过度矩阵的求法(数学考研)

过渡矩阵的求法

1．预备知识

1.1定义 设1,2,...,n和1,2,...,n是数域p上n维线性空间V（简称V）

1a111a212...an1naa...a121222n2n2的两个基，那么 (1)

........................na1n1a2n2...annn这里1j,2j,...,nj就是j关于基1,2,...,n的坐标j1,2,,n.以这n个

a11a1n坐标为例作一个n级矩阵T=，矩阵T叫作由基1,2,...,naannn1到基

1,2,...,n的过度矩阵.上述关系式（1）又可以写成下面形式：1,2,...,n1,2,...,nT (2)

1.2 定理

1．2．1 如果向量关于基1,2,...,n的坐标是x1,x2,...,xn；关于基

1,2,...,n的坐标是

y1,y2,...,yn，则有坐标变换关系式：

x1y1y1x2Ty2或y2Txnynynx1x12 (3) xn1．2．2 如果1,2,...,n且由1,2,...,n，1,2,...,n，1,2,...,n都是V的基，

到基1,2,...,n的过度矩阵是A，由基1,2,...,n到基

则由基1,2,...,n到基1,2,...,n的过度矩1,2,...,n的过度矩阵是B，阵是AB.

1.2.3如果由基1,2,...,n到基1,2,...,n的过度矩阵是T，则由基

1,2,...,n到基1,2,...,n的过度矩阵是T1.

2 对一般的n维线性空间中基的过度矩阵的求法.

2.1 利用定义中的关系式（1）

据(1),求由基1,2,...,n算出j关于基1,2,...,n到基1,2,...,n的过度矩阵是T，只要能计

的线性组合系数a1j,a2j,...,anjj1,2,,n,就可得

出T的第J列元素，从而写出过度矩阵T.

1(1,0,...,0)(0,1,...,0)2例1在n维空间pn中，，是一组基。向量(a1,a2,...,an)，

............n(0,0,...,1)在这组基下的坐标为(a1,a2,...,an)

1'(1,1,...,1)

'

(0,1,...,1)在基2下，向量(a1,a2,...,an)，的坐标为 (a1,a2a1,...,anan1).

............

'(0,0,...,1)n

11'''解 我们有（1，2,„, n）=(1，2，„,n) 111A101100101100这里 1000因此

11011就是过度矩阵。不难得出A1010001x1''11x201x'n000x10x'2，也就是x10x1,xi'xixi1j1,2,,n xn12.2利用性质（2）和性质(3)

例2 已知1,2,3的坐标分别为(-3,1,-2),(1,-1,1),(2,3,-1),1,2,3的坐标分别为（1，1，1），（1，2，3），（2，0，1），现求基1,2,3到基1,2,3的过度矩阵.

解 设基1(1,0,0)，2(0,1,0)，3(0,0,1)，则由基1,2,3到基

312113（3）知，由基1,2,3到1,2,...,n的过度矩阵是A,由性质211基1,2,32351又因为由基1,2,的过度矩阵是A15711123到基

112B120所以由性质（2）可知所求的由基1,2,3的过度矩阵是

1316191134211,2,3到基1,2,3的过度矩阵是A1B 2702.3 利用定义中关系式（2）的向量形式

当我们把（2）看成是两个等价的线性无关的向量组可互相线性表出的时候.对于

此类关系式的灵活运用是求过渡矩阵及其相关问题的一种非常简单有效的方法，特点是思路清晰，容易记忆.

例

3 给定p3的两组基1(1,02,1),3(2,和1,0),(（1）写1(1,2,1),2(2,2,1),3(2,1,1)定义线性变换Tii(i1,2,3)，出由基1,2,...,n（2）写出T到基1,2,...,n的过度矩阵；

在基

（3）写出T在基下的矩阵. 1,2,...,n下的矩阵；

解（1）设基1(1,0,0)，2(0,1,0)，3(0,0,1) 则1,2,...,n1211,2,3011

101

得1211,2,31,2,...,n011代入下式

1011221211,2,3221,,...,01112n111101111,2,...,n21221221,,...,12n11112A11323212323 252323212323，则所求的过度矩阵是252由题设Tii知T(1,2,3)=(1,2,...,n)=(1,2,3)A,故T在基1,2,3下的矩阵也是T。

（3）因为(1,2,...,n)(1,2,3)A

所以T(1,2,...,n)=T(1,2,3)A=(1,2,...,n)A.即T的基1,2,3的矩阵仍是A.



