小学五六年级奥数学竞赛立体几何常用技巧

加油站

1．直线型立体几何：

⑴长方体的表面积和体积的计算公式

表面积：

S

长方体

2( )；  ab  bc  ca  abc。

⑵由小立方体堆砌而成的立体图形，其表面积可用三视 图法求解：

S  正视图面积 俯视图面积 侧视图面积 凹槽数 

( + + + ) 2

⑶水中浸物问题的水面高度公式：

V V

完全没过时：h = 水 铁块 ；

水

体积：

V

长方体

S

容器

正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例， 它的六个面都是正方形。如果它的棱长为a，

S  6a ，V  a 。 那么：

正方体

2

正方体

3

V

部分没过时：h

=

水

水

；

S

容器

 S

铁块

水溢出时：h =h

水

容器

2．曲线型立体几何：

圆柱与圆锥的体积公式分别是 V   r2h、 1 2

V   r h。

3

【例1】（★★）走美6年级试题

21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体如下图

，它的表面积是______平方厘米。

1

【例2】(★★)

【加加点睛】

下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表

面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小 洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为

1

1 2

求表面积——三视图

厘米的正方体小洞，第三个正方体小洞的挖法和 前两个相同，棱长为

厘米，那么最后得到的 4 立体图形的

表面积是多少平方厘米？

【例3】（★★★）保良局小学数学世界邀请赛

如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的。其中有些 小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方

体的挖除部分。请问剩下的部分共有多少个小正方体？

【加加点睛】

求体积——切片法

2

【例4】（★★★★）

如图，原来的大正方体是由125个棱长为1的小正 方体所构成的。其中有些小正方体已经被挖除， 图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除 部分。请问剩下的部分的表面积是多少？

【加加点睛】

求表面积——三视图法

【例5】（★★★）

图中所示的是我们生活中常用的卷筒纸，从纸的包装纸上得到以 下资料：“两层300格，每格11.4厘米×11厘米(长×宽)”。我们用 尺子量出整卷卫生纸的内外半径分别为2.3厘米和5.8厘米，每层卫

生纸的厚度为多少(π取3)？(精确到0.01毫米)。

【加加点睛】

找不变量——体积

3

【例6】(★★★★)

如图，一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池 ，存有四分之三水，请问：

⑴将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入水池，水面 的高度为多少分米？

⑵如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？

【加加点睛】

V V

完全没过时：h =

水

水

铁块

；

S

容器

V

部分没过时：h =

水

水

；  S

铁块

容器

S

⑶如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？

水溢出时：h =h

水

容器

【例7】（★★★★）

如图若以长方形的一条宽AB为轴旋转一周后，甲乙 两部分所成的立体图形的体积比是多少？

A

【例8】（★★★★★）华杯赛决赛试题

如图，ABCD是矩形，BC=6cm， AB=10cm，对角线

AC、BD相交O。图中的阴影部分以CD为轴旋转一周

，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？

( π取3) D

A

O

B

B

C

4

【加加点睛】 圆柱：

V   r h、

2

【本讲总结】

长方体：

圆锥：

1

2

体积：切片法；表面积：三视图

V   r h。

3

旋转体体积： V   r h、 h。

圆柱：

2

V   r

1 3

2

圆锥：

重要思想：寻找不变量

重点例题：例3，例4，例5，例8

5