4.3.1 对数的概念 教学设计(1)

第四章 指数函数与对数函数

4.3.1 对数的概念

本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.3.1节《对数的概念》。从内容上看它是学生了指数幂运算的基础上，通过实际问题的提出，从而建立对数的概念。其研究和学习过程，与先前学习加法与减法、乘法与除法类似。由指数运算进而提出对数运算，本节为后续的对数函数奠定基础。培养学生数算、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

课程目标 1、理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化； 2、了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算。 3、通过转化思想方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力。

教学重点：对数的概念、指数式与对数的互化

教学难点：由于对数符号是直接引入的，带有“规定”的性质，且这种符号比较抽象，不易为学生

接受，因此，对对数符号的认识会形成教学中的难点。

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学科素养 a.数学抽象：对数的概念； b.逻辑推理：指数式与对数式的转化； c.数算：对数的运算； d.直观想象：指数与对数的关系； e.数学建模：在实际问题中建立对数概念；

教学过程 （一）、创设问题情境 问题提出：在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从x设计意图 核心教学素养目标 开门见山，通y＝1.11中求出经过4年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的倍过对上节问题数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？ x x x 的提问和引伸，提出新问题，从而引出对数的概念。培养和发展逻辑推理和数算的核心素养。 通过对对数概念的解上述问题实际上就是从2=1.11，3=1.11， 4=1.11，… 中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数． 对数的发明：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。 （二）、探索新知 1．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是________________. 2．常用对数与自然对数 析，理解对数与指数的关系，进而理解对数的概念， 发展学生数学抽象、数学建3．对数的基本性质 ＝1(a>0，且a≠1)． 思考：为什么零和负数没有对数？ (1)负数和零没有对数．(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa模和逻辑推理等核心素养； [提示] 由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以

转化为对数式x＝logaN时， 不存在N≤0的情况． 1．思考辨析 (1)logaN是loga与N的乘积．( ) (2)(－2)＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ 2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( ) A．log2M＝a B．logaM＝2 C．log22＝M D．log2a＝M B [∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.] （三）典例解析 例1 将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式： 11(1) ＝625; (2)2－7＝； (3) ( )m＝5.73 1282(4)log132＝－5；(5)lg 1 000＝3； (6)ln 10＝2.303 23 通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉指数式与对数式的转化。深化对对数概念的理解。 ＝x[解] (1) 由5＝625，可得log5625＝4. (2)由2－7＝11，可得log2＝－7. 12812841(3) 由( )m＝5.73 ，可得log1 5.73＝m， 221(4)由log1 32＝－5，可得＝32. 22(5)由lg 1 000＝3，可得10＝1 000. (6)由ln 10＝2.303，可得e2.3033－5＝10. [规律方法] 指数式与对数式互化的方法 将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； 将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式；－2 1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 11－2(1)3＝； (2)＝16；(3)log127＝－3; (4)log943－6.

1[解] (1)log3＝－2；(2)log1 16＝－2； 941(3)＝27；(4)(x)－6＝. 3例2 求下列各式中的x的值： 2(1)logx＝－； (2)logx 8＝6； 3(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x. [解] (1)x＝()－22－3＝(43)3＝4－2＝1. 16－3 通过问题探究进一步理解对数的概念，并推出对数的相关性质，发展学生数算和逻辑推理核心素养； 1111(2)x6＝8，所以x＝(x6)6＝86＝(23) 6＝22＝2. (3)10＝100＝10，于是x＝2. (4)由－ln e＝x，得－x＝ln e，即e＝e， 所以x＝－2. 规律方法：要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解。 [探究问题] logaN1．你能推出对数恒等式a＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？ logaN提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得a2．如何解方程log4(log3x)＝0? 提示：借助对数的性质求解，由log4(log3x)＝log41，得log3x＝1，∴x＝3. 例3 设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于( ) A．10 B．13 C．100 D．±100 (2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________. 思路探究：(1)利用对数恒等式alogN＝N求解； a22－x2x2＝N. (2)利用loga＝1，log1＝0求解． aa(1)B (2)10 [(1)由5＝13，故选B. log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]

归纳总结:1.利用对数性质求解的2类问题的解法 （1）求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求logalogbc再求loga的值，先求logbc的值， logbc的值. （2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解. logaN2.性质a（1）＝N与logaab＝b的作用 logaNa＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a,为底的指数形式. （2）logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数 三、当堂达标 1．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是( ) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 【答案】D [由m－1>0得m>1，故选D.] 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) 1－1110A．10＝1与lg 1＝0 B．273＝与log27＝－ 3331C．log39＝2与92＝3 D．log55＝1与51＝5 【答案】C [C不正确，由log39＝2可得32＝9.] 3．若log2(logx9)＝1，则x＝________. 【答案】3 [由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．] 4． log33＋3log32＝________. 通过练习巩固本节所学知识，巩固对数的概念及其性质，增强学生的数学抽象、数算、逻辑推理的核心素养。 log32【答案】3 [log33＋3＝1＋2＝3.] 5．求下列各式中的x值： 32(1)logx27＝； (2)log2 x＝－； 23

1(3)x＝log27； (4)x＝log116. 9233【答案】(1)由logx27＝，可得x2＝27， 222∴x＝273＝(33)3＝32＝9. 2233132－12(2)由log2x＝－，可得x＝23，∴x＝＝＝. 3422112x3x－2(3)由x＝log27，可得27＝，∴3＝3，∴x＝－. 99311(4)由x＝log16，可得＝16，∴2－x＝24，∴x＝－4. 22四、小结 1、对数的概念，指数式与对数式的转化； 2、对数的性质及运用； 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； x