下

2.4利用性质（1）中的坐标变换关系式（3）

例4 在V中，对任一向量，设在基1,2,...,n下的坐标为

x1,x2,...,xn，在基1,2,...,n下的坐标为y1,y2,...,yn，且两组基下的坐标

有关系y1x1,y2x2x1,y3x3x2,...,ynxnxn1，求由基1,2,...,n到基

1,2,...,n的过度矩阵.

x1y1xy22解 由坐标变换关系式（3）可知A,而

xnyny1x11xxyyy212121xxyyyy，则所求过度矩阵为A323123......................1xxyyyy...yn1n123nn01100但对于1利用坐标变换关系（3）求过度矩阵一定要慎重，如文3在利用坐标变换公式

YT1X求过度矩阵T时就出现了错误，为方便起见，将原文摘录如下，但在原书方法编号3、4为方法（a）(b). （a） 用坐标变换公式YT1X

由于若从基1，2，„,n到基1,2,...,n的过度矩阵为T，则任一向量在两组基下的坐标之间有关系；YTX其中X,Y分别为在基Ⅰ与基Ⅱ下的坐标列.所以，若知道n个向量1,2,...,n在两组基下的坐标列分别为X1,X2,...,Xn,及Y1,Y2,...,Yn，则应有Y1T1X1，Y2T1X2,„, YnT1Xn，于是得

(Y1,Y2,...,Yn)=T1(X1,X2,...,Xn) (4)

T(X1,X2,...,Xn)1(Y1,Y2,...,Yn) （5）

(b) Fn（n维列向量空间）中，已知向量1,2,...,n在基1,2,...,n下的坐标为1,2,...,n，则从自然基到基1,2,...,n作的过度矩阵T由下式给出 T(1,2,...,n)1(1,2,...,n) （6）数组向量1,2,...,n在自然基下的坐标就是其自身（各分量排成的列向量），由（a）立得结论.

分析：方法（a）主要有两处错误.首先如果向量组1,2,...,n线性相关，则矩阵

(X1,X2,...,Xn)与矩阵(Y1,Y2,...,Yn)都不可逆，所以关系式（5）无意义；其次，如

果向量组1,2,...,n线性无关，则矩阵(X1,X2,...,Xn)与矩阵(Y1,Y2,...,Yn)都可逆，但这时关系式(5)仍然不成立.而方法（b）是利用（a）推来的，自然关系式（6）是错误的.针对上述问题，只要将方法（a）(b)中的“n个向量1,2,...,n”改为“n个线性无关的向量1,2,...,n”，就可以得到正确的结果，将关系式（5）（6）分别改为关系式（7）（8）:

T(X1,X2,...,Xn)(Y1,Y2,...,Yn)1 (7) T(1,2,...,n)(1,2,...,n)1 (8)

2.5 利用定义中关系式（2）的变形时（9）

如果在V中有三组基，基1,2,...,n和基1,2,...,n关于基1,2,...,na1nb1na11a12b11b12aaabbb2n21222n2122,...,,，和,,...,的坐标列分别是，则可将坐标列直

aabban1n2n1n2nnbnnb11b12b21b22接代入关系式（2）得变形式（9）bn1bn2a11a12a21a22证明因为(a1,a2,...,an)(2,...,n)an1an2b11b12b21b22(1,2,...,n)=(2,...,n)bn1bn2b1na11a12b2na21a22=bnnan1an2a1na2n， anna1na2nT. annb2n，代入关系式（2）bnnb1nb2n=(2,...,n)T而bnnb1nb11b12b21b22(1,2,...,n)=(a1,a2,...,an)T得(2,...,n)bn1bn2

1,2,...,n如果在

b11b12b21b22是基向量线性无关，所以bn1bn2b1na11a12b2na21a22=bnnan1an2a1na2nT annpn中，上述基

1,2,...,n一般默认为标准

(,10,n0()0,. 01(1,0,20,00),,例6 在R4中，证明下列两组向量

1(1,2,1,0),2(1,1,1,1),3(1,2,1,1),4(1,1,0,1)

和1(2,1,0,1),2(0,1,2,2),3(2,1,1,2),4(1,3,1,2)各构成一组基，并求由基1,2,...,n到基1,2,...,n的过度矩阵.

和1,2,...,n的坐标为列向量，分别构成矩

13130 12解：以向量组1,2,...,n11112022121111阵A,B,则由A60,B11100210111122知向量组1,2,...,n和1,2,...,n都线性无关，为R4的两组基.又由关系

1111132121T 11110201110110001111 1021式（9）得0102112122111BAT即,解得所求过度矩阵为TAB002.6 利用初等变换简化计算

由上述方法可知，在V中求过度矩阵T经常要遇到形如A1B的矩阵的计算.所以将A,B构成分类矩阵，利用初等变换，可以减少计算量，如下图所示：

初等行变换EAB

A1B



例

7 已知R3的两组基

1(1,0,1),2(0,1,1),3(1,1,4)1,2,3和

1(1,1,0),2(0,1,1),3(1,1,2)，求由基过度矩阵.

