第五章 自然与环境的数学模型 §5.2 放射性计年模型 一. 同位素与放射性衰变
10. 同位素：原子中核电荷数（质子数）相同，但具有不同的质量（中子数）的元素称为同位素。它们的化学性质相同，在周期表中处于同一个位置。有相同的元素符号，但在左上角注名
质量数，左下角为质子数。 如：11H，21H，31H，126C，136C，146C，23492U，23892U 等。
20. 同位素的蜕变. 同位素中有稳定的和不稳定的两种。不稳定的同位素具有放射性，
通过放射粒子而变为同一元素的不同的同位素或者不同元素的同位素。称之为同位素的蜕变。
146C → 147N， 8737Rb → 8738Sr， 238U →234U → 230Th 30. 放射性同位素衰变的数学模型： 假设：
1. 粒子同质、以相同的概率衰变， 2. 粒子群体规模充分大， 3. 没有粒子迁移，
4. 粒子的衰变率反映群体衰变现象的平均效应， 5. 单位时间内衰变正比于群体的数量，比率系数为常数。 参量，变量： λ 为衰变系数，N( t )为 t 时刻粒子数。 模型： dN/dt=-λN(t), N(0)=N 0 有解：N(t)=N 0 e - λ t 称使得N(T 1/2 )=N 0/2的时间T 1/2为半衰期：T 1/2=ln2/ λ 同位素 半衰期（年） 衰变系数（/年） 8737Rb 48.6 × 109 1.43 × 10
-11 23892U 4.468 × 109 1.551 × 10-10 23492U 248000 2.794 × 10-6 23090Th 75200 9.217 × 10-6
146C 5730 1.209 × 10 -440. 放射性元素的平衡
如果随着放射性元素的蜕变衰减，又得到定常速率的补充，则放射性元素的变化可以由如下模
型来描述 dN/dt=-λN(t)+b. 有解 N(t)=b/λ+[N(0)-b/λ]e - λt ，模型有一个平衡状态
N*=b/λ。
当N(0)>N*时, 元素不断减少, 当N(0)<=\"\" 表明放射性元素最终将会达到这个平衡状态,=\"\">
50 在考古计年上的应用
例. 马王堆一号墓年代的确定：湖南省长沙市马王堆一号墓于1972年8月出土。考古学家利用
出土的木炭确定墓葬的年代。考古中的14C计年法：利用死亡的生物体内14C的含量测定死亡的时
间。 14C的半衰期(5730)相对于地质年龄很短，但适用于考古学。 原理：
1.宇宙射线穿过大气，产生中子，使得14N蜕变为14C。 2. 14C与氧原子结合生成14CO 2被植物吸收，进入食物链。 3. 生物体内的14C不断衰变为14N成为气体散失。 4. 活体还会不断吸收14C，使体内的14C维持平衡。
5. 生物死亡后，不再吸收14C，则体内的14C将由于蜕变，在体内的比例数将逐渐降低。
分析：记N( t )为 t 时刻生物体内14C的粒子数。 如果生物体在 t = 0 时死亡, 则有 N(0)=N*(活
体内14C的平衡量)。如果在 t = t 1 时物体被发掘,由N(t)= N* e -λt 可以得到
t 1 = ln [N*/N(t 1)]/λ
因为14C 与14N 具有相同的原子质量，
无法使用质谱仪测量样本中14C 的含量, 只能用计数管测量14C 的放射蜕变物的速率。
假设：
1. 马王堆墓葬的年代生物体中14C的平衡数量与现代生物体中14C的平衡数量相同。
2. 14C的放射速率正比与14C的含量。
当时测得出土的木炭样本中放射14C的放射性蜕变物的速率为29.78次/分，而新砍伐烧成的木炭中放射14C蜕变物的速率为38.37次/分。
于是， t1 = ln [N*/N(t1)] /λ= ln [N*’/N’(t1)] T1/2 / ln 2 = ln (38.37/29.78)×5730/0.6931 =2095.
于1972年出土的湖南省长沙市马王堆一号墓墓葬的大致年代为公元前120年左右西汉中期.
