双曲线的切线(全面版)

x2y2本文拟讨论由坐标平面内任意点P(x0，y0)，引双曲线C1：22=1(a＞0，abb＞0)(1)的切线，切线的存在性、切线的条数、切线方程及切点坐标．

不妨只考察P在原点、P在坐标轴正半轴上、P在第一象限内的情形．

当P在原点或P在区域Ⅰ时，不存在切线；当P在C1或C2（不含原点)上时，仅一条切线;当P在区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ或在C3（不含A、B)上时,有两条切线．

结论：①原点处无切线.

②点在C3上时一条切线

③当P在线段AB上时，Q在C1的右支上半支．

④当P在线段AB的延长线上时,Q在C1的左支下半支．

⑤若点P在区域Ⅰ内， 过P不存在切线．

⑥若点P在曲线C1上(异于点A)， 切点即点P．

⑦若点P在曲线C2上(异于点B）， 若P在线段OB上，Q在C1右支下半支．

若P在线段OB的延长线上， Q在C1右支上半支．

⑧若点P在区域Ⅱ内, Q1在C1右支下半支,Q2在C1右支上半支．

⑨若点P在区域Ⅲ内， Q1、Q2位于C1同一支且在x轴同侧．

⑩若点P在区域Ⅳ内， Q1在C1的右支下半支,Q2在C1的左支下半支．

⑪若点P在区域Ⅴ内， Q1在C1左支下半支，Q2在C1的右支上半支．

xy如图所示，记C1的渐近线为C2∶－=0，C1的右顶点为A(a，0)，直线C3∶ab

x=a；C3与C2的交点为B（a，b）;C1的内部（含焦点的部分）为区域Ⅰ;C1与C2之间的部分,在C3左侧为区域Ⅱ,在C3右侧部分为区域Ⅲ;C2与y轴正半轴所夹的部分，在C3左侧为区域Ⅳ,在C3右侧为区域Ⅴ．

1 若P在原点

x0∵ 方程组x2y2无实数解，221ba

∴ 直线x=0不是C1的切线．

设过P(0，0）的直线l的方程为y=kx，代入（1）消去y得（b2－a2k2）x2＝a2b2，

bb当|k|≥时，此方程无实根，所以l与C1无公共点；当|k|＜时，此方程有两相反aa

实根,

∴l与C1有两个交点．

故过P不存在C1的切线．

2 若过点P存在无斜率的切线

2此时切线方程为x=x0，代入(1)消去x得a2y2=b2(x20－a)，此方程有两相等实

2根的充要条件是x20－a=0，即|x0|=a．

故点P在C3上时,C3为C1的一条切线，切点为A．

3 若过点P存在有斜率的切线

设切线斜率为k，则切线方程为

y－y0=k（x－x0) (2）

将(2)代入(1）消去y可得

(b2－a2k2）x2－2a2k(y0－kx0）x－a2［（y0－kx0）2＋b2］=0 (3）

方程（3)的判别式

2222Δ=4a2b2[(x20－a)k－2x0y0k＋(y0＋b)]2222令f(k)=(x20－a)k－2x0y0k＋(y0＋b)

3。1 若点P在C3上(异于点A）

∵x0=a，

∴一次方程f(k）=0的解为

2y20bk=2x0y0 (4)

(1)当y0=b时，即P与B重合时，k=bb，过P且斜率为的直线即直线C2，不是aa

C1的切线．

222(2)当y0≠b时，将(4)代入(2)得切线方程为(y20＋b)x－2x0y0y＋x0(y0－b)=0.x0(b2y20)设切点为Q(Qx，Qy)，将切线方程与(1)联立解之可得Qx，Qyb2y202b2y20．2by20

①当P在线段AB上时，

∵b＞y0，∴Qx＞0，Qy＞0，

故Q在C1的右支上半支．

②当P在线段AB的延长线上时，

∵b＜y0，∴Qx＜0，Qy＜0，

故Q在C1的左支下半支．

3.2 若点P不在C3上

此时x0≠a．二次方程f（k）=0有实根的充要条件是其判别式

2222Δ=－4(b2x2－ay－ab)≥0，00x2y200设δ=－(2－2－1)，ab则Δ≥0δ≥0．

3.2.1 若点P在区域Ⅰ内

x2y20此时20＞1，ab2

∴δ＜0．方程f(k）=0无实根，故过P不存在切线．

3。2.2 若点P在曲线C1上（异于点A）

此时x2y200=1，2ab2(5)

x0y0b2x0∴δ=0，方程f(k)=0的二重根为k=2，注意到(5)式，则k=2．x0a2ay0将k值代入(2)整理得切线方程为

22b2x0x－a2y0y=b2x20－ay0，

注意到（5）式，切线方程可化为

x0xy0y21．a2b

切点即点P．

3。2。3 若点P在曲线C2上(异于点B）

此时x2y200=0，2ab2(6)

y0∴δ=1＞0，方程f(k)=0有两相异实根．易验证，k1=是其一根，另一根x0

为

22y2y0x0(y20b0b)k2=2÷=2x0y0(x2x0a20a)(7)