到基1,2,3的

101101100200初等行变换011111010212EAB114012001101A1B所

以 基1,2,3到基2021,2,3的过度矩阵为A1B212

101

3 对若当标准型T1AT中过度矩阵T的求法探讨

每个矩阵A相似于一个若当标准型，并且有了具体求若当标准型的方法，但是一般的《高等代数》教材都未谈到如何确定过度矩阵T，使T1AT成若当标准型，为此我们进行探讨，找出较简单的解决方法.

若当标准型包括对角矩阵作为特例，一个矩阵A能否在一组适当的基下化为对角阵，即相当于矩阵A，是否相似于一对角阵.条件是：A有几个线性无关的特征向量，取这几个线性无关的特征向量为基，纵排列，得到过度矩阵

T,T1,2,A,n，特征向量求法是：

1） 2） 3）

线性空间V中取出一组基1,2,A,n写出在此基下的矩阵A. 令EA0,求出全部根，它们也就是A的全部特征值. 将特征值逐一代入EAx0中，求出相应的基础解系，进而求

出相应的特征向量.

对于不是对角矩阵的若当标准型，如何求T?下面给出例题.

311例1 求可逆矩阵T，使T1AT为若当标准型，其中A201.

112解 先求A的若当标准型

31EA21112行~3行*20131(3)(2)1行3行*(3)1行和3行对调1021241212

121列加到2列00111列（*2）加到3列02230223 02255022550000112列*2加到3列3行2行022302122005523032010002列（01*232）加到3行2列与3列对调01201202322000(2)32

102列（*-2）加到第3列0100222100

故初等因子为2，1

100100若当标准型为020即T1AT=020

012012由于相似矩阵有相同的特征多项式，故A的特征多项式

EA120从而得2,1当2，得到相对应的特征向量，因为

1111111113行1行2行1行*22EA221221001

110001001x10由2EAx20得x1x2x3解得

0x3x32xx,x12x1即0x2，可取3012从而得特征值时对应的特征向量是1x1x21

0

x1211当1时，因为EA211由EAx20得

111x32x1x2x30 0x1x2x30得x10,x2x3即x2，可取x2x31，从而得到特征值1对应的特征向

x30量1 1下面讨论T的求法：

A123121003020, A11 ,令 012x11011,，A23233x20 01x3令T120x131x21x311 0x1x2x311001020

00123110x1AT2011x21121x303x1x2x32x1x3即11xx2x123101=101202x112212x212故

02x3013x1x2x32x1112x1x32x212由（3）得x1x2代入（1）3x1x2x32x1x32x11 xx2x2x33312

001得x1x2，x31不妨取x1x20此时T101,可求T0,T可逆，符合

110x1条件。其中x1中x1可取任意数，都有

1x110x110x1T0x110x1111x1x1110

x111110110即T是可逆的.

514例2 矩阵A1238已知它的3个特征值为1，1，1，试将A表成TJT1

615其中J是A的若当标准型，T是过度矩阵，求T和T1.

解：先求A的若当标准型

1100100000122010120001021002 2100112061455166EA12380132012262011556111002初等因子为（1），（1）故A得若当标准型为J010，再求1011对应的特征向量

6141228EAxEAx0故EAxx0故6x1x24x30有614两个自由未知量，可求出两个线性无关的解1126,0由于只有两个线性032

100无关的向量，A不能与对角形相似，故A相似于若当标准型J010下面

011求T123，

A123121003010故A11， 011x1x2x320有ATTJ即 3x1112令16,2x2,10A33不妨设T6003x35141x112386x26150x315x1x24x3612x13x28x306xx5x12321x106x230x320J 321x1225x1x24x3x12(1)06x20故12x13x28x3x2(2)

30x3336x1x25x3x33(3)6x1x24x32(4))（5）两边除2得由（1）（2）（3）式移象得12x12x28x30(5由

6xx4x3(6)1231，（5），（6）三式矛盾，故此时T66x1x24x30可以看出（4）

01x1设不当，重新寻求令T6x20x35141x112386x26150x3x41x1x56x2x60x3x4x5ATTJ即 x6x4x5J x6x1x2x320假3有

15x1x24x3612x13x28x306xx5x1235x4x54x61x1x412x43x58x66x2x56x4x55x60x3x6x4x5x6x1x45x1x24x3x5xx4x4456x512x43x58x6x2x512x13x28x3可得化简后矩阵（初等行变换） xx6xx5x12336x66x4x55x6600000140000010001012很明显有三个自由未知量 0000000000000006x1x24x3x40令x11,x32,x61解x4x60得到x11,x41,x52

x2x065111513故T612可验证T0从而T可逆，且T1614

0211227如果矩阵A有几个线性无关的特征向量，则以这几个线性无关的特征向量作列，可得到过度矩阵T，若A没有几个线性无关的特征向量，以与特征值相对应的特征向量作对应的列，再没有其余列向量，方法如上面中所示，最后检验所求的T是否满足T0，若满足即为所求的过度矩阵.