60 估计地球的年龄 1. 背景：
1650 乌斯赫基于神学的计算世界在-4004年诞生。
1850 汤姆逊基于地球冷却学说，地球的年龄在2000万年到4000万年之间。1896 被贝克勒尔否定。
1903 居里利用放射性测定地质年代。 1907 伯尔伍德得到了放射性地质年代的数据。
通过岩石的地质年表及同位素的演化规律确定更可靠的地球年龄。 可用于地质计年的同位素： 1. 出现于岩石形成期， 2. 具放射性的不稳定的同位素， 3. 半衰期足够长， 4.含量可以观测。
难点：无法确定地球形成初期岩石中元素的含量N*，因此无法运用公式
t1=ln [N*/N(t1)]/λ确定岩石的形成期。2. 假设： 10. 岩石内同位素的含量只随放射性衰变而变化。 20. 衰变后的生成物是稳定的, 不再衰变。 30. 稳定元素的含量是一定的。
40. 放射性元素与其衰变产物总量不变。 即N(t) + D(t) = N0+D0.
其中， N(t)表示在 t 时刻放射性元素含量, D(t)表示在 t 时刻衰变后稳定产物含量, N0, D0表示在t=0 时的初始值,
由放射性元素的衰变规律，N(t)=N 0e-λt , 得到D(t)=D0+N(t)eλt-N(t)=D0+(eλt-1)N(t)
3 岩石放射性计年的等时线模型
记m=e t λt-1,r0=D0 0则对于固定的 t 和不同的D0, N(t) 和 D(t)将分布在同一条直线—等时线上。(Isochron Diagram）D(t)=m N(t) + r0,
如果同时在岩石所含的 n 种不同的矿石中观测到不同元素的含量(N i, D i), i=1,2,…,n, 则利用最小二乘法就可以给出 m, r0 的最小二乘估计。从而得到岩石生成的时间
t =1/λ ln(m+1) =T1/2ln(m+1)/ln2≈1.4427 ln(m+1)T1/2 难点：无法测得指定元素的绝对含量，用质谱仪只能测的两种元素的相对含量。
因此，改用N(t)表示在 t 时刻放射性元素与稳定元素的相对含量, 用D(t)表示在 t 时刻衰变后的稳定产物与另一种稳定元素的相对含量。
4. 岩石年龄的铷87Rb—锶87Sr计年法原理
10.岩石内不稳定的同位素铷(87Rb)只因放射性而衰减为稳定的锶(87Sr)，
20.铷(87Rb)的半衰期很长，为48.6 × 109年，
30.岩石内不同的矿物质中铷(87Rb)和锶(87Sr)的含量不同， 40. 岩石中元素锶(86Sr)的含量是稳定的，
50.使用质谱仪可以测量铷(87Rb)和锶(87Sr)的相对含量Rb = 87Rb /86Sr 和 Sr = 87Sr/86Sr。
例. 1967年采集到一块包含有长石、白云母和黑云母的岩石。用质谱仪进行分析，测的铷和锶的相对含量如下：
长石白云母黑云母
Sr 0.77 0.82 0.80 Rb 2.00 7.00 5.00
可以估得 m=0.01，r0=0.75，从而有t = 1.4427×ln 1.01× 48.6 × 109年=6.97×108年。
地球的年龄约为44~46亿年(≈4.6 × 109 )，宇宙约为150~200亿年(≈2× 1010 )。
问题： P143 第 3 题：铀–钍计年法 §5.3 湖水的污染
一. 问题与背景：问题：建模描述湖泊污染的状况。
背景：湖泊: 提供水源, 水产养殖, 交通运输, 休闲旅游. 承受容纳生活垃圾, 工业排出物等污染物质. 形成磷酸盐污染, 杀虫剂污染和重金属污染.
湖泊污染的特征: 水体覆盖面积大, 污染源复杂, 不易控制.水体流动性差, 不利于水体的更新和自净.
二. 假设:
10. 污染物同质,以污染物的含量标志污染的状况. 20. 单流入, 单流出, 流速不变. 30. 变化充分光滑. 40. 湖水体积定常.