过点P且斜率为k1的直线即C2，不是C1的切线．故C1仅有一条切线．将（7）代入

（2)并注意到（6），可得切线方程为

22x2y20a0by=1．2a2x02b2y0

a2k(y0kx0)设切点为Q(Qx，Qy)，由(3)知，Qx=，将(7)代入上式并注意到b2a2k222x2y20a0b(6)，则Qx=，将Qx代入(2)并注意到(6)，可得Qy=，故切点为2x02y0

222x2aybQ(0，0)．2x02y0

∵x0＞0，∴Qx＞0,

故Q在C1的右支上．

①若P在线段OB上,

∵0＜y0＜b，∴Qy＜0，

故Q在C1右支下半支．

②若P在线段OB的延长线上，

∵y0＞b,∴Qy＞0,

故Q在C1右支上半支．

3.2。4 若点P在区域Ⅱ内

此时x2y200＜2－0＜1，ab2(8)

∴δ＞0，方程f（k）=0有两相异实根，设为k1、k2，且k1＜k2,则

2x0y0kk221x20a22kky0b1222xa0(9)

设相应于ki的切点为Qi（xi，yi),i=1,2

a2ki(y0kix0)由(3)知 xi=b2a2k2i(10)

将(10)代入（2）得

b2(y0kix0)yi=b2a2k2i(11)

由（10）、（11）和（9）可推得

2a4(y20b)x1x222bx0a2y20422yyb(x0a)122222bxay00(12)

∵0＜x0＜a，0＜y0＜b，由(8）和（12)知，x1x2＞0，y1y2＜0，

∴Q1、Q2在C1的同一支，且在x轴异侧．

2x20a＜0bb∵f()(y0x0)2＞0aabb2f()(yx)＞000aa

bbb∴f(k)=0的两根在区间[－，]之外，即|ki|＞．aaa

由（9）知，k1k2＜0，

bb∴k1＜－，k2＞．aa

故Q1在C1右支下半支，Q2在C1右支上半支．

特殊地，若P在线段OA上，由对称性知k1=－k2，由(9)得k=(2)得切线方程y=±bax220±bax220，代入(x－x0)；代入(10)、(11)得切点坐标为

ba2x2a20(，±)．x0x0

3。2。5 若点P在区域Ⅲ内

仿3。2.4的讨论可知，x1x2＞0，y1y2＞0，

∴Q1、Q2位于C1同一支且在x轴同侧．

∵二次函数f(k)的对称轴为k=x0y0x0y0b，易证＞．222ax2axa00

x2y'20事实上，取点M(x0，y)为C1右支上半支上的点，则221，ab

x0y0b2x0y0b2x0y0b2x0y0b2x0b2ab∴2＞·＞·．22222222222ybax0abx0abayay0aa02x2a＞00bx0y0∵22＞axa0bb2f()(y0x0)＞0aa

bbb∴f(k)=0的两根在区间(，＋∞)上，即k1＞，k2＞．aaa

3。2.6 若点P在区域Ⅳ内

此时x2y200＜0，a2b2

∴δ＞0，f(k)=0有两相异实根．

bb仿3.2.4的讨论知：x1x2＜0，y1y2＞0且k1＜－，k2＞，aa

∴Q1在C1的右支下半支，Q2在C1的左支下半支．

特殊地，若P在y轴正半轴上，由对称性知，k1=－k2，由(9)得，k=±，代入(2)得切线方程为y=±a代入(10)、(11)得切点坐标为2y20b2y20bax＋y0，

(±2ay20by0b2，－)．y0

3。2.7 若点P在区域Ⅴ内

bb仿3.2.5的讨论知，x1x2＜0，y1y2＜0，且k1＞，k2＞，aa

∴Q1在C1左支下半支，Q2在C1的右支上半支．

综上所述：当P在原点或P在区域Ⅰ时,不存在切线；当P在C1或C2（不含原点)上时，仅一条切线；当P在区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ或在C3（不含A、B）上时，有两条切线．

当由P可引C1的两条切线时，设切线上任一点为N(x，y),则分PM所成比为λ(λy0yx0x≠－1)的点Q的坐标为(，)．若Q在C1上，则11+

2(x0+x)2(y0y)2222=1，a(1)b(1)

x0xy0yx2y2x2y202整理可得(22－1)λ＋2(22－1)λ＋(202－1)=0．ababab

∵PN为切线,

∴此关于λ的二次方程有两重根,故

x0xy0yx2y2x2y20024(22－1)－4(22－1)(22－1)=0ababab

x2y2x2y200即(22－1)(22－1)ababx0xy0y=(22－1)2ab

此即两条切线的方程．

x0xy0y21bx0±ay0ay0±bx0a2b由方程组2可解得切点Q的坐标为(，．2b(1)a(1)xy1a2b2

若P点位置非上述各情形，不难根据对称性，类似地给出相应的结论．