证明:将椭圆方程化为极坐标方程得

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bab2222cos2asin2

2,所以

设xoA1,xoB2,21,则21OA2abbcos2222221asin12,

OB2b2abcos22(1ab2222)a2sin2(12)

故所以

bsin221acos212, ,

1OA1OA221OB2a2b22ab1OB2为一定值.

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