50. 不考虑水体自净问题和其他因素的作用. 三. 建模
物理理想模型: 池水含盐问题 数学模型:
湖水体积：V，污染物浓度：P(t)， 流入速度：r，流入污染物浓度：P I(t), 流出速度: r, 流出污染物浓度：P(t).
则有 V/r dP/dt=P I(t) - P(t) 其中τ=V/r 为湖水保留时间. 四. 分析:
情形 I : 自由倾倒P I = K, P(0) = P s. 得 P(t)=(P s-K) e-t/τ +k 10. P(t) →K (t→∞) ,
称 K 为饱和污染状况。当Ps < K 时, P(t) 增加, 当Ps > K 时, P(t) 减少。
称β(t)=P(t)/K 为湖水在时刻 t 的污染水平。不难得到β (t)= (P s-K)/K e-t/ τ +1 当β=1 时，称为饱和水平；当β >1时, 称为超饱和状态，P(t) 将会下降。
20. 令P s=0 （一池清水），则 t 时刻的污染水平为β (t)= P(t)/K=1- e-t/ τ给定β<1 ，记Tβ为达到β水平污染的时间，则有Tβ= τ ln(1- β)，当β = ? 时，有T1/2 =ln(2) τ≈ 0.7 τ.
对于密执安湖，有T1/2=21年。对于苏比利尔湖，有T1/2=132年。
一般来说，对于P s≤ K, 若给定βs:= P s/k<β <1 则有Tβ= τ ln[(1- βs)/(1- β)]
30. 如果 K=0 且 Ps > 0, 则 P(t)= P s e-t/ τ将递减并且趋于零. 令 a(t)=P(t)/ P s , 它表示污染状况相对降低的强度. 则不难看出T a = τ ln[P s /P(t)]= τ ln(1/a)
给出了污染水平降低到初始状态的 a 倍时所用的时间. 取 a =1/2, 则有T1/2 = 0.7 τ .
由此可知, 在完全断绝污染物流入的前提下, 湖泊污染状况缓解一半所用的时间是湖水保留时间的0.7倍.
情形II. 控制污染：P I(t) = K0e-at. 流入的污染物逐年降低, 污染状况以强度 a 逐年得到控制.
模型: dP/dt=[- P(t)+K 0e -at ]/ τ .令P(0)=K 0,
则模型有解P(t)= K 0 (e -at - a τ e -t/ τ) /(1-a τ)= K 0 e -at (1- a τ e (a τ -1)t/ τ) /(1-a τ)
由此不难证明，dP/dt<0, 而且有 P(t) → 0 (t →∞) 。它表明只要控制污染的力度足够大湖水的污染程度将会不断得到改善。
情形III 混合情形：在初期，湖泊属于自由污染阶段，当湖水被污染到一定的水平，将对污染源加强管理和控制，降低排污量。
模型：如果在初期我们有 Ps = 0，P I =K 1，则湖水将在 t β = -τ ln(1- β) (β<1) 达到 β 水平的污染，即有 P(t β)= βK 1 。此后对污染
源加强管理，将排污量降低为 P I (t)= K 2< βK 1 ? t ≥ t β 则模型有解
≥+? 五. 讨论
1. 蒸发与渗漏：输出正比于湖水表面积, 因此正比与湖水体积的2/3次方 。
2. 离散动态：变连续的微分方程为离散的差分方程。
3. 污染物的变化：例如：DDT 被动物吸收，溶解于脂肪中；有机磷引起水藻激增，贮存于水藻体内，当水藻腐烂时，有机磷又游离于水中。
4. 扩散过程：污染物浓度是空间点的函数p(t,x)
污染物流速 J(t,x)= - D Δx p(t, x)， 其中D 表示污染物扩散系数 污染物扩散方程 ?p(t,x)/ ?t= - ?x ·J(t,x)， 因此 ?p(t,x)/?t= ?x ·(D ?x p(t, x)) 。 当D 是常数时，?p(t,x)/?t= D D x p(t, x) 。
问题：P143 第 4 题：伊利湖和安大略湖的污染